где , - частота основной гармоники, ;
() – высшие гармоники; (включая ) и – коэффициенты Фурье.
, |
Постоянную составляющую (среднее значение) функции удобно вычислять по отдельному выражению полученному из при :
, тогда , |
Очевидно, что если сигнал представляет собой четную функцию времени , то в тригонометрической записи ряда Фурье (1.14) остаются только косинусоидальные составляющие , так как коэффициенты обращаются в нуль. Для сигнала определяемого нечетной функцией времени, наоборот, в нуль обращаются коэффициенты , и ряд содержит синусоидальные составляющие
Часто выражение (1.15) удобно представлять в другой, эквивалентной форме ряда Фурье:
, |
где , - амплитуда, - начальная фаза - ой гармоники.
На рис. 1.10 приведены графики, иллюстрирующие представление периодической последовательности прямоугольных импульсов конечным числом слагаемых () ряда Фурье.
Для функции (рис.1.10) разложение имеет вид
Периодическая последовательность прямоугольных импульсов представляется как результат сложения постоянной составляющей и синусоидальных сигналов с частотами , причем период синусоиды с частотой совпадает с периодом последовательности импульсов . Для удобства можно представить в виде .
Совокупность всех гармонических составляющих разложения функции в ряд Фурье называется спектром функции.
Наличие отдельных гармонических составляющих спектра и величины из амплитуд можно наглядно показать с помощью спектральной диаграммы (рис.1.11), у которой горизонтальная ось служит осью частот, а вертикальная – осью амплитуд.
В точках оси частот отображаются амплитуды соответствующих гармонических составляющих разложения функции.
Легко заметить, что график суммы двух первых слагаемых разложения (1.16) воспроизводит форму графика функции очень грубо, только в основных чертах. Учет третьего слагаемого существенно улучшает совпадение суммы с функцией . Таким образом, с увеличением числа учитываемых гармоник точность представления возрастает.
На практике спектральные диаграммы называют более кратко – амплитудный спектр, фазовый спектр. Чаще всего интересуются амплитудным спектром (рис. 1.11). По нему можно оценить процентное содержание гармоник, наличие и уровни отдельных гармонических составляющих спектра.
Пример 1.1. Разложим в ряд Фурье периодическую последовательность прямоугольных видеоимпульсов с известными параметрами (, , ) (рис. 1.12), четную относительно точки :
.
Воспользуемся для представления этого сигнала формой записи ряда Фурье в виде (1.12). Для спектрального представления последовательности прямоугольных импульсов начало отсчета целесообразно брать в середине импульса. Действительно, в этом случае и в разложении останутся только косинусоидальные составляющие, так как интегралы от нечетных функций за период равны нулю bk=0.
По формулам (1.14) находим коэффициенты:
, ,
позволяющие записать ряд Фурье:
,
где - скважность импульсной последовательности.
Для построения спектральных диаграмм при конкретных числовых данных полагаем и вычисляем коэффициенты гармоник. Результаты расчета первых восьми составляющих спектра при , , и 8 сведены в табл. 1.1 и построены спектральные диаграммы на рис.1.13.
Таблица 1.1. Амплитуды спектральных составляющих для периодической последовательности прямоугольных импульсов
Из приведенного примера следует, что с увеличением скважности увеличивается число спектральных составляющих и уменьшаются их амплитуды.
Выбор количества спектральных составляющих зависит от формы сигнала и точности его представления рядом Фурье. Плавное изменение формы сигнала потребует меньше числа гармоник при той же точности представления, чем для скачкообразного сигнала. Для приближенного представления прямоугольных импульсов на практике обычно считают, что достаточно трех - пяти гармоник.
Формы записи ряда Фурье. Сигнал называется периодическим, если его форма циклически повторяется во времени Периодический сигнал u(t) в общем виде записывается так:
u(t)=u(t+mT), m=0, ±1,±2,…
Здесь Т-период сигнала. Периодические сигналы могут быть как простыми, так и сложными.
Для математического представления периодических сигналоа с периодом Т часто пользуются рядом (2.2), в котором как базисные функции выбираются гармонические (синусоидальные и косинусоидальные) колебания кратных частот
y 0 (t)=1; y 1 (t)=sinw 1 t; y 2 (t)=cosw 1 t;
y 3 (t)=sin2w 1 t; y 4 (t)=cos2w 1 t; …,(2.3)
где w 1 =2p/T- основная угловая частота последовательности
функций. При гармонических базисных функциях из ряда (2.2) получаем ряд Фурье (Жан Фурье - французский математик и физик XIX века).
Гармонические функции вида (2.3) в ряде Фурье имеют следующие преимущества: 1) простое математическое описание; 2) инвариантность к линейным преобразованиям, т. е. если на входе линейной цепи действует гармоническое колебание, то и на выходе ее также будет гармоническое колебание, отличающееся от входного только амплитудой и начальной фазой; 3) как и сигнал, гармонические функции периодические и имеют бесконечную длительность; 4) техника генерирования гармонических функций достаточно проста.
Из курса математики известно, что для разложения периодического сигнала в ряд по гармоническим функциям (2.3) необходимо выполнение условий Дирихле. Но все реальные периодические сигналы этим условиям удовлетворяют и их можно представить в виде ряда Фурье, который может быть записан в одной из следующих форм:
u(t)=A 0 /2+ (A’ mn cosnw 1 t+A” mn nw 1 t), (2.4)
где коэффициенты
А 0 =
A mn ”= (2.5)
u(t)=A 0 /2+ (2.6)
A mn = (2.7)
или в комплексной форме
u(t)= (2.8)
C n = (2.9)
Из (2.4) - (2.9) следует, что в общем случае периодический сигнал u(t) содержит постоянную составляющую A 0 /2и набор гармонических колебаний основной частоты w 1 =2pf 1 и ее гармоник с частотами w n =nw 1 , n=2,3,4,… Каждое из гармонических
колебаний ряда Фурье характеризуется амплитудойи начальной фазой y n .nn
Спектральная диаграмма и спектр периодического сигнала. Если какой-либо сигнал представлен в виде суммы гармонических колебаний с разными частотами, то говорят, что осуществлено спектральное разложение сигнала.
Спектральной диаграммой сигнала принято называть графическое изображение коэффициентов ряда Фурье этого сигнала. Различают амплитудные и фазовые диаграммы. На рис. 2.6 в некотором масштабе по горизонтальной оси отложены значения частот гармоник, по зертикальной оси - их амплитуды A mn и фазы y n . Причем амплитуды гармоник могут принимать только положительные значения, фазы - как положительные, так и отрицательные значения в интервале -p£y n £p
Спектр сигнала - это совокупность гармонических составляющих с конкретными значениями частот, амплитуд и начальных фаз, образующих в сумме сигнал. В технических приложениях на практике спектральные диаграммы называют более кратко - амплитудный спектр, фазовый спектр. Чаще всего интересуются амплитудной спектральной диаграммой. По ней можно оценить процентное содержание гармоник в спектре.
Пример 2.3. Разложить в ряд Фурье периодическую последовательность прямоугольных видеоимпульсов с известными параметрами (U m , T, t z), четную "Относительно точки t=0. Построить спектральную диаграмму амплитуд и фаз при U m =2B, T=20мс, S=T/t и =2 и 8.
Заданный периодический сигнал на интервале одного периода можно записать как
u(t) =
Воспользуемся для представления этого сигнала формой записи ряда Фурье в виде (2.4). Так как сигнал четный, то в разложении останутся только косинусоидальные составляющие.
Рис. 2.6. Спектральные диаграммы периодического сигнала:
а - амплитудная; б - фазoвая
Интеграл от нечетной функции за период равеy нулю. По формулам (2.5) находим коэффициенты
позволяющие записать ряд Фурье:
Для построения спектральных диаграмм при конкретных числовых данных задаемся я=0, 1, 2, 3, ... и вычисляем коэффициенты гармоник. Результаты расчета первых восьми составляющих спектра сведены в табл. 2.1. В ряде (2.4) А" mn =0 и согласно (2.7) A mn =|A’ mn |, основная частота f 1 =1/T= 1/20-10 -3 =50 Гц, w 1 =2pf 1 =2p*50=314рад/с. Амплитудный спектр на рис.
2.7 построен для таких n, при которых А mn больше 5% максимального значения.
Из приведенного примера 2.3 следует, что с увеличением скважности увеличивается число спектральных составляющих и уменьшаются их амплитуды. Говорят, что такой сигнал обладает богатым спектром. Необходимо отметить, что для многих практически применяемых сигналов нет необходимости проводить вычисление амплитуд и фаз гармоник по приведенным ранее формулам.
Таблица 2.1. Амплитуды составляющих ряда Фурье периодической последовательности прямоугольных импульсов
Рис. 2.7. Спектральные диаграммы периодической последовательности импульсов: а -при скважности S-2; - б-при скважности S=8
В математических справочниках имеются таблицы разложений сигналов в ряд Фурье. Одна из таких таблиц приведена в приложении (табл. П.2).
Часто возникает вопрос: сколько же взять спектральных со-ставляющих (гармоник), чтобы представить реальный сигнал рядом Фурье? Ведь ряд-то, строго говоря, бесконечный. Однозначного ответа здесь нельзя дать. Все зависит от формы сигнала и точности его представления рядом Фурье. Более плавное изменение сигнала - меньше требуется гармоник. Если сигнал имеет скачки (разрывы), то необходимо суммировать большее число гармоник для достижения такой же погрешности. Однако во многих случаях, например в телеграфии, считают, что и для передачи прямоугольных импульсов с крутыми фронтами достаточно трех гармоник.
а) Последовательность прямоугольных импульсов .
Рис 2. Последовательность прямоугольных импульсов.
Данный сигнал является четной функцией и для его представления удобно использовать синусно-косинусную форму ряда Фурье:
. (17)
Длительность импульсов и период их следования входят в полученную формулу в виде отношения, которое называется скважностью последовательности импульсов :.
. (18)
Значение постоянного слагаемого ряда с учетом соответствует:
.
Представление последовательности прямоугольных импульсов в виде ряда Фурье имеет вид:
. (19)
График функции носит лепестковый характер. Горизонтальную ось градуируют в номерах гармоник и в частотах.
Рис 3. Представление последовательности прямоугольных импульсов
в виде ряда Фурье.
Ширина лепестков , измеренная в количестве гармоник, равна скважности (при , имеем , если ). Отсюда следует важное свойство спектра последовательности прямоугольных импульсов – в нем отсутствуют гармоники с номерами, кратными скважности . Расстояние по частоте между соседними гармониками равно частоте следования импульсов . Ширина лепестков, измеренная в единицах частоты, равна , т.е. обратно пропорциональна длительности сигнала. Можно сделать вывод: чем короче импульс, тем шире спектр .
б) Пилообразный сигнал.
Рис 4. Пилообразный сигнал.
Пилообразный сигнал в пределах периода описывается линейной функцией
, . (20)
Данный сигнал является нечетной функцией, поэтому его ряд Фурье в синусно-косинусной форме содержит только синусные составляющие:
Ряд Фурье пилообразного сигнала имеет вид:
Для спектров прямоугольного и пилообразного сигналов характерно, что амплитуды гармоник с ростом их номеров убывают пропорционально .
в) Последовательность треугольных импульсов .
Ряд Фурье имеет вид:
Рис 5. Последовательность треугольных импульсов.
Как видим, в отличие от последовательности прямоугольных и пилообразных импульсов, для треугольного периодического сигнала амплитуды гармоник убывают пропорционально второй степени номеров гармоник. Это связано с тем, что скорость убывания спектра зависит от степени гладкости сигнала.
Лекция №3. Преобразование Фурье.
Свойства преобразования Фурье.
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 1
РАЗЛОЖЕНИЯ СИГНАЛОВ В РЯД ФУРЬЕ
Цель задания
Ознакомиться с примерами разложения сигналов в ряд Фурье и практически реализовать разложение различного вида сигналов в системе MatLab.
Постановка задачи
Осуществить разложения сигналов различного вида в ряд Фурье. Разложению подлежат следующие сигналы: последовательность прямоугольных импульсов, меандр, пилообразный сигнал и последовательность треугольных импульсов.
Для каждого варианта и каждого вида сигнала заданы параметры:
для последовательности прямоугольных импульсов – амплитуда, период повторения и длительность импульсов;
для меандра, пилообразного сигнала и последовательности треугольных импульсов – амплитуда и период повторения импульсов.
Для всех видов сигналов задано число ненулевых гармоник.
Cоставить программы в системеMatLabи построить графики.
Постановка задачи.
Код программ для разложения последовательности прямоугольных импульсов, меандр, пилообразного сигнала и последовательности треугольных импульсов.
Результаты выполнения программ – графики промежуточных стадий суммирования.
Методические указания
Ряд Фурье
Разложению в ряд Фурье могут подвергаться периодические сигналы. При этом они представляются в виде суммы гармонических функций либо комплексных экспонент с частотами, образующими арифметическую прогрессию.
Ряд Фурье может быть применен для представления не только периодических сигналов, но и сигналов конечной длительности. При этом оговаривается временной интервал, для которого строится ряд Фурье, а в остальные моменты времени сигнал считается равным нулю. Для расчета коэффициентов ряда такой подход фактически означает периодическое продолжение сигнала за границами рассматриваемого интервала.
Синусно-косинусная форма
В этом варианте ряд Фурье имеет следующий вид:
Здесь
– круговая частота, соответствующая
периоду повторения сигнала, равному.
Входящие в формулу кратные ей частоты
называются гармониками, гармоники
нумеруются в соответствии с индексом
;
частота
называется
–й
гармоникой сигнала. Коэффициенты ряда
ирассчитываются по формулам:
,
.
Константа рассчитывается по общей формуле для. Само же это слагаемое представляет собой среднее значение сигнала на периоде:
.
Если
является четной функцией, то всебудут равны нулю и в формуле ряда Фурье
будут присутствовать только косинусные
слагаемые. Если
является нечетной функцией, равны нулю
будут, наоборот, косинусные коэффициентыи в формуле останутся лишь синусные
слагаемые.
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ ИМПУЛЬСОВ
Последовательность прямоугольных импульсов с амплитудой , длительностьюи периодом повторения.
Рис. 1 Периодическая последовательность прямоугольных импульсов
Данный сигнал является четной функцией, поэтому для его представления удобнее использовать синусно-косинусную форму ряда Фурье – в ней будут присутствовать только косинусные слагаемые , равные
.
Отношение периода к
длительности импульсов называют
скважностью
последовательности импульсов
и обозначают буквой
:
.
Представление последовательности прямоугольных импульсов в виде ряда Фурье:
.
Амплитуды гармонических слагаемых ряда зависят от номера гармоники.
МЕАНДР
Частным случаем предыдущего сигнала является меандр – последовательность прямоугольных импульсов со скважностью, равной двум, когда длительности импульсов и промежутков между ними становятся равными (рис.2).
Рис. 2 Меандр
При
,
получим
Здесь m – произвольное целое число.
При разложении в ряд Фурье четные составляющие будут отсутствовать.
ПИЛООБРАЗНЫЙ СИГНАЛ
В пределах периода он описывается линейной функцией:
Рис. 3. Пилообразный сигнал
Данный сигнал является нечетной функцией, поэтому его ряд Фурье в синусно-косинусной форме будет содержать только синусные слагаемые:
.
Сам ряд Фурье для пилообразного сигнала выглядит следующим образом:
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ ТРЕУГОЛЬНЫХ ИМПУЛЬСОВ
Рис.4. Последовательность треугольных импульсов
Сигнал является четной функцией, поэтому будут присутствовать косинусные составляющие.
Вычислим коэффициенты ряда Фурье:
Сам ряд Фурье имеет следующий вид:
Как видите, в отличие от последовательностей прямоугольных и пилообразных импульсов, для треугольного периодического сигнала амплитуды гармоник убывают пропорционально второй степени номеров гармоник .
Код программы для меандра
N= 8; % число ненулевых гармоник
t= -1:0.01:1; % вектор моментов времени
A= 1; % амплитуда
T= 1; % период
nh= (1:N)*2-1; % номера ненулевых гармоник
harmonics = cos(2*pi*nh"*t/T);
Am= 2/pi./nh; % амплитуды гармоник
Am(2:2:end) = -Am(2:2:end); % чередование знаков
s1 = harmonics .* repmat(Am", 1, length(t));
% строки-частичные суммы гармоник
for k=1:N, subplot(4, 2, k), plot(t, s2(k,:)), end
Р
езультат
работы программы
Комментарии :repmat – создание блочной матрицы или многомерного блочного массива из одинаковых блоков.repmat(Am", 1,length(t)) – матрица состоит из 1 блока по вертикали иlength(t) блоков по горизонтали, каждый блок является матрицейAm".
Cumsum – расчет частичных сумм элементов.
Subplot (Rows , Cols , N ) – команда для вывода нескольких графиков. Графическое окно разбивается на клетки в виде матрицы, имеющейRows – строк,Cols – столбцов, иN – клетка становится текущей.
Варианты
№ варианта |
Параметры для сигналов |
|||
–амплитуда сигнала |
–период повторения сигналов |
–длительность сигнала |
–число ненулевых гармоник |
|
Антивирус Bitdefender: эффективный защитник Без вопросов
Значение слова неудачный
Обзор Samsung Galaxy A7 (2017): не боится воды и экономии Стоит ли покупать samsung a7
Делаем бэкап прошивки на андроиде
Как настроить файл подкачки?