Основные понятия и определения. виды связи. Классификация систем электросвязи по назначению (видам передаваемых сообщений) и виду среды распространения сигналов

А.П. Сальников

ТЕОРИЯ

ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ СВЯЗИ

Конспект лекций

Часть 1

САНКТ-ПЕТЕРБУРГ

УДК 621.391.1

Сальников А.П. Теория электрической связи: Конспект лекций, часть 1/ СПбГУТ. –СПб., 2002. –93 с.: ил.

Предназначено для студентов, изучающих дисциплину «Теория электрической связи».

Содержит общие сведения о системах связи, описание моделей детерминированных сигналов. Рассмотрены преобразования сигналов в типовых функциональных узлах систем связи (модуляторах и детекторах разных видов, перемножителях и преобразователях частоты сигналов).

Приведены контрольные вопросы по всем разделам для самопроверки их усвоения и рекомендации по проведению сопутствующих экспериментальных исследований в виртуальной учебной лаборатории по курсу ТЭС.

Материал соответствует действующей учебной программе по курсу ТЭС.

Ответственный редактор М.Н. Чесноков

© Сальников А.П., 2002

© Издание Санкт-Петербургского государственного университета

телекоммуникаций им. проф. М.А. Бонч-Бруевича, 2002

Редактор И.И. Щенсняк

ЛР № от.02. Подписано к печати.02

Объем 8,125 уч.-изд. л. Тир. 200 экз. Зак.

РИО СПбГУТ. 191186, СПб., наб. р. Мойки, 61

Общие сведения о системах связи

Информация, сообщения, сигналы

Под информацией понимают совокупность каких-либо сведений о явлениях, объектах и т.п. Сообщения представляют собой материальную форму существования информации и могут иметь различную физическую природу. Сигналами в электрической связи служат процессы (функции времени) электрической природы, посредством которых осуществляется передача сообщений на расстояние. Общее и различное в этих основополагающих понятиях теории связи поясняется таблицей 1.1. В ней также указаны возможные преобразователи сообщений в сигналы, которые называют датчиками сигналов .

Таблица 1.1.

Текстовые сообщения представляют собой последовательности символов из некоторого конечного множества {a i } (языка) с известным объемом алфавита m . Преобразование такого рода сообщений в сигнал может осуществляться, например, клавиатурой ЭВМ путем поочередного кодирования отдельных символов сообщения k -разрядными комбинациями из 0 и 1, которым соответствуют два разных уровня напряжения.

Звуковые сообщения представляют собой изменения давления воздушной среды в заданной точке пространства во времени p (t ). С помощью микрофона они преобразуются в переменный электрический сигнал u (t ), который в определенном смысле является копией сообщения и отличается от него лишь физической размерностью.

Видеосообщения можно рассматривать как распределение яркости на поверхности объекта b (x,y ), неподвижное изображение которого требуется передать на расстояние (фототелеграф), или более сложный процесс b (x,y,t ) (черно-белое телевидение). Характерной особенностью при передаче видеосообщений является необходимость преобразования описывающих их многомерных функций в одномерный сигнал u (t ). Это достигается использованием в датчиках видеосигналов устройств развертки (УР) для поэлементного преобразования яркости отдельных точек объектов в уровень электрического сигнала с помощью фотоэлементов (ФЭ) или иных фотоэлектрических преобразователей.

Классификация сигналов

По относительной ширине спектра сигналы делят на низкочастотные (называемые также НЧ, видео, широкополосные сигналы) и высокочастотные (ВЧ, радио, узкополосные, полосовые сигналы).

Для НЧ сигналов ΔF /F ср> 1, где

ΔF = F max– F min– абсолютная ширина спектра сигнала,

F ср= (F max+ F min)/2 – средняя частота спектра сигнала,

F max– максимальная частота в спектре сигнала,

F min– минимальная частота в спектре сигнала.

Для ВЧ сигналов ΔF /F ср << 1.

Как правило, первичные сигналы на выходе датчиков являются низкочастотными. Полезно помнить диапазоны частот, в которых располагаются спектры типичных сигналов в системах связи и вещания:

1) телефонный – 300 ÷ 3400 Гц (стандартный канал тональной частоты),

2) радиовещательный – от 30–50 Гц до 6–15 кГц,

3) телевизионный – 0 ÷ 6 МГц (для вещательного стандарта разложения изображения, принятого в России).

По своей природе различают сигналы детерминированные и случайные. Детерминированные сигналы считаются известными в каждой точке временной оси. В отличие от них значения случайных (стохастических) сигналов в каждый момент времени являются случайной величиной с той или иной вероятностью. Очевидно, что детерминированные сигналы в силу своей полной определенности не могут нести никакой информации. Их удобно использовать в теории для анализа различных функциональных узлов (ФУ ), а на практике в качестве испытательных сигналов для измерения неизвестных параметров и характеристик отдельных звеньев трактов систем связи.

По форме сигналы можно разделить на четыре вида, приведенные в таблице 1.2.

Таблица 1.2.

	Время t
непрерывное	дискретное
Значения u (t )	Непрерывные	u (t ) аналоговый 1 t	u (t ) t
Дискретные	u (t ) t	u (t ) цифровой 4 t

Сигнал (1 ), непрерывный по времени и состояниям, называют аналоговым . Сигнал (4 ), дискретный по времени и состояниям, – цифровым . Эти сигналы чаще всего используются в различных узлах систем связи. Соответственно различают аналоговые и цифровые ФУ по форме сигналов на их входах и выходах. Возможны преобразования аналогового сигнала в цифровой с помощью аналого-цифрового преобразователя (АЦП) и, наоборот, – с помощью цифро-аналогового преобразователя (ЦАП) . Условные графические обозначения (УГО) этих типовых ФУ приведены на рис. 1.1.

Сигналы можно рассматривать в качестве объектов транспортировки по каналам связи и характеризовать основными параметрами, такими как

- длительность сигнала Т с,

- ширина его спектра F c ,

- динамический диапазон , где

и – максимальная и минимальная

мгновенные мощности сигнала.

Пользуются также более общей характеристикой – объемом сигнала .На интуитивном уровне очевидно, чем больше объем сигнала, тем он информативнее, но тем и выше требования к качеству канала для его передачи.

Классификация систем связи

По виду передаваемых сообщений различают:

1) телеграфию (передача текста),

2) телефонию (передача речи),

3) фототелеграфию (передача неподвижных изображений),

4) телевидение (передача подвижных изображений),

5) телеметрию (передача результатов измерений),

6) телеуправление (передача управляющих команд),

7) передачу данных (в вычислительных системах и АСУ).

По диапазону частот – в соответствии с декадным делением диапазонов электромагнитных волн от мириаметровых (3÷30) кГц до децимиллиметровых (300÷3000) ГГц.

По назначению – вещательные (высококачественная передача речи, музыки, видео от малого числа источников сообщений большому количеству их получателей) и профессиональные (связные), в которых число источников и получателей сообщений одного порядка.

Различают следующие режимы работы СС:

1) симплексный (передача сигналов в одном направлении),

2) дуплексный (одновременная передача сигналов в прямом и обратном направлениях),

3) полудуплексный (поочередная передача сигналов в прямом и обратном направлениях).

Уточним уже использованный нами термин канал связи. Под ним принято понимать часть СС между точками А на передающей и Б на приемной сторонах. В зависимости от выбора этих точек, иначе говоря, по виду сигналов на входе и выходе различают каналы:

1) непрерывные ,

2) дискретные ,

3) дискретно-непрерывные ,

4) непрерывно-дискретные .

Каналы связи можно характеризовать по аналогии с сигналами следующими тремя параметрами:

– временем доступа ,

– шириной полосы пропускания ,

– динамическим диапазоном [дБ],

где – максимально допустимая мощность

сигнала в канале,

– мощность собственных шумов канала.

Обобщенным параметром канала является его емкость

Очевидным необходимым условием согласования сигнала и канала является выполнение неравенства V c < V к.

Менее очевидно то, что это условие является также достаточным и вовсе не обязательно добиваться аналогичного согласования по частным параметрам (длительности, спектру, динамическому диапазону), так как возможен «обмен» ширины спектра сигнала на его длительность или динамический диапазон.

Контрольные вопросы

1. Дайте определения понятиям информация, сообщение сигнал. Какие между ними связи и различия?

2. Приведите примеры сообщений разной физической природы и соответствующих им датчиков сигналов.

3. Каким образом сообщения, описываемые многомерными функциями, преобразуются в сигналы? Приведите примеры.

4. Классифицируйте сигналы по особенностям их формы и спектра.

5. По какому признаку различают НЧ и ВЧ сигналы?

6. По какому критерию различают аналоговые и цифровые сигналы и ФУ?

7. Укажите основные параметры сигналов.

8. Нарисуйте структурные схемы систем связи для:

· передачи дискретных сообщений,

· передачи непрерывных сообщений,

· передачи непрерывных сообщения по цифровым каналам.

9. Укажите назначение следующих ФУ систем связи:

· кодера источника и кодера канала,

· модулятора,

· демодулятора,

· декодера канала и декодера источника.

10. Что общего и различного в задачах, решаемых демодуляторами СПДС и СПНС?

11. Какие системы связи Вам известны:

· по виду передаваемых сообщений,

· по диапазону используемых частот,

· по назначению,

· по режимам работы?

12. Дайте определение термину «канал связи». Какая классификация каналов связи Вам известна?

13. Укажите основные параметры каналов связи.

14. Сформулируйте условия согласования сигналов и каналов связи.

Для закрепления полученных в разделах 1.1 и 1.2. знаний полезно выполнить лабораторную работу № 14 «Знакомство с системами ПДС» (из перечня тем виртуальной учебной лаборатории) в полном объёме. Эта работа носит ознакомительный характер и позволяет наблюдать все основные процессы получения, преобразования и приёма сигналов в системах передачи дискретных сообщений (рис. 1.3). Следует обратить внимание на осциллограммы и спектрограммы сигналов на выходах типовых ФУ (кодера источника при выборе разных типов интерфейса, кодера канала при выборе разных помехоустойчивых кодов, модулятора при разных видах модуляции, демодулятора и декодера), входящих в системы ПДС, и сопоставить с ними свои представления, полученные в ходе изучения раздела.

Рекомендуется по результатам наблюдения сигналов в разных точках тракта СПДС провести их классификацию, определить их основные параметры, а также выделить в СПДС разные типы каналов (непрерывный, дискретный, дискретно-непрерывный и непрерывно-дискретный). Полезно также получение наглядного представления о функции каждого ФУ СПДС.

Для закрепления полученных сведений о различии НЧ и ВЧ сигналов и наполнения их практическим содержанием целесообразно провести исследования в рамках лабораторной работы № 4 «Модулированные сигналы». Выбирая в качестве первичных НЧ сигналы разных форм, обратите внимание не только на различие осциллограмм и спектрограмм первичных (НЧ) и модулированных (ВЧ) сигналов, но и на объединяющие их признаки при использовании разных видов модуляции (рис. 1.4).

При выполнении указанных работ не обязательно строго придерживаться имеющихся в них заданий. Используйте возможности ресурсов ВЛ для проведения исследований по своему усмотрению и желанию.

Пространств

Сигналы – это, прежде всего, процессы, т.е. функции времени x (t ), существующие на ограниченном интервале Т (в теории возможно Т → ∞). Их можно изобразить графически (рис. 2.1) и описывать упорядоченной последовательностью значений в отдельные моменты времени t k

(вектор строка).

Разные сигналы отличаются формой (набором значений x (t k )). Вместо сложной совокупности точек кривой x (t ) в простой области – двумерном пространстве можно ввести в рассмотрение более сложные пространства (пространства сигналов), в которых каждый сигнал изображается простейшим элементом – точкой (вектором).

В математике под пространством понимают множество объектов (любой физической природы), наделенных некоторым общим свойством. Свойства, которыми целесообразно наделять пространства сигналов, должны отражать наиболее существенные свойства реальных сигналов, такие как их длительность, энергия, мощность и т.п.

Метрические пространства

Первое свойство, которым мы наделим пространство сигналов, называют метрикой.

Метрическое пространство – это множество с подходящим образом определенным расстоянием между его элементами. Само это расстояние, как и способ его определения, называют метрикой и обозначают . Метрика должна представлять собой функционал, т.е. отображение любой пары элементов и множества на действительную ось, удовлетворяющее интуитивно понятным требованиям (аксиомам):

1) (равенство при ),

2) ,

3) (аксиома треугольника).

Следует отметить, что метрики можно задать разными способами и в результате для одних и тех же элементов получить разные пространства.

Примеры метрик:

1) ,

2) евклидова метрика,

3) евклидова метрика.

Линейные пространства

Усовершенствуем структуру пространства сигналов, наделив его простыми алгебраическими свойствами, присущими реальным сигналам, которые можно алгебраически складывать и умножать на числа.

Линейным пространствомL над полем F называют множество элементов , называемых векторами, для которых заданы две операции –сложение элементов (векторов) и умножение векторов на элементы из поля F (называемые скалярами ) . Не вдаваясь в математические детали, в дальнейшем, под полем скаляров будем понимать множества вещественных чисел R (случай действительного пространства L ) или комплексных чисел С (случай комплексного пространства L ). Эти операции должны удовлетворять системе аксиом линейного пространства.

1. Замкнутость операций сложения и умножения на скаляр:

2. Свойства сложения:

ассоциативность,

коммутативность.

3. Свойства умножения на скаляр:

Ассоциативность,

дистрибутивность суммы векторов,

дистрибутивность суммы скаляров.

4. существование нулевого вектора.

5. существование проти-

воположного вектора.

Вектор, образованный суммированием нескольких векторов со скалярными коэффициентами

называют линейной комбинацией (многообразием). Легко видеть, что множество всех линейных комбинаций векторов при разных a i (не затрагивая ) также образует линейное пространство, называемое линейной оболочкой для векторов .

Множество векторов называют линейно независимыми , если равенство

возможно лишь при всех a i = 0. Например, на плоскости любые два неколлинеарные вектора (не лежащие на одной прямой) являются линейно независимыми.

Система линейно независимых и ненулевых векторов образует в пространстве L базис , если

.

Этот единственный набор скаляров {a i }, соответствующий конкретному вектору , называют егокоординатами (проекциями ) по базису .

Благодаря введению базиса операции над векторами превращаются в операции над числами (координатами)

Если в линейном пространстве L можно отыскать n линейно независимых векторов, а любые n + 1 векторов зависимы, то n – размерность пространства L (dim L = n ).

Нормированные пространства

Следующий наш шаг в совершенствовании структуры пространства сигналов – объединение геометрических (характерных для метрических пространств) и алгебраических (для линейных пространств) свойств путем введения действительного числа, характеризующего «размер» элемента в пространстве. Такое число называют нормой вектора и обозначают .

В качестве нормы можно использовать любое отображение линейного пространства на действительную ось, удовлетворяющее следующим аксиомам:

3) .

Выводы

1. Математическим аппаратом спектрального анализа периодических сигналов являются ряды Фурье.

2. Спектры периодических сигналов дискретные (линейчатые), представляют собой совокупность амплитуд и фаз гармонических колебаний (составляющих) следующих по оси частот через интервалы Δf = f 1 = 1/T.

3. Ряд Фурье является частным случаем обобщенного ряда Фурье при использовании в качестве базиса

или .

Спектры Т-финитных сигналов

Т-финитными называют ограниченные по времени сигналы. По определению они не могут быть периодическими и, следовательно, к ним не применимо разложение в ряды Фурье.

Чтобы получить адекватное описание таких сигналов в частотной области используют следующий прием. На первом этапе от заданного сигнала x (t ), имеющего начало в точке t 1 и конец в точке t 2 переходят к сигналу x п (t ), являющемуся периодическим повторением x (t ) на бесконечной оси времени с периодом . Сигнал x п (t ) можно разложить в ряд Фурье

,

где .

Введём в рассмотрение текущую частоту и спектральную плотность амплитуд .

Тогда .

Исходный сигнал x (t ) можно получить из x п (t ) в результате предельного перехода Т® ¥ .

, , å ® ò , ,

Таким образом, для описания спектра финитного сигнала приходим к известному в математике интегральному преобразованию Фурье:

– прямое,

– обратное.

В данном случае (и в дальнейшем) комплексную функцию записали в виде , как это принято в научно-технической литературе.

Из полученных соотношений следует, что спектр Т-фи- нитного сигнала сплошной. Он представляет собой совокупность бесконечного числа спектральных составляющих с бесконечно малыми амплитудами , непрерывно следующих по оси часты. Вместо этих бесконечно малых амплитуд используют спектральную функцию (спектральную плотность амплитуд)

где – амплитудный спектр,

– фазовый спектр.

Выводы

1. Математическим аппаратом спектрального анализа Т-финитных сигналов является интегральное преобразование Фурье.

2. Спектры Т-финитных сигналов сплошные и описываются непрерывными функциями частоты в виде модуля спектральной плотности амплитуд (амплитудный спектр) и её аргумента (фазовый спектр).

Свойства преобразования Фурье

1. Прямое и обратное преобразование Фурье являются линейными операторами , следовательно, действует принцип суперпозиции. Если , то .

2. Прямое и обратное преобразование Фурье являются взаимно однозначными .

3. Свойство запаздывания .

Если , то

(в данном случае использованы подстановки: ).

4. Спектральная функция δ-функции .

Используя общее выражение спектральной функции и фильтрующее свойство δ-функции, получим

.

5. Спектральная функция комплексного гармонического сигнала .

(2.5)

Используя одно из определений δ-функции

и выполняя в нём взаимную замену t и w (или f ), получим

В приёмном устройстве вторичные сигналы обратно преобразуются в сигналы сообщения в виде звука, оптической или текстовой информации.

Этимология [ | ]

Слово «электросвязь» происходит от нов.-лат. electricus и др.-греч. ἤλεκτρον (электр, блестящий металл; янтарь) и глагола «вязать». Синонимом является слово «телекоммуникации» (англ. telecommunication , от фр. télécommunication ), употребляемое в англоговорящих странах . Слово télécommunication , в свою очередь, происходит от греческого tele- (τηλε-) - «дальний» и от лат. communicatio - сообщение, передача (от лат. communico - делаю общим) , то есть значение этого слова включает в себя и неэлектрические виды передачи информации (с помощью оптического телеграфа , звуков , огня на сторожевых башнях , почты).

Классификация электросвязи [ | ]

Электросвязь является объектом изучения научной дисциплины теория электрической связи .

По виду передачи информации все современные системы электросвязи условно классифицируются на предназначенные для передачи звука , видео , текста .

В зависимости от назначения сообщений виды электросвязи могут быть квалифицированы на предназначенные для передачи информации индивидуального и массового характера.

По временным параметрам виды электросвязи могут быть работающими в реальном времени либо осуществляющими отложенную доставку сообщений.

Основными первичными сигналами электросвязи являются: телефонный , звукового вещания , факсимильный , телевизионный , телеграфный , передачи данных .

Типы связи [ | ]

• Кабельные линии – для передачи используются электрические сигналы;
• Радиосвязь - для передачи используются радиоволны;
  • ДВ-, СВ-, КВ- и УКВ-связь без применения ретрансляторов
  • Спутниковая связь - связь с применением космического ретранслятора(ов)
  • Радиорелейная связь - связь с применением наземного ретранслятора(ов)
  • Сотовая связь - радиорелейная связь с использованием сети наземных базовых станций

• Волоконно-оптическая связь - для передачи используются световые волны.

В зависимости от инженерного способа организации линии связи разделяются на:

• спутниковые;
• воздушные;
• наземные;
• подводные;
• подземные.

• Аналоговая связь - это передача непрерывного сигнала .
• Цифровая связь - это передача информации в дискретной форме (цифровом виде). Цифровой сигнал по своей физической природе является аналоговым, однако передаваемая с его помощью информация определяется конечным набором уровней сигнала. Для обработки цифрового сигнала применяются численные методы.

Сигнал [ | ]

В общем виде в систему связи входят:

• терминальное оборудование : оконечное оборудование , терминальное устройство (терминал), оконечное устройство, источник и получатель сообщения;
• устройства преобразования сигнала (УПС) с обоих концов линии.

Терминальное оборудование обеспечивает первичную обработку сообщения и сигнала, преобразование сообщений из вида, в котором их предоставляет источник (речь, изображение и т. п.) в сигнал (на стороне источника, отправителя) и обратно (на стороне получателя), усиление и т. п.

Устройства преобразования сигнала могут обеспечивать защиту сигнала от искажений, формирование канала (каналов), согласование группового сигнала (сигнала нескольких каналов) с линией на стороне источника, восстановление группового сигнала из смеси полезного сигнала и помех, разделение его на индивидуальные каналы, обнаружение ошибок и коррекцию на стороне получателя. Для формирования группового сигнала и согласования с линией используется модуляция .

Линия связи может содержать такие устройства преобразования сигнала, как усилители и регенераторы . Усилитель просто усиливает сигнал вместе с помехами и передаёт дальше, используется в аналоговых системах передачи (АСП). Регенератор («переприёмник») - производит восстановление сигнала без помех и повторное формирование линейного сигнала, используется в цифровых системах передачи (ЦСП). Усилительные/регенерационные пункты бывают обслуживаемыми и необслуживаемыми (ОУП, НУП, ОРП и НРП соответственно).

В ЦСП терминальное оборудование называется ООД (оконечное оборудование данных , DTE), УПС - АКД (аппаратура окончания канала данных или оконечное оборудование линии связи , DCE). Например, в компьютерных сетях роль ООД выполняет компьютер , а АКД - модем .

Стандартизация [ | ]

Стандарты в мире связи исключительно важны, так как оборудование связи должно уметь взаимодействовать друг с другом. Существует несколько международных организаций, публикующих стандарты связи. Среди них:

• Международный союз электросвязи (англ. International Telecommunication Union , ITU) - одно из агентств ООН .
• (англ. Institute of Electrical and Electronics Engineers , IEEE).
• Специальная комиссия интернет-разработок (англ. Internet Engineering Task Force , IETF).

Кроме того, нередко стандарты (как правило, де-факто) определяются лидерами индустрии телекоммуникационного оборудования.

Всякое сообщение является некоторой совокупностью сведений о состоянии какой-либо материальной системы, которые передаются человеком (или устройством), наблюдающим эту систему, другому человеку (или устройству), обычно не имеющему возможности получить эти сведения из непосредственных наблюдений. Эта материальная система, вместе с наблюдателем, представляет собой источник сообщения. Для того чтобы сообщение было передано получателю, необходимо воспользоваться каким-либо физическим процессом. Изменяющаяся физическая величина (например, ток в проводе, электромагнитное поле, звуковые волны и т. п.), отображающая сообщение, называется сигналом. Совокупность средств, предназначенных для передачи сигнала, называется каналом связи. Здесь под «средством» можно понимать как устройство, так и физическую среду, в которой распространяется сигнал. Сигнал принимается получателем. Зная закон, связывающий сообщение и сигнал, получатель может выявить содержащиеся в сообщении сведения. Для получателя сообщения сигнал заранее не известен, и поэтому он является случайным процессом.

Помимо передаваемого сигнала в канале всегда присутствуют другие случайные процессы различного происхождения, называемые помехами или шумами. Наличие помех вызывает принципиальную неоднозначность в восстановлении сообщения.

Канал связи вместе с источником сообщения и его получателем при заданных методах преобразования сообщения в сигнал и восстановления сообщения по принятому сигналу называется системой связи.

Иногда канал используется для передачи сообщений от нескольких источников нескольким получателям. Такой канал называется уплотненным и будет рассмотрен в гл. 9.

Рис. 1.1. Схема системы связи.

На рис. 1.1 представлена в самом общем виде схема системы связи. Здесь под передающим устройством понимается вся аппаратура, осуществляющая преобразование сообщения в сигнал, а под приемным устройством - аппаратура, восстанавливающая сообщение. В состав канала может также входить аппаратура, например ретрансляционные усилители.

Рис. 1.2. К определению канала.

Заметим, что понятие «канал» не является строго определенным. Пусть, например, сигнал, передаваемый из точки в точку (рис. 1.2), проходит последовательно через некоторые звенья которые могут представлять собой, например, усилители, отрезки кабеля, среду, в которой распространяются электромагнитные или акустические колебания, и т. д. Можно всю совокупность этих звеньев называть каналом. По можно считать каналом часть звеньев, например от до , отнеся звенья и к передающему устройству, а звено - к приемному. В общей теории связи удобно называть каналом любую часть системы связи, которую по условиям решаемой задачи невозможно или нежелательно изменять. В этом смысле мы и будем понимать термин «канал».

С математической точки зрения задать канал - значит указать, какие сигналы можно подавать на его вход и каково распределение вероятностей сигнала на его выходе при известном сигнале на входе. Общей задачей теории связи является нахождение таких методов преобразования сообщения в сигналы данного канала и обратного преобразования принятого сигнала в сообщение, при которых обеспечивается в некотором смысле наилучшая передача сообщений.

Любая реальная материальная система, входящая в источник сообщений, может иметь непрерывный ряд состояний. Однако сведения, передаваемые о ней, никогда не исчерпывают всех особенностей состояния и могут во многих случаях образовывать дискретное (т. е. конечное или счетное) множество . В этом случае говорят, что источник сообщений является дискретным.

Для того чтобы судить о том, является ли некоторый источник сообщении дискретным или непрерывным, необходимо, выбрав конечный интервал времени длительностью , рассмотреть все множество сообщений , которое данный источник мог бы создавать за это время. Если это множество конечно, то источник сообщений является дискретным, в противном случае он непрерывный.

Разумеется, с ростом увеличивается и число различных сообщений , которое может создать дискретный источник, причем это число для любых источников возрастает приблизительно по экспоненциальному закону . Поэтому если не ограничивать интервал времени , то множество окажется всегда бесконечным. Однако для дискретного источника сообщений оно всегда будет счетным. Это значит, что все мыслимые сообщения можно расположить по некоторому закону в ряд и перенумеровать. Так, например, для источника, создающего сообщения в виде текста, записанного, скажем, русским алфавитом, можно разделить все возможные сообщения на группы, отличающиеся количеством букв в сообщении, расположить эти группы в порядке возрастания числа букв, а внутри каждой группы расположить сообщения в алфавитном порядке и полученную последовательность сообщений пронумеровать. Следовательно, такой источник сообщений является дискретным. Любые два сообщения этого источника, если они не тождественны, отличаются по меньшей мере одной буквой.

Примером непрерывного источника является устройство, передающее результат измерения какой-либо непрерывной величины, скажем атмосферного давления в некотором месте. Если два сообщения такого источника не тождественны, то они могут отличаться друг от друга сколь угодно мало. При этом, как бы мало не отличалось сообщение от сообщения , всегда возможно некоторое сообщение , которое будет отличаться от еще меньше, чем . Такое множество сообщений образует континуум и не может быть пронумеровано.

Однако этот непрерывный источник превратится в дискретный, если наложить на него два ограничения. Во-первых, он должен выдавать сообщение о величине атмосферного давления в определенные, заранее обусловленные, моменты времени. Во-вторых, он должен округлять измеренные значения с определенной точностью (скажем, до 0,01 мм рт. ст.). Легко убедиться, что такой видоизмененный источник оказывается дискретным. В то же время, если указанные моменты времени расположены достаточно часто, а точность приближенного представления достаточно велика, то с точки зрения практики такой дискретный источник нисколько не уступает непрерывным. Тем не менее к дискретизации или квантованию сообщения прибегают далеко не всегда. Так, например, источник, передающий величину звукового давления перед микрофоном (в телефонии или в радиовещании), остается в большинстве случаев непрерывным.

В настоящей работе рассматриваются только сообщения, создаваемые дискретными источниками, которые для краткости называются дискретными сообщениями.

Как дискретные, так и непрерывные источники, можно подразделить на два типа: источники с управляемой скоростью и источники с фиксированной скоростью . В источниках первого типа сообщения хранятся в записанном виде и выдаются по требованиям передающего (кодирующего) устройства. В источниках второго типа сообщения выдаются в некоторые моменты времени, определяемые самим источником и не зависящие от работы передающего устройства.

Примерами источников с управляемой скоростью являются текст телеграммы, подлежащей передаче по телеграфной линии связи, бланк фототелеграммы, перфорированная лента и т. д. Примерами источника с фиксированной скоростью являются многие датчики в телеметрических системах, электронные вычислительные машины, человек, говорящий перед микрофоном, сцена, передаваемая по телевидению, и т. д.

Часто между источником с фиксированной скоростью и передающим устройством включается элемент буферной памяти. Если емкость буферной памяти беспредельно увеличивать, то условия передачи сообщений приближаются к тем, которые имеют место при источниках с управляемой скоростью.

За последнее десятилетие уровень развития территориаль­ных систем связи значительно определил любую другую область телекоммуникаций, ощутимо изменив стиль всей нашей жизни.

Средства связи - это комплект аппаратуры, обеспечиваю­щий взаимное соединение и передачу информации между або­нентами. Средства связи могут быть различны между собой. Виды связи в значительной степени зависят от того, как и где расположены элементы системы, которую они обслуживают.

Существуют системы, которые расположены на некоторой ограниченной территории (как правило, в одном помещении или нескольких помещениях, расположенных недалеко друг от дру­га), для обслуживания их используются локальные средства свя­зи.Они создаются специально для каждого случая и выполняют­ся так, чтобы технически обеспечить взаимодействие элементов системы. Существуют системы, элементы которой расположе­ны на значительных расстояниях. К ним относятся все системы связи, традиционно используемые в быту и на производствах. В таких случаях применяются каналы связи, использующиеся на данной территории. Такие виды связи принято считать террито­риальными, предназначенными для определенных территорий, или глобальными - для межгосударственных контактов.

Современные территориальные системы связи можно разде­лить на следующие группы:

Телеграф;

Телефонная связь;

Радиосвязь различных видов;

Индивидуальные соединительные линии связи. Индивидуальные линии создаются специально для систем, используемых на данной территории или в каком-либо помеще­нии, но технически они выполняются как разновидность одного из перечисленных каналов территориальной или локальной свя­зи.

Для оценки возможностей передачи информации рассмотрим конкретно каждый из видов связи.

8.2. Локальная система связи

Данная система связи выполняется как сеть, которая соеди­няет между собой специально подготовленное оборудование. Та­кая система связи способна передавать непосредственно ту ин­формацию, которая создается всей аппаратурой, сопряженной с ней. Простейшая сеть из двух компьютеров может быть органи­зована путем прямого соединения между собой установленных в этих компьютерах адаптеров. Расстояние между компьютера­ми может достигать 300-800 м. Для объединения компьютеров в вычислительную сеть используют технологию "разветвленная звезда".

Для создания более сложной сети применяют пассивные и ак­тивные разветвители, которые соединяются между собой в раз­личных сочетаниях.

Расстояние от пассивного разветвителя до компьютера или активного разветвителя - до 60 м. Если пассивные разветвите­ли выполняют только функции разветвления соединений сети, то активные разветвители содержат усилители передаваемого сигнала. Расстояния от компьютера до активного разветвителя или от одного активного разветвителя до другого может дости­гать 600-800 м.

Всего в одной локальной сети может работать до 255 ком­пьютеров. С учетом возможности последовательного соединения до 10 активных разветвителей протяженность такой цепочки мо­жет составлять до 6-8 км (рис. 50).

В тех случаях, когда используются территориальные виды связи, прямая передача сведений, создаваемых вычислительны­ми системами, невозможна, так как такие системы связи по сво­им техническим характеристикам не способны передавать ин­формацию с компьютера.

Для сопряжения компьютеров с такой сетью применяется следующая специальная аппаратура:

1. Модем - это устройство, позволяющее компьютеру выхо­дить на связь с другим компьютером посредством телефонных линий, т. е. модем может модулировать и демодулировать пе­редаваемое сообщение. При пользовании модемом возможен са­мый быстрый способ принять документальный материал с одно­го компьютера на другой без его распечатки. Пересылка файла по модему возможна в течение нескольких минут. При его рас­печатке пересылка его займет значительно больше времени.

2. Факс-модем - это устройство, позволяющее принимать факсимильные сообщения с выводом их на экран компьютера или с печатью на принтере и передавать документы, подгото­вленные на компьютере без их распечатки, а также использовать другие возможности телефаксов.

Рис. 50. Пример организации вычислительной сети

Любая система связи является системой передачи, в которой объектом передачи являются сообщения. Всякое сообщение есть совокупность сведений о состоянии какой-либо материальной системы, которые передаются человеком (устройством), наблюдающим эту систему, другому человеку (устройству), не имеющему возможности получить эти сведения путем непосредственных наблюдений. Материальная система вместе с наблюдателем представляет собой источник сообщений (корреспондент).

Источник выдает сообщения из некоторого множества возможных сообщений. Это множество может быть конечным (например, буквенный текст) или бесконечным (например, телефонное сообщение). Каждая буква, например, принадлежит конечному множеству, образующему алфавит, а каждое слово – конечному множеству, образующему словарь. Множество сообщений совместно с их вероятностями появления (априорными вероятностями) называется ансамблем сообщений.

С математической точки зрения всякое сообщения можно представить в виде некоторой функции времени m(t), которая может быть как непрерывной функцией непрерывного времени (например, при передаче речи), так и последовательностью чисел (слов, букв), т.е. функцией дискретного времени.

Чтобы сообщение могло быть передано получателю, необходимо воспользоваться каким-либо переносчиком. В качестве переносчика можно использовать любой физический процесс, например, электрический ток в проводе (проводная связь), электромагнитное поле (радиосвязь), звуковые волны, световой луч и т.д.

Изменяющаяся физическая величина S(t) , отображающая передаваемое сообщение m(t), называется сигналом. Очевидно, что каждому сообщению должен соответствовать свой сигнал, чтобы на приемной стороне по принятому сигналу можно было однозначно определить переданное сообщение.

Источник сообщений

помехи

Рис. 1.1. Блок-схема системы связи

следующих операций: преобразования неэлектрической величины в электрическую, кодирования и модуляции. Первая операция необходима при передаче любых сообщений - дискретных и не­прерывных. Например, при передаче речи она состоит в преобра­зовании звукового давления в пропорционально изменяющийся электрический ток микрофона.

Дискретные сообщения представляют собой случайную по­следовательность некоторых элементов m1,m2,...mn. Эта

последовательность на передающей стороне может быть преоб­разована по определенному закону в другую последовательность

a1,a2,…,al ,более удобную с технической точки зрения.

Операция преобразования последовательности {mn} последо­вательность {al} называется кодированием и осуществляется кодирующим устройством. Способы и цели кодирования могут быть различными.

Чаще всего кодирование состоит в дополнительном расчле­нении каждого элемента последовательности. При передаче письменного текста, например, каждой букве соответствует некоторая новая последовательность символов ai , называемая кодовой комбинацией. Если кодовая комбинация содержит N символов, каждый из которых принимает одно из m возможных значений, то число возможных комбинаций будет равно M = mn Число m называется основанием, а n - знатностью кода. Если m = 2, то код называется двоичным. При передаче дискретных сообщений в телеграфии широко исполь­зуется, например, пятизначный двоичный код (m=2, n=5). Этот кoд обеспечивает передачу сообщений с объемом алфавита M =25 =32 буквы. Каждая буква при этом передается после­довательностью из пяти токовых или бестоковых посылок ("нулей" и "единиц"). Коды, в которых все кодовые комбинации содержат одинаковое число элементов, называются равномерны­ми. Иногда используются и неравномерные коды, каковым яв­ляется, например, код Морзе.

Выше говорилось о так называемом примитивном кодирова­нии, целью которого является упрощение используемой аппарату­ры. В последнее время начинает широко использоваться помехо­устойчивое кодирование, целью которого является повышение надежности работы систем связи при наличии помех.

При передаче непрерывных сообщений операция кодирова­ния часто отсутствует. Однако в последнее время начинают при­меняться различные виды импульсной модуляции. При этом в качестве первичного переносчика используется периодическая последовательность импульсов. В этом случае оказываются воз­можными дискретные способы передачи и кодирования непрерыв­ных сообщений.

Операции кодирования обычно осуществляются электриче­скими схемами. Различным последовательностям кодовых сим­волов будут соответствовать последовательности элементов первичных электрических сигналов U(t) , которые называют немодулированными или видеосигналами.

Процесс преобразования сообщений в сигналы S(t)закан­чивается модуляцией некоторого переносчика. Модуляция заклю­чается в изменении какого-либо параметра переносчика f =f(a,b,...,t). Модулированный параметр (a) получает приращение, пропорцио­нальное модулирующему сигналу:

где Δa - максимальное абсолютное приращение модулируемого параметра, а величина

представляет собой относительное изменение этого параметра и называется коэффициентом модуляции. При передаче дискретных сообщений моду­лируемый параметр принимает одно из нескольких возможных дискретных значений. В этом случае вместо термина "модуляция" часто используется термин "манипуляция". Число возможных ви­дов модуляции равно числу параметров переносчика. Например, в случае синусоидального переносчика возможны амплитудная, фазовая и частотная виды модуляции.

Операцию формирования сигнала кратко можно представить в виде

где f - нелинейная операция, включающая в себя операции ко­дирования и модуляции.

Сформированный таким образом сигнал с выхода передат­чика поступает в линию связи. Линией связи называется физиче­ская среда, используемая для передачи сигналов от передатчика к приемнику. Этой средой может быть физическая цепь (пара проводов, кабель в проводной связи) или область пространства, в котором распространяются электромагнитные волны (радио -связь в любом диапазоне частот, в том числе и оптическом).

В реальных линиях связи всегда присутствуют помехи различного происхождения. Взаимодействие сигнала и помехи можно представить в виде некоторой линейной или нелинейной операции

Ha вход приемника поступает искаженный помехой сигнал x(t), по которому необходимо определить переданное сообщение. Следовательно, приемник должен осуществить операции, об­ратные операциям на передающей стороне: демодуляцию и деко­дирование. Демодуляцию принятого сигнала осуществляет демо­дулятор, который обрабатывает принятые сигналы по определен­ным правилам и производит опознавание переданных элементов сигнала (кодовых символов). Декодирующее устройство преобра­зует кодовые комбинации в элементы сообщения. В целом дейст­вие системы связи можно описать выражением:

y =W (x) = W {V [ξ,F(m,f)]}, (1.1.3)

где W - нелинейный оператор, включающий в себя операции демодуляции и декодирования.

Очевидно, что в идеальном случае принятое сообщение дол­жно точно соответствовать переданному, т.е. У(t)=m(t) . Однако наличие помех в линии связи вызывает принципиальную неоднозначность при восстановлении сообщения на приемной стороне. Поэтому всегда y(t)≈m(t).

Введем еще некоторые определения. Совокупность технических средств, предназначенных для передачи сообщения от источника к получателю, называется кана­лом связи. В него входят передатчик, линия связи и приемник. Любой канал характеризуется тремя основными параметрами:

а) полосой частот которую может пропустить канал,

б) временем Т, в течение которого канал предоставлен

для работы,

в) допустимым диапазоном уровней сигнала в канале (динамический диапазон).

Канал связи вместе с источником и получателем сообщений образует систему связи . Системы связи друг от друга могут от­личаться типом передаваемых сообщений, методами преобразо­вания сообщений в сигналы и восстановления сообщений по при­нятым сигналам, физической средой, используемой в качестве линии связи, и т.д.

По типу передаваемых сообщений системы связи могут быть непрерывными и дискретными. Телеграфные системы связи яв­ляются типичным примером дискретных систем. Системы теле­фонии, радиотелефонии, телевидения при аналоговых (непрерыв­ных) способах модуляции относятся к непрерывным системам связи. В последнее время для передачи непрерывных сообщений используются системы с различными видами импульсной модуля­ции. Такие системы можно отнести к типу смешанных систем.

В дискретных системах связи при демодуляции и декоди­ровании сигналов необходимо знание длительности, начала и кон­ца каждого элемента комбинации и всей комбинации в целом, т.е. необходима синфазность работы передающего и приемного устройств. По способу поддержания синфазности дискретные системы связи можно разделить на синхронные и асинхронные. В синхронных системах связи передатчик и приемник работают синхронно, для чего используется специальный канал синхрониза­ции. Примером синхронных систем являются телеграфные систе­мы связи, использующие пятизначный двоичный код Бодо. При­мером асинхронных систем связи являются стартстопные систе­мы, в которых фазирование работы приемника и передатчика осу­ществляется специальными дополнительными элементами в на­чале (стартовый) и в конце (стоповый) каждой кодовой комбина­ции.

Если по системе связи передается несколько сообщений от различных источников, то она называется многоканальной .

Если по каналу связи сигналы могут передаваться только в одном направлении, то канал называется симплексным. Если же сигналы могут одновременно передаваться в обоих направлениях, то канал называется дуплексным. Дуплексные системы связи по сути дела имеют два канала (прямой и обратный), в общем слу­чае не идентичны. В некоторых случаях в таких системах передача сообщений осуществляется лишь в одном направлении, а обратный канал используется для контроля и защиты от ошибок при пе редаче сообщений в прямом направлении. Такие системы назы­ваются системами с обратной связью. Обратная связь позволя­ет значительно повысить надежность работы и используется в системах связи и автоматического управления. В последних сиг­нал обратного канала воздействует на некоторое устройство для подстройки его параметров.

§ 1.2. Характеристики сигналов связи

Как уже отмечалось выше, передаваемые сигналы одно­значно связаны с передаваемыми сообщениями. Математиче­ским описанием сигнала является некоторая функция времени S(t) . Сигналы связи можно классифицировать по нескольким признакам.

В теории сообщений сигналы в первую очередь принято де­лить на детерминированные (регулярные) и случайные. Сигнал называется детерминированным, если он может быть описан из­вестной функцией времени. Следовательно, под детерминирован­ным понимается такой сигнал, который соответствует известно­му передаваемому сообщению и который можно точно предска­зать заранее за сколь угодно большой промежуток времени. Детерминированные сигналы принято подразделять на периодиче­ские, почти периодические и непериодические.

В реальных условиях сигнал в месте приема заранее неиз­вестен и не может быть описан определенной функцией времени. Принимаемые сигналы имеют непредсказуемый, случайный ха­рактер вследствие нескольких причин. Во-первых потому, что ре­гулярный сигнал не может нести информации.. Действительно, ес­ли бы о передаваемом сигнале было известно все, то его незачем было бы передавать. Обычно на приемной стороне известны лишь некоторые параметры сигнала. Во-вторых, сигналы имеют слу­чайный характер вследствие различного рода помех как внешних (космических, атмосферных, индустриальных и др.), так и внут­ренних (шумы ламп, сопротивлений и т.д.). Принимаемый сигнал искажается также вследствие прохождения через пинию связи, параметры которой часто являются случайной функцией времени.

Моделью сигнала связи является не одна функция времени S(t) , а набор некоторых функций, представляющих собой слу­чайный процесс. Каждый конкретный сигнал является одной на реализаций случайного процесса, которую можно описать детер­минированной функцией времени. Часто ансамбль возможных со­общений (сигналов) получателю известен. Задача состоит в том, чтобы по принятой реализации смеси сигнала 6 помехами опре­делить, какое сообщение из заданного ансамбля было передано.

Таким образом, передаваемый сигнал необходимо рассма­тривать как множество функций, являющихся реализациями слу­чайного процесса. Статистические характеристики этого процес­са полностью описывают свойства сигнала. Однако решение мно­гих конкретных задач становится в этом случае затруднитель­ным. Поэтому изучение сигналов и их прохождение через разли­чные цепи целесообразно начинать с отдельных реализаций как детерминированных функций.

Полное описание сигнала не всегда необходимо. Иногда для анализа бывает достаточно нескольких обобщенных харак­теристик, наиболее полно отражающих свойства сигнала. Одной из важнейших характеристик сигнала является его длительност ь

Т, которая определяет необходимое время работы канала и просто связана с количеством сведений, передаваемых этим сиг­налом. Второй характеристикой является ширина спектра сигнала F , которая характеризует поведение сигнала на протяже­нии его длительности, скорость его изменения. В качестве треть­ей характеристики можно было бы ввести такую, которая опреде­ляла бы амплитуду сигнала на протяжении его существования, например, мощность. Однако мощность сигнала P сама по се­бе не определяет условия его передачи по реальным каналам свя­зи с помехами. Поэтому сигнал принято характеризовать отноше­нием мощностей сигнала и помехи:

которое называют превышением сигнала над помехой или отно­шением сигнал/шум.

Часто используется также характеристика сигнала, называ­емая динамическим диапазоном ,

которая определяет интервал изменения уровней сигнала (например, громкости при передаче телефонных сообщений) и предъявляет соответствующие требования к линейности тракта. С этой же стороны сигнал можно охарактеризовать так называемым пикфактором

представляющим собой отношение максимального значения сигнала к действующему.

Чем больше пикфактор сигнала, тем хуже будут энергетические показатели радиотехнического устройства.

С точки зрения произведенных над сообщениями преобразо­ваний сигналы принято делить на видеосигналы (немодулированные) и радиосигналы (модулированные). Обычно спектр видео­сигнала сосредоточен в низкочастотной области. При использо­вании модуляции видеосигнал называют модулирующим. Спектр радиосигнала сосредоточен около некоторой средней частоты в области высоких частот. Радиосигналы могут передаваться в виде электромагнитных волн.

В заключение параграфа коротко охарактеризуем сигналы, используемые при различных видах связи. На рис. 1.2 показан ви­деосигнал в виде непрерывной импульсной последовательности. Такой сигнал формируется при телеграфных видах работы с ис­пользованием пятизначного двоичного кода. Ширина полосы ча­стот, используемая для передачи таких сигналов, зависит от ско­рости телеграфирования и равна, например, 150- 200 гц при ис­пользовании телеграфного аппарата СТ-35 и передаче 50 знаков в секунду. При передаче телефонных сообщений сигнал представляет

S(t)

S(t)

S(t)

t

t

S(t)

Рис. 1.2 - ви­деосигнал в виде непрерывной импульсной последовательности

Рис. 1.3 - передача неподвижных изображений с помощью фототелеграфа

собой непрерывную функцию времени, как это показано на рис. 1.26. В коммерческой телефонии сигнал обычно передается в полосе частот от ЗОО гц до 3400 гц. В вещании для качест­венной передачи речи и музыки требуется полоса частот пример­но от 40 гц до 10 кгц. При передаче неподвижных изображений с помощью фототелеграфа сигнал имеет вид, показанный на рис.1.З. Он представляет собой ступенчатую функцию. Число возможных уровней равно числу передаваемых тонов и полутонов. Для передачи используют один или несколько стандартных те­лефонных каналов. При передаче подвижных изображений в телевидении с использованием 625 строк разложения требуется полоса частот от 50 гц до 6 мгц. Сигнал при этом имеет слож­ную дискретно - непрерывную структуру. Модулированные сигна­лы имеют вид, показанный на рис.1.3 б (при амплитудной моду­ляции).

§ 1.3. Задачи и методы теории передачи сигналов

Как уже отмечалось выше, объектом передачи в системах связи являются сообщения, которые значительно отличаются от других объектов передачи, например, электрической энергии в системах электропередачи. В последних основная задача заклю­чается в передаче энергии потребителю с минимальными потеря­ми. Передача сообщений также сопровождается передачей энергии, но не в передаче энергии состоит основное назначение си­стемы связи. Энергетический коэффициент полезного действия систем связи (особенно радиосвязи) исчезающе мал. Очевидно, что для оценки эффективности систем связи нужны особые кри­терии. Одним из таких критериев может служить количество сведений, содержащихся в сообщении. Рассмотрим несколько при­меров.

В телеграфных системах связи сообщения представляют со­бой некоторый текст. Мерой количества сведений в этом случае может служить количество слов или букв. При передаче телефонных сообщений количество сведений будет определяться не толь­ко количеством слов, но и интонацией, тембром речи, диапазоном громкости звука. Аналогично, в телевизионном сообщении коли­чество сведений будет определяться степенью сложности изображения. Определить количество сведений в любом сообщении поз­воляет теория информации, которая составляет часть курса тео­рии передачи сигналов. Одной из характеристик системы связи является максимально возможное количество сведений, переда­ваемых (или принимаемых) в единицу времени. Определенная та­ким образом величина называется пропускной способностью системы связи.

При наличии помех передаваемые сообщения искажаются. Большой уровень помех может привести к невозможности приема

переданного сообщения. С этой точки зрения к системам связи предъявляется требование верности передачи или степени соот­ветствия принятого сигнала переданному. Последняя зависит, во-первых, от исправности аппаратуры, учет которой не являет­ся предметом изучения курса теории передачи сигналов, и во-вторых, от собственных свойств системы связи, определяемых способами передачи и приема сигналов. Способность системы связи противостоять вредному влиянию помех, обусловленная ее собственными свойствами, называется помехоустойчивостью системы связи. Помехоустойчивость систем связи является дру­гой важнейшей характеристикой системы связи. В качестве ко­личественной меры помехоустойчивости при передаче дискретных сообщений принято использовать вероятность ошибки, которая определяет относительное число неправильно принятых элементов сигнала. При передаче непрерывных сообщений помехоустойчи­вость оценивают величиной уклонения принятого сообщения от переданного. Величина уклонения определяется при этом по ка­кому-либо критерию, например среднеквадратичному:

где волнистая черта сверху означает усреднение по времени.

Таким образом, основные требования, предъявляемые к си­стемам связи, заключаются в повышении пропускной способности и помехоустойчивости. Эти требования противоречивы, так как можно повысить пропускную способность в ущерб помехоустой­чивости и наоборот. По-видимому, принципиально можно спроекти­ровать такую оптимальную систему связи, которая по некоторому критерию лучше других будет удовлетворять поставленным тре­бованиям.

Проектирование системы связи, обеспечивающей наиболь­шие пропускную способность и помехоустойчивость, требует уче­та многих факторов. В общей постановке задача состоит соглас­но (1.1.3) в выборе такого алгоритма (правила) работы системы Y=W{V}, чтобы при максимальной пропускной способности получить вы­ходное сообщение, минимально отличающееся от переданного с точки зрения некоторого критерия. Синтез такой оптимальной системы требует совместного выбора системы сигналов (операций

кодирования и способа модуляции) и способов приема (демодуляции и декодирования). В таком общем виде данная задача еще не решена.

Поэтому для получения практических результатов данную задачу приходится расчленять и синтезировать систему по ча­стям при некоторых фиксированных параметрах. Например, при заданном произвольно способе приема можно выбрать оптималь­ную систему сигналов, т.е. способы кодирования и модуляции. При выбранной системе сигналов задача сводится к построению оптимального приемника. Искомым является оператор W .

При раздельном выборе операторов F и W необхо­димо руководствоваться следующими принципами. Во-первых, приемник должен наилучшим образом подавлять помехи, т.е.обеспечивать максимальную помехоустойчивость. Система сигналов должна выбираться такой, чтобы сигналы, отображающие раз­личные сообщения, как можно более отличались друг от друга, чтобы помехи как можно менее влияли на их различие. Таким спо­собом можно выбрать наилучшие коды, наиболее помехоустой­чивые виды модуляции, построить оптимальный приемник, т.е. получить оптимальные решения для отдельных звеньев системы связи. Такой способ позволяет синтезировать если не наилучшие теоретически, то, по крайней мере, хорошие и работоспособные системы связи.

Именно в таком направлении и развивалась общая или ста­тистическая теория связи. В 1941 г. советский математик А.Н.Кол­могоров разработал математические основы теории оптимальных по критерию минимума среднеквадратичной ошибки линейных це­пей (фильтров), развитой в дальнейшем Н.Винером. В 1947 г. В.А. Котельников заложил основы теории помехоустойчивости в своей выдающейся работе "Теория потенциальной помехоустойчи­вости". В этой работе впервые была поставлена и решена задача построения идеального приемника, который обеспечивает потен­циальную, т.е. максимально возможную помехоустойчивость. В 1949 г. американский ученый К.Шеннон положил начало теории информации. Он доказал возможность такого кодирования, кото­рое позволяет получить максимально возможную скорость переда­чи сообщений со сколь угодно малой вероятностью ошибочного приема всего сообщения.

Эти работы и положили начало новой науке - общей теории связи или общей теории информации. Теория информации возникла благодаря проникновению в теорию и технику связи точных мате­матических методов. В узком смысле слова теория информации занимается отысканием оптимальных способов кодирования. В

широком смысле слова теория информации - это теория, исполь­зующая вероятностные и статистические методы для анализа и синтеза систем связи и их элементов. Использование этих ме­тодов в качестве основного математического инструмента объя­сняется тем, что сигналы связи являются не регулярными, а слу­чайными процессами.

Теория вероятностей и теория случайных процессов являют­ся главным математическим инструментом при анализе прохождения сигналов и помех через системы связи и их элементы. Ме­тоды математической статистики, особенно теории статистиче­ских решений и теории оценок, являются основными при синтезе и сравнении систем связи, удовлетворяющих определенным кри­териям качества.

Как отмечалось выше, отдельные реализации сигнала мож­но описать детерминированными (регулярными) функциями вре­мени. Поэтому для первоначального исследования физических процессов в устройствах передачи и приема электрических сиг­налов используются также и классические методы, например, метод гармонического анализа (ряды и интеграл Фурье).

Ниже рассматриваются методы математического описания сигналов связи.

ДЕТЕРМИНИРОВАННЫЕ СИГНАЛЫ

§ 2.1. Спектральное представление детерминированных

сигналов

Как отмечалось в главе 1, сигналы связи по своей природе являются случайными процессами. Однако, отдельные реализа­ции случайного процесса и некоторые специальные (например, испытательные) сигналы можно считать детерминированными функциями. Последние принято делить на периодические, почти периодические и непериодические, хотя строго периодических сигналов в реальных условиях не существует.

Сигнал называется периодическим, если он удовлетворяет условию

S(t)=S(t + KT) (2.1.1)

на интервале ≤ t ≤ , где Т - постоянная величи­на, называемая периодом, а К - любое целое число.

Непериодическим называется сигнал, который не удовлет­воряет условию (2.1.1.) на всей оси времени. Он задается на ко­нечном (t1≤t≤ t2) или полубесконечном (t1≤t<∞) ин­тервале времени, а за пределами этого интервала принимается тождественно равным нулю. Непериодический сигнал можно рас­сматривать как периодический, но с бесконечно большим перио­дом. Одной из характеристик непериодического сигнала являет­ся его длительность, под которой понимают либо длительность, соответствующую всему сообщению или отрезку сообщения, ли­бо длительность отдельного элемента (например, элемента ко­довой комбинации).

Почти периодическим сигналом называется такой, для ко­торого период можно указать лишь приближенно. Такими сигна­лами являются, например, сигналы, которые могут быть предста­влены в виде суммы гармонических составляющих с произволь­ными (не кратными) частотами.

В теории сигналов широко используется спектральное пред­ставление сигналов. Спектральным представлением детермини­рованного сигнала S(T) называется его представление в виде суммы конечного или бесконечного числа гармонических состав­ляющих. Основой спектрального представления сигналов являет-

ся преобразование Фурье. Рассмотрим сначала спектральное представление модулирующих или видеосигналов.

Как известно из математики, любую периодическую функцию с периодом Т, удовлетворяющую условиям Дирихле, можно представить в виде ряда Фурье
, (2.1.2)
где а коэффициенты aK и bК определяются пo формулам

Величина

определяет среднее значение сигнала за период и называется по­стоянной составляющей.

Частота называется основной частотой сигнала, а кратные ей частоты Fk = КF- высши­ми гармониками.

Выражение (2.1.2) можно переписать следующим образом

,
(2.1.6)

Обратные зависимости для коэффициентов и

C 5

Ω

C 4

C 2

C 1

C 6

C 3

2Ω

4Ω

3Ω

5Ω

w

6Ω

Рис. 2.1- гра­фик спектра амплитуд периодического сигнала

приведен гра­фик спектра амплитуд периодического сигнала. Аналогичный вид имеет и спектр фаз. Спектр периодической функции называется

линейчатым или дискретным, так как состоит из отдельных
линий, соответствующих частотам О, Ω.2Ω,…

Если функция S (t) , опи­сывающая сигнал, четная, т.е. S (t) = S (-t), то согласно (2.1.3) все bk= 0 , и соответ­ствующий ей ряд Фурье будет содержать только косинусоидальные члены. Если функция S(t) - нечетная, т.е. S(t) = -S(-t), то в ряде Фурье будут только синусоидальные члены. С использованием выражения

вместо (2.1.5) можно записать

Согласно выражениям (2.1.3) и (2.1.6) коэффициенты Ck и αk четны относительно k, а коэффициенты bk и фазовые углы - нечетны, т.е.

Поэтому вторую сумму в (2.1.8) можно представить в следующем виде

Объединяя обе суммы выражения (2.1.8), получим так назы­ваемую комплексную или показательную форму ряда Фурье

где коэффициенты называются комплексными амплитудами гармоник и связаны с коэффициентами Сk и k , а также bk и αk соотношениями

,
. (2.1.12)

На основании выражений (2.1.12) и (2.1.3) можно также записать

Сравнивая (2.1.5) и (2.1.13), замечаем, что при использова­нии комплексной записи ряда Фурье отрицательные значения к позволяют говорить о составляющих с "отрицательными* часто­тами. Однако появление отрицательных частот имеет формальный характер и связано с использованием комплексной формы записи для представления действительного сигнала. В самом деле, гар­монической составляющей с "физической" частотой Ωk = kΩ в выражении (2.1.11) соответствует следующая пара слагаемых

Эта пара слагаемых, вследствие четности модуля и нечетности фазы k , дает в сумме вещественную гармоническую функцию с положительной частотой:

Благодаря удвоению числа составляющих при использовании показательной формы записи ряда Фурье амплитуды их в 2 раза уменьшаются. Использование такой записи в значительной степе­ни упрощает математические выкладки при исследовании прохож­дения сигналов через различные линейные системы.

Вычислим теперь среднюю за период мощность сигнала

где волнистая черта сверху означает усреднение по времени. Поставляя (2.1.2) в (2.1.15) и учитывая, что
,
,

а интегрирование за период исходной функции Т гармониче­ских колебаний с удвоенной частотой и произведений косинусов и синусов с аргументами неодинаковой кратности дает нуль, вместо (2.1.15) получим

Это выражение носит название равенства Парсеваля, которое показывает, что средняя мощность сигнала равна сумме сред­них мощностей его частотных составляющих и не зависит от фа­зовых соотношений между отдельными составляющими.

Спектры непериодических сигналов

S(t)

t

T

α

Ω

2Ω

4Ω

3Ω

5Ω

6Ω

C k

C 5

C 4

C 2

C 1

C 6

C 3

Разложение в ряд Фурье может быть обобщено и на слу­чай непериодического сигнала. Действительно, пусть имеется периодический сигнал с периодом T и определенными ампли­тудным и фазовым спектром.

Рис.2.2 - При увеличении T частота первой гармоники уменьшается и спектральные линии

Если функция остается неизменной на интервале,то непериодическую функцию можно рассматривать как предель­ный случай периодической функции с неограниченно возрастаю­щим периодом. При увеличении T частота первой гармоники

уменьшается и спектральные линии на рис.2.2 б

располагаются чаще. В пределе при T→∞, интервал между

линиями в спектре сокращается до нуля, т.е. спектр вместо ди­скретного становится сплошным, непрерывным. Амплитуды гар­моник Сk , согласно (2.1. 13), становятся бесконечно малыми. Математически это можно выразить следующим образом. Введем вместо (2.1.13) функцию

Тогда вместо (2.1.11) получим

При Т→∞ частота kΩ может принимать любое значение ω,
.

Поэтому вместо (2.1 .17) и (2.1.18) окончательно получим

Эти два выражения носят название пары преобразований Фурье, которая связывает между собой функцию времени S(t) и комплексную функцию частоты S(jw) .

Физический смысл формулы (2.1.20) состоит в том, что непериодический сигнал S(t) имеет непрерывный спектр, т.е. представляется бесконечной суммой гармонических колебаний с бес­конечно малыми комплексными амплитудами (ср.(2.1.11))

Функция:

имеет размерность (амплитуда/герц) и показывает амплитуду сигнала, приходящуюся на единицу полосы частот в 1 гц. Поэтому эта непрерывная функция частоты называется спектральной плотностью комплексных амплитуд или просто спектральной плотностью.

Аналогично (2.1.12) спектральную плотность комплексных амплитуд можно представить в виде

и
. (2.1.24)

Функция называется модулем спектральной плотности или спектральной плотностью амплитуд, a -спектральной плотностью фаз.

Отметим одно важное обстоятельство. Сравнивая выраже­ния (2.1.13) и (2.1.17), замечаем, что при они отличаются только постоянным множителем, а

т.е. комплексные амплитуды периодической функции с периодом Т. можно определять по спектральной характеристике непе­риодической функции такого же вида, заданной в интервале. Сказанное справедливо и по отношению к модулю спек­тральной плотности:

Это соотношение формулируется следующим образом: огибающая сплошного амплитудного спектра непериодической функции и оги­бающая амплитуд линейчатого спектра периодической функции совпадают по форме и отличаются только масштабом (рис.2.2) Вычислим теперь энергию непериодического сигнала. Ум­ножая обе части равенства (2.1.20) на S(t) и интегрируя в бесконечных пределах, получим

где и - комплексно-сопряженные величины. Так как

Это выражение называется равенством Парсеваля для непериоди­ческого cигнала и аналогично (2.1.16), однако в отличии от последнего оно определяет не среднюю мощность, а полную энергию сигнала.

Из (2.1.28) видно, что есть не что иное, как энергия сигнала, приходящаяся на 1 гц полосы частот около частоты ω.

Поэтому функцию S2(w) иногда называют спектральной плот­ностью энергии сигнала S(t) .

В заключение параграфа приведем без доказательства не­сколько теорем о спектрах, выражающих основные свойства преобразования Фурье.

1. Теорема сложения. Спектр суммы нескольких сигналов

S(t) = S1(t)+S2(t) + ...

равен сумме спектров этих сигналов:

S(jw)=S1(jw) + S2(jw) + …

В справедливости этого выражения легко убедиться, используя выражения (2.1.19) и (2.1.20).

2. Теорема запаздывания. Спектральная плотность

сигнала полученного при сдвиге сигнала S(t) по
оси времени на, определяется выражением

т.е. сдвиг функции по оси времени приводит к появлению фазово­го сдвига для всех частотных составляющих, равного Wτ0

В справедливости последнего выражения легко убедиться, заменив в (2.1.19) t на

3. Теорема смещения . Если S(jw) - спектр функции S(t),

то спектру, полученному пу­тем сдвига исходного спектра по оси частот на величину w0 , соответствует функция

4. Теорема о спектрах производной и интеграла. Спектры
производной и интеграла от функции S(t) определяются соответственно выражениями

5. Теорема о спектре свертки . Сверткой двух функций S1(t)и S2(t) называется интеграл

Спектр свертки двух функций равен произведению спектров свертываемых функций:

В частном случае, когда, то

Используя последнее выражение, легко получить ранее введен­ное равенство Парсеваля (2.1.28).

§ 2.2 Спектры некоторых импульсных сигналов

Рассмотрим некоторые конкретные примеры использования преобразования Фурье для анализа импульсных сигналов.

1. Одиночный прямоугольный импульс . Пусть имеется прямоугольный импульс длительностью и амплитудой h (рис.2.3). Для такого импульса прямым преобразованием Фурье находим

S(w)

w

q

где - площадь импульса. График этого спектра для положительных частот показан на рис. 2.3. Спектральная плотность обращается в нуль при а при w=0, S(w)=q.

Рис.2.3- График спектра для положительных частот

замечаем, что при уменьшении длительности импульса функция S(w) растягивается, т.е.

ширина спектра увеличивается. При увеличении ширина спектра уменьшается.

Если ограничить спектр прямоугольного импульса первым нулем спектральной плотности, т.е. круговой частотой

то для произведения длительности импульса на ширину спектра получим

Это равенство является частным случаем более общего равенст­ва, справедливого для всех импульсных сигналов:

согласно которому произведение ширины спектра сигнала на его длительность есть величина постоянная, близкая к единице. Су­ществует несколько определений длительности импульса и ши­рины спектра. Согласно одному из них под длительностью им­пульса (шириной спектра) понимается промежуток времени (по­лоса частот), в котором сосредоточена подавляющая часть энер­гии импульса.

2. Колокольный (гауссов) импульс. Колокольным называет­ся импульс, который описывается функцией

Для спектральной плотности такого импульса с использованием преобразования Фурье получим

Графики колокольного импульса и модуля его спектра показаны на рис. 2.4. Первой особенностью такого импульса является то,

S(t)

-σ

σ

t

-2σ

2σ

S(w)

-

w

-

h

Рис.2.4- Графики колокольного импульса и модуля его спектра

что спектральная плотность его совпадает по форме с времен­ной функцией, т.е. является также гауссовой кривой. Другой особенностью такого импульса является то, что из всех возможных форм импульсов он имеет наименьшее произведение длительности на ширину спектра
.

3. Единичный импульс. Единичным импульсом или дельта--функцией σ(t) называется функция бесконечно малой дли­тельности с конечной площадью, равной единице:

Такую функцию можно рассматривать как предел прямоугольного импульса с длительностью τ и высотой при τ→0.Устремляя в (2.2.1) τ→0 , для спектральной плотности единичного импульса получим

Этот же результат можно получить и обычным способом:

так как δ(t)=0 при всех значениях t≠0, апри t=0 экспоненциальный множитель обращается в единицу. Здесь ис­пользовалось так называемое фильтрующее свойство δ - фун­кции, согласно которому

Таким образом, спектр единичного импульса является спло­шным и равномерным с единичной спектральной плотностью вплоть до бесконечно больших значений частоты.

Единичный импульс является математической абстракцией. Физически можно реализовать только короткий импульс, т.е. им­пульс очень малой длительности τ , с площадью, равной q. Спектр такого импульса определяется выражением

При малых τ величина и

Следовательно, короткий импульс любой формы имеет рав­номерный спектр вплоть до частот порядка (пока вы­полняется условие wt<1). Далее спектральная плотность начинает убывать.

4. Единичная функция. Единичная функция, единичный ска­чок или функция включения записывается в виде

Рис.2.5- Зависимость от частоты

Заметим, что рассмотренный ранее единичный импульс мож­но рассматривать как производную единичной функции:

а единичную функцию можно выразить интегральным соотношением

Используя теорему о спектре интеграла (2.1.31) и выраже­ние (2.2.5), получим

Модуль спектра этой функции есть Зависимость его от частоты показана на рис.2.5 б.

Единичная функция широко используется в качестве испытательного сигнала при исследовании переходных процессов в электрических цепях. Напомним, что отклик цепи h(t) на еди­ничную функцию называется переходной характеристикой .

5. Периодическая последовательность прямоугольных импульсов

Рассмотрим периодическую последовательность прямоугольных импульсов с длительностью и периодом Т (Рис.2.6). Используя (2.1.13), для такой последовательности получим

C k

w

C 5

C 7

C 8

C 1

C 2

C 4

(2.2.11)

Рис.2.6- периодическая последовательность прямоугольных импульсов

с длительностью и периодом Т

Этот же результат можно было бы получить и из выражения (2.2.1), используя соотно­шение (2.1.26), согласно которому спектральная плот­ность S (w) оди­ночного импульса длительностью С с точностью до постоянного множителя совпадает с огибающей спектра амплитуд периодической последовательности таких же импуль­сов с периодом следования Т. График модуля спектра (2.2.11) для положительных частот показан на рис.2.6.

На основании (2.1.11) и (2.2.11) периодическая последова­тельность прямоугольных импульсов разлагается в ряд Фурье сле­дующим образом

Отметим теперь следующее обстоятельство. Если при неиз­менной длительности импульса увеличивается период Т после­довательности, то расстояние между спектральными линиями Ω=> уменьшается, расстояние же между нулями огибающей спектра, равное, остается неизменным. При неизмен­ной длительности периода Т и изменении длительности импуль­са будет меняться расстояние между нулями огибающей спектра.

Число гармоник, укладывающихся в интервале или между любыми двумя соседними нулями, будет определяться величиной

Величина Q , равная отношению длительности периода к длительности импульсов, называется скважностью периодической импульсной последовательности.

6. Одиночный радиоимпульс. Радиоимпульсом называется импульс, временная функция которого записывается в виде

где τ - длительность импульса, a(t) - огибающая амплитуд,

w0 - частота, а φ0 - начальная фаза высокочастотного колебания, период которого Спектральная плотность радиоимпульса в соответствии с (2.1.19) будет равна

Спектральные плотности огибающей импульса α(t), смещенные по оси частот на постоянную величину (ср.с (2.1.30)).

Таким образом, спектральная плотность радиоимпульса пол­ностью определяется спектральной плотностью его огибающей. Можно показать, что при τ>>T0 и w>0 для большинства радиоимпульсов выполняется условие

Поэтому с достаточной точностью спектральную плотность одино­чного радиоимпульса можно определять по формуле

Проиллюстрируем сказанное на примере радиоимпульса с прямоугольной огибающей (рис.2.7):

откуда для модуля и фазы спектральной плотности находим

w

W 0

S(w)

ограниченном увеличении длительности импульса τ. получим гармоническое колебание в точном смысле определения периоди­ческой функции. Сплошной спектр колебания при этом вырожда­ется в одну спектральную линию на частоте ωo

§ 2.3. Модулированные колебания и их спектры

Как уже отмечалось в главе 1, модуляция заключается в изменении одного или нескольких параметров переносчика в соответствии с передаваемым сообщением. При использовании в качестве переносчика высокочастотного гармонического колебания модулированный сигнал в общем случае можно представить в ви­де

В зависимости от того, какой из параметров a, w или φ модулируется, различают три вида модуляции: амплитуд­ную (AM), частотную (ЧМ) и фазовую (ФМ). Всякое модулиро­ванное колебание несинусоидальное и имеет сложный спектр. Рас­смотрим перечисленные выше виды модуляции подробно.

S(t)

. (2.3.4) Как известно, гармонические колебания часто представляют в виде векторов. Аналогично можно построить векторную диаграмму для AM колебания, которая показана на рис.2.10. При построении диаграммы предполагалось, что плоскость чертежа вращается по часовой стрелке со скоростью w0 . Поэтому вектор несу

w

Рис.2.11- Спектр колебания

Заметим, что огиба­ющая амплитуд боковых частот с точностью до постоянного множителя совпада­ет с огибающей спектра амплитуд модулирующей функции. Это позволяет легко построить амплитудный спектр AM колебания, если известен спектр модулирующей функции. Для построения необходимо сместить спектр модулирующей функции по оси ча­стот на величину w0 , получая при этом верхнюю боковую по­лосу; нижняя боковая полоса будет являться зеркальным отображением верхней относительно частоты w0 .

Проиллюстрируем сказанное на примере амплитудной манипуляции (рис.2.12). В случае манипуляции модулирующая функция представляет собой периодическую последовательность прямоугольных импульсов и согласно (2.2.12)

при ar w:top="1134" w:right="850" w:bottom="1134" w:left="1701" w:header="720" w:footer="720" w:gutter="0"/>"> разлагается в следующий ряд Фурье

S(t)

t

τ

T

w

W 0

Рис.2.12 - амплитудная манипуляция

Амплитудно-манипулированное колебание при этом записы­вается в виде

Амплитудный спектр манипулированного колебания показан на рис.2.12.

Амплитудно-модулированные колебания являются типичным примером почти периодических сигналов, для которых гармонические составляющие имеют некратные частоты.

Рассмотрим энергетические соотношения при AM. В соот­ветствии с изменением амплитуды колебания изменяется и сред­няя за период высокой частоты мощность модулированного ко­лебания.

Мощность сигнала в отсутствии модуляции (мощность не­сущего колебания) определяется первым членом выражения (2.3.5) и равна

где период высокочастотного колебания.

В режиме модуляции мощность непрерывно изменяется. Ее максимальное и минимальное значения соответственно определяются выражениями

Мощность двух боковых частот (при модуляции чистым то­ном) при будет равна

Средняя за период модуляции мощность будет равна

где период модулирующего колебания.

Из последних выражений при m=1 получим

Таким образом, при стопроцентной модуляции 2/3 всей мощности тратится на передачу несущего колебания и 1/3 - на пере дачу боковых частот. Обусловленное модуляцией приращение мощ­ности, которое в основном и определяет условия выделения сооб­щения при приеме, в этом случае не превышает половины мощности несущего колебания. Кроме того, большая величина пико-4 вой мощности по сравнению со средней требует линейного ре­жима работы тракта приема-передачи в широком динамическом диапазоне (в передатчике лампы должны выбираться по макси­мальной мощности). Сказанное позволяет заключить, что амплитудная модуляция с энергетической точки зрения имеет суще­ственные недостатки.

Указанные недостатки амплитудной модуляции можно в значительной мере устранить, если использовать передачу с по­давленной несущей. Подавление несущей осуществляется при использовании балансной амплитудной модуляции (БАМ). Этот вид модуляции называют еще двухполюсной модуляцией (ДМ). При балансной модуляции сигнал записывается в виде

откуда при модуляции чистым тоном получим

т.е. только две боковые частоты без несущей.

При балансной модуляции аналогично (2.3.10) (2.3.13) находим

Следовательно, энергетические показатели в этом случае значи­тельно лучше, чем при обычной AM.

На рис.2.13 показан спектр сигнала при балансной модуля­ции и временные диаграммы при обычной и балансной модуляции. Временная диаграмма в последнем случае получается путем вычитания из обычного AM колебания составляющей Нетрудно видеть, что огибающая при балансной модуляции име­ет удвоенную частоту, а фаза высокочастотного заполнения меняется скачком на 180o при каждом переходе огибающей через нулевое значение. Весьма показательным примером этого может служить амплитудно-манипулированное колебание с подавленной несущей (рис.2.14). Такое колебание по сути дела будет являться фазоманипулированным колебанием, которое будет рассмотрено подробнее несколько ниже. Однако уже сейчас мож­но отметить, что фазоманипулированное колебание будет иметь амплитудный спектр AM колебания с подавленной несущей.

t

AM

t

Рис.2.14- амплитудно-манипулированное колебание с подавленной несущей

Использование БАМ и ОМ позволяет сократить бесполезный расход энергии на составляющую несущей частоты, а при ОМ - сокра­тить дополнительно вдвое ширину спектра передава­емого сигнала. Однако для демодуляции сигнала на приемной стороне несущая необходима. Необходимость восстановления несущей требует некоторо­го усложнения аппаратуры.

Частотная модуляция

При частотной модуляции по закону модулирующего коле­бания U(t) изменяется частота высокочастотного несущего колебания.

На рис.2.15 показаны графики модулирующего и модулированного сигналов в случае модуляции чистым тоном. Получим выражение для ЧМ - колебания. По определению

где - максимальное отклонение частоты, называемое де-внациеи частоты, a - относительное изменение частоты. По своему определе­нию мгновенная круго­вая частота является производной по време­ня от аргумента триго­нометрической функции COS Ψ(t) , предста­вляющей колебание, т.е.

U(t)

S(t)

t

t