Метод переменных состояния. Территория электротехнической информации WEBSOR

Основы > Теоретические основы электротехники

Метод переменных состояния
Уравнениями состояния можно назвать любую систему уравнений, определяющих режим цепи. В более узком смысле - это система дифференциальных уравнений первого порядка, разрешенная относительно производных.
Методом переменных состояния назовем анализ цепи, основанный на решении уравнений состояния (первого порядка), записанных в форме Коши. Таким образом, метод переменных состояния - один из методов расчета прежде всего переходных процессов. Далее предполагается, что цепь имеет только независимые источники и не содержит индуктивных сечений и емкостных контуров. В противном случае составление уравнений становится намного сложнее.
Для линейной цепи с постоянными сосредоточенными параметрами ток каждой ветви, напряжение между выбранными выводами, заряд на обкладках конденсатора и т. д. всегда можно найти как решение составленного для этого тока, напряжения, заряда и т. д. дифференциального уравнения (например, исключением других токов и напряжений из системы уравнений Кирхгофа):

Введением переменных это уравнение сводится к эквивалентной системе дифференциальных уравнений первого порядка:

Здесь переменными, которые называются переменными состояния , служат переменная х и ее производные.
Как известно, переходный процесс в любой цепи, кроме ее параметров (значений r , L, С, М) и действующих источников [ e(t) и J(t)], определяется независимыми начальными (t = 0) условиями - токами в индуктивных элементах и напряжениями на емкостных элементах , которые должны быть известны или рассчитаны. Через них выражаются искомые величины во время переходного процесса. Они же определяют энергетическое состояние цепи. Поэтому в качестве переменных состояния целесообразно выбирать токи и напряжения . Действующие источники можно назвать входными величинами , искомые величины - выходными . Для цепи с n независимыми токами и напряжениями должны быть заданы еще n независимых начальных условий.

Сокращенно дифференциальные уравнения состояния запишем в матричной форме так:

или короче

где X матрица-столбец (размера n x 1) переменных состояния (вектор переменных состояния); F - матрица-столбец (размера m x 1) ЭДС и токов источников (внешних возмущений); А - квадратная матрица порядка n (основная); В - матрица размера п х m (матрица связи). Элементы этих матриц определяются топологией и параметрами цепи.
Для выходных величин (если определяются не токи в индуктивных и напряжения на емкостных элементах) в матричной форме система алгебраических уравнений имеет вид

или короче

где W - матрица-столбец (размера l x 1 ); M - матрица связи (размера l x n ); N - матрица связи (размера l x m ).
Элементы матриц зависят от топологии и параметров цепи. Для уравнений состояния разработаны и машинные алгоритмы формирования на основе топологии и значений параметров.
Уравнения в матричной форме (14.91) можно составить, например, с применением метода наложения. Для получения зависимостей между производными переменных состояния, т. е. и переменными состояния , а также ЭДС и токами источников, действующими в цепи, будем считать, что переменные состояния заданы. Рассматриваемую цепь, например на рис. 14.41, а, заменим после коммутации эквивалентной (рис. 14.41,6), у которой каждый заданный ток представлен источником тока , а каждое заданное напряжение - источником напряжения (ЭДС) . Применив метод наложения (положительные направления выбраны), запишем напряжения и токи (сначала учитываем действие источников затем и далее источников, действующих в цепи):

Так как , то

Конечно, уравнения (14.93) можно получить и из уравнений Кирхгофа исключением токов и напряжений ре-зистивных элементов. Однако совместное решение уравнений Кирхгофа с увеличением числа ветвей цепи становится все более громоздким.
Уравнения состояния можно формировать и сразу в матричной форме.
Если источников тока и ЭДС нет, т. е. F = 0, то уравнения (14.91) упрощаются

и характеризуют свободные процессы в цепи. Решение запишем в виде

где X (0) - матрица-столбец начальных значений переменных состояния; - матричная экспоненциальная функция.
Подставив (14.94) в (14.91в), убедимся, что получается тождество.
При решение уравнения (14.91) представим в виде

где Ф(t ) - некоторая матричная функция цепи. После дифференцирования (14.95) получим

Сравним (14.96) с (14.91а)

и, умножив на , после интегрирования найдем, что

где q - переменная интегрирования, или



Подставим это выражение в (14.95):



В частности, при t = 0 имеем
Следовательно, решение для переменных состояния записывается в виде


(реакция цепи равна сумме реакций при нулевом входе и при нулевом начальном состоянии).
Это решение можно получить и применив операторный метод расчета переходных процессов, рассматриваемый в разделе .
Выходные величины можно найти по (14.92).
Если состояние цепи задано не при t = 0, а при , то в (14.97) первое слагаемое записывается так: , а нижний предел интеграла не 0, а t .
Главная трудность расчета заключается в вычислении матричной экспоненциальной функции. Один из путей такой: сначала находим собственные значения l матрицы А, т. е. корни уравнения

где 1 - единичная матрица порядка n , которые определяются из уравнения

где - элементы матрицы А.
Собственные значения совпадают с корнями характеристического уравнения цепи.
Матричная экспонента, аргумент которой - матрица А t , имеющая порядок n , представима конечным числом n слагаемых. Если собственные значения различны, то

Где - функции времени; и т. д.
Далее для определения составляем алгебраическую систему n уравнений

Наконец, определив из (14.100), по (14.99) находим и затем X (t) по (14.97).

Пример 14.6. Определить ток в цепи на рис. 14.42 после коммутации при .

Решение. Выбираем положительные направления токов в индуктивных элементах, т. е. переменных состояния, и тока . Независимые начальные условия: . Дифференциальные уравнения цепи

Исключив ток , получим уравнения относительно производных переменных состояния:

т. е. согласно (14.91)

и матрица-столбец начальных значений

Вычислим собственные значения; по (14.98)

откуда . Если приравнять нулю главный определитель уравнений с переменными состояния, то получим те же значения .
Находим коэффициенты ак по (14.100), т. е. из системы уравнений

Значения тока вычисленные в моменты секунд для интервала времени 0 - 0,1 с, в конце которого ток отличается от установившегося менее чем на 1,5%, приведены в табл. 14.1. При вычислениях цифры записывались с 8 разрядами, а во всех приведенных в примере формулах и в табл. 14.1 указаны с округлением.

Таблица 14.1

	0,005	0,010	0,015	0,020	0,025	0,030	0,035	0,040	0,045	0,050
	1,079	1,213	1,343	1,455	1,550	1,628	1,692	1,746	1,790	1,827
	0,055	0,060	0,065	0,070	0,075	0,080	0,085	0,090	0,095	0,100
, то для n - q разных корней составляется система (14.100), а для q кратных уравнения получаются после вычисления первых q - 1 производных по от обеих частей уравнения с корнем , т. е. Если в цепи действует только один источник ЭДС (или тока), представляющий единичный скачок 1( t ), т. е. F(t )=1(t ), и начальные условия нулевые, то решение (14.97) запишется в виде Для выходных величин по (14.92а) получим Это будут переходные функции цепи h(t). Импульсные переходные функции k (t ) определяются по (14.84) или (14.85). Более общим путем вычисления матричной экспоненциальной функции служит ее представление бесконечным рядом но ряд при больших t медленно сходится. При ограничении конечным числом слагаемых вычисление сводится к умножению и суммированию матриц. Такие операции есть в математическом обеспечении ЭВМ. Известен метод вычисления матричной экспоненциальной функции, основанный на критерии Сильверста. Уравнения состояния цепей, порядок которых больше двух-трех, проще решаются не аналитическими, а численными методами, дающими возможность автоматизировать расчет в случае применения ЭВМ.

Зная реакцию цепи на единичное возмущающее воздействие, т.е. функцию переходной проводимости или (и) переходную функцию по напряжению , можно найти реакцию цепи на воздействие произвольной формы. В основе метода – метода расчета с помощью интеграла Дюамеля – лежит принцип наложения.

При использовании интеграла Дюамеля для разделения переменной, по которой производится интегрирование, и переменной, определяющей момент времени, в который определяется ток в цепи, первую принято обозначать как , а вторую - как t.

Пусть в момент времени к цепи с нулевыми начальными условиями (пассивному двухполюснику ПД на рис. 1) подключается источник с напряжением произвольной формы. Для нахождения тока в цепи заменим исходную кривую ступенчатой (см. рис. 2), после чего с учетом, что цепь линейна, просуммируем токи от начального скачка напряжения и всех ступенек напряжения до момента t, вступающих в действие с запаздыванием по времени.

В момент времени t составляющая общего тока, определяемая начальным скачком напряжения , равна .

В момент времени имеет место скачок напряжения , который с учетом временного интервала от начала скачка до интересующего момента времени t обусловит составляющую тока .

Полный ток в момент времени t равен, очевидно, сумме всех составляющих тока от отдельных скачков напряжения с учетом , т.е.

Заменяя конечный интервал приращения времени на бесконечно малый, т.е. переходя от суммы к интегралу, запишем

.

(1)

Соотношение (1) называется интегралом Дюамеля.

Следует отметить, что с использованием интеграла Дюамеля можно определять также напряжение. При этом в (1) вместо переходной проводимости будет входить переходная функция по напряжению.

Последовательность расчета с использованием
интеграла Дюамеля

В качестве примера использования интеграла Дюамеля определим ток в цепи рис. 3, рассчитанный в предыдущей лекции с использованием формулы включения.

Исходные данные для расчета: , , .

Полученный результат аналогичен выражению тока, определенному в предыдущей лекции на основе формулы включения.

Метод переменных состояния

Уравнения элекромагнитного состояния – это система уравнений, определяющих режим работы (состояние) электрической цепи.

Метод переменных состояния основывается на упорядоченном составлении и решении системы дифференциальных уравнений первого порядка, которые разрешены относительно производных, т.е. записаны в виде, наиболее удобном для применения численных методов интегрирования, реализуемых средствами вычислительной техники.

Количество переменных состояния, а следовательно, число уравнений состояния равно числу независимых накопителей энергии.

К уравнениям состояния выдвигаются два основных требования:

Независимость уравнений;

Возможность восстановления на основе переменных состояния (переменных, относительно которых записаны уравнения состояния) любых других переменных.

Первое требование удовлетворяется специальной методикой составления уравнений состояния, которая будет рассмотрена далее.

Для выполнения второго требования в качестве переменных состояния следует принять потокосцепления (токи в ветвях с индуктивными элементами) и заряды (напряжения) на конденсаторах. Действительно, зная закон изменения этих переменных во времени их всегда можно заменить источниками ЭДС и тока с известными параметрами. Остальная цепь оказывается резистивной, а следовательно, всегда рассчитывается при известных параметрах источников. Кроме того, начальные значения этих переменных относятся к независимым, т.е. в общем случае рассчитываются проще других.

При расчете методом переменных состояния, кроме самих уравнений состояния, связывающих первые производные и с самими переменными и и источниками внешних воздействий – ЭДС и тока, необходимо составить систему алгебраических уравнений, связывающих искомые величины с переменными состояния и источниками внешних воздействий.

Таким образом, полная система уравнений в матричной форме записи имеет вид

;

(2)

.

(3)

Здесь и - столбцовые матрицы соответственно переменных состояния и их первых производных по времени; - матрица-столбец источников внешних воздействий; - столбцовая матрица выходных (искомых) величин; - квадратная размерностью n x n (где n – число переменных состояния) матрица параметров, называемая матрицей Якоби; - прямоугольная матрица связи между источниками и переменными состояния (количество строк равно n, а столбцов – числу источников m); - прямоугольная матрица связи переменных состояния с искомыми величинами (количество строк равно числу искомых величин к, а столбцов – n); - прямоугольная размерностью к x m матрица связи входа с выходом.

Начальные условия для уравнения (2) задаются вектором начальных значений (0).

В качестве примера составления уравнений состояния рассмотрим цепь на рис. 4,а, в которой требуется определить токи и .

По законам Кирхгофа для данной цепи запишем

;

(4)

;

(5)

Матричное уравнение вида (3) вытекает из соотношений (4) и (6):

С

D

Вектор начальных значений (0)= .

Непосредственное использование законов Кирхгофа при составлении уравнений состояния для сложных цепей может оказаться затруднительным. В этой связи используют специальную методику упорядоченного составления уравнений состояния.

Методика составления уравнений состояния

Эта методика включает в себя следующие основные этапы:

1. Составляется ориентированный граф схемы (см. рис. 4,б), на котором выделяется дерево, охватывающее все конденсаторы и источники напряжения (ЭДС). Резисторы включаются в дерево по необходимости: для охвата деревом всех узлов. В ветви связи включаются катушки индуктивности, источники тока и оставшиеся резисторы.

2. Осуществляется нумерация ветвей графа (и элементов в схеме), проводимая в следующей последовательности: первыми нумеруются участки графа (схемы) с конденсаторами, затем резисторами, включенными в дерево, следующими нумеруются ветви связи с резисторами и, наконец, ветви с индуктивными элементами (см. рис. 4,б).

3. Составляется таблица, описывающая соединение элементов в цепи. В первой строке таблицы (см. табл. 1) перечисляются емкостные и резистивные элементы дерева, а также источники напряжения (ЭДС). В первом столбце перечисляются резистивные и индуктивные элементы ветвей связи, а также источники тока.

Таблица 1 . Таблица соединений

Процедура заполнения таблицы заключается в поочередном мысленном замыкании ветвей дерева с помощью ветвей связи до получения контура с последующим обходом последнего согласно ориентации соответствующей ветви связи. Со знаком «+» записываются ветви графа, ориентация которых совпадает с направлением обхода контура, и со знаком «-» ветви, имеющие противоположную ориентацию.

Осуществляется расписывание таблицы по столбцам и по строкам. В первом случае получаются уравнения по первому закону Кирхгофа, во втором – по второму.

В рассматриваемом случае (равенство тривиально)

,

откуда в соответствии с нумерацией токов в исходной цепи

.

При расписывании таблицы соединений по строкам напряжения на пассивных элементах необходимо брать со знаками, противоположными табличным:

(7)

Эти уравнения совпадают соответственно с соотношениями (6) и (5).

Из (7) непосредственно вытекает

.

Таким образом, формализованным способом получены уравнения, аналогичные составленным выше с использованием законов Кирхгофа.

Литература

1. Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники: Электрические цепи. Учеб. для студентов электротехнических, энергетических и приборостроительных специальностей вузов. –7-е изд., перераб. и доп. –М.: Высш. шк., 1978. –528с.
2. Матханов П.Н. Основы анализа электрических цепей. Линейные цепи.: Учеб. для электротехн. радиотехн. спец. вузов. 3-е изд., перераб. и доп. –М.: Высш. шк., 1990. –400с.

Контрольные вопросы и задачи

А
В

Расчет переходных процессов в линейных электрических цепях методом переменных состояния

Это наиболее универсальный метод расчета цепей как них, так и нелинейных. Метод используется для расчета цепей высокого порядка, когда применение других методов расчета нецелесообразно или практически невозможно. Метод переменных состояния основан на решении уравнений состояния (первого порядка)записанных в форме Коши. Для решения системы уравнений первого порядка разработаны численные методы, позволяющие автоматизировать расчет переходных процессов с ЭВМ. Таким образом, метод переменных состояния - один из расчета переходных процессов, ориентированный прежде всего на применение ЭВМ.

Для линейной цепи с постоянными сосредоточенными параметрами ток каждой ветви, напряжение между выводами, заряд на обкладках, конденсатора и т. д. можно найти как решение дифференциального уравнения, составленного для этого тока, напряжения, заряда и т.д., исключением других токов и напряжений из системы уравнений Кирхгофа:

Введением переменных

уравнение (1.1) сводится к эквивалентной системе дифференциальных уравнений первого порядка:

(1.2)

Здесь переменными, которые называются переменными состояния, служит переменная X и ее производные. При этом предполагается, что цепь имеет только независимые источники и не содержит индуктивных сечений и емкостных контуров. В противном случае составление уравнений становится намного сложнее

1. Формирование уравнений переменных состояния

Энергетическое состояние цепи, а следовательно, и переходный процесс в любой цепи определяется энергией магнитного поля, запасенной в индуктивностях, и энергией электрического поля, запасенной в емкостях. Запасы энергии в реактивных элементах определяют токи в индуктивностях и напряжения емкостей, т.е. они определяют энергетическое состояние цепи и поэтому принимаются в качестве независимых переменных состояния.

Любая система уравнений, определяющая состояние цепи, называется уравнениями состояния. Токи в индуктивных элементахи напряжения на емкостных элементах
представляют независимыеначальные условия
цепи и должны быть известны или рассчитаны. Через них выражаются искомые величины во времяпереходного процесса.

Действующие источники энергии принято называть входными величинами
,а искомые величины (токи и напряжения) - выходными величинами
.

Для цепи с n независимыми токами и напряжениями
должны быть заданы еще n независимых начальных условий. Для операций с большим числом переменных используют методы матричного исчисления.

Сокращенно дифференциальные уравнения состояния, описывающие цепь по законам Кирхгофа, записываются в матричной форме:

, (1.3)

где X - вектор-столбец (размером n х 1) произвольных переменных состояния; V - вектор-столбец (размером m х 1) внешних воздействий (ЭДС и токов источников); А - квадратная матрица порядка n (основная); В - матрица связи между входами цепи и переменными состояния (размера n х m). Элементы этих матриц определяются топологией и параметрами цепи
,m - число входов, n - число переменных состояния.

Для выходных величин (если определяются не токи в индуктивностях и напряжения на емкостных элементах) необходимо добавить еще уравнение в матричной форме:

(1.4)

где Y - вектор - столбец искомых токов и напряжений на выходе (размерен 1 х 1), 1 - число выходов; С - матрица связи переменных состояния с выходами цепи (п х 1); D - матрица непосредственной связи входов и выходов цепи (размером 1 х m). Элементы матриц зависят от топологии и значений параметров цепи
.

Систему матричных уравнений

;
(1.5)

можно представить в виде структурной схемы (рис.1.3).

1.1. Составление уравнений состояния цепи

методом наложения

Пусть дана схема цепи после коммутации

Будем считать, что переменные состояния заданы. Рассматриваемую цепь (рис.2) заменим после коммутации эквивалентной (рис.3), у которой заданный ток представлен источником тока,заданное напряжение
источником напряжения
.

Применив метод наложения (положительные направления выбраны), запишем напряжения
и токи
(сначала учитываемдействие источника затем
и далее источников, действующих в цепи).

От действия :

;
;

от действия
:

;
;

от действия е:

;
,

а полный ток
и напряжение .

(1.6)

Учитывая, что
и
получим

т.е в матричном виде уравнение (1.7) запишемся

(1.8)

1.2. Составление уравнений состояния цепи с помощью

законов Кирхгофа

Уравнения (1.7) можно получить и из уравнений Кирхгофа исключением токов и напряжений резистивных элементов. По законам Кирхгофа уравнения для цепи (см.рис. 2) запишем в виде

(1.9)

Разрешим первое уравнение системы относительно , атретье, учитывая, что
, относительно. Тогда

(1.10)

Переменные
иявляются переменными состояния длярассматриваемой цепи. В правой части системы (1.10) присутствует переменная , не являющаяся независимой переменной состояния. Для ее исключения перепишем второе уравнение системы (1.9) в виде

(1.11)

и подставим сюда
.

Полученное из (1.11) значение тока

(1.12)

подставим в систему (1.10).

Получим систему уравнений в переменных состояния
для исследуемой цепи

(1.13)

где X, X, V, А, В соответствуют системе уравнений (1.7).

Пусть в рассматриваемом примере требуется определить токи и . Следовательно и будут выходными величинами цепии их необходимо представить в виде
,
.Ток уже определен в требуемом виде (1.12), а ток
.Тогда вторая система уравнений в переменных состояния
примет вид

(1.14)

В матричной форме система уравнений (1.14) запишется в виде

(1.15)

В частном случае, если выходными переменными является переменные состояния
то матрица С принимает вид диагональной матрицы, а элементы матрицы D равны нулю.

Уравнения состояния решаются на компьютерах численными методами.

Анализ и синтез систем управления во временной области основан на понятии состояния системы. Состояние системы-это совокупность таких переменных, знание которых, наряду со входными функциями и уравнениями, описывающими динамику системы, позволяет определить ее будущее состояние и выходную переменную. Для динамиче­ской системы ее состояние описывается набором переменных состояния [ЛГ[(?), X2(t) Х„(0]- Это такие переменные, которые определяют будущее поведение систе­мы, если известно ее текущее состояние и все внешние воздействия. Рассмотрим систему, изображенную на рис. 3.1, где^,^) иy2(t) есть выходные переменные, a ux(t) и u2(t)- вход­ные переменные. Для ЭТОЙ системы переменные (*[, х2,..., хп) имеют следующий смысл: если в момент времени t0 известны начальные значения [^(fo), x2(t0), ...,xn(tQ)] и входные сигналы щ(і) и u2(f) для t > t0, то этой информации достаточно, чтобы определить будущие значения всех переменных состояния и выходных переменных.

Переменные состояния описывают поведение системы в будущем, если извест­ны текущее состояние, внешние воздействия и уравнения динамики системы.

Общий вид динамической системы приведен на рис. 3.2.

Простым примером переменной состояния может служить положение выключателя электролампочки. Выключатель может быть в одном из двух положений - «включено» или «выключено», поэтому его состоянию соответствует одно из двух возможных значе­ний. Если мы знаем, в каком состоянии (положении) находится выключатель в момент времени t0, и если мы прикладываем к нему воздействие, то мы всегда можем определить будущее состояние элемента.

xx(t)=y(i) И x2(t) = -

Дифференциальное уравнение, описывающее поведение системы, обычно записывается в виде

Эти уравнения по сути описывают поведение системы в терминах скорости изменения каждой переменной состояния. Другим примером системы, которую можно описать переменными состояния, яв­ляется ТЛС-цепь, изображенная на рис. 3.4. Состояние системы характеризуется двумя переменными (Х[, х2) где хх есть напряжение на конденсаторе vc(/), и х2 - ток через ин­дуктивность //(/). Выбор этих переменных интуитивно понятен, т. к. общая энергия, за­пасенная в цепи, непосредственно зависит от них, как E=(l/2)Z,/£ +(1/2)Cvc2. (3.5) Таким образом, Х](/0) и x2(t0) несут информацию о полной начальной энергии в цепи и, сле­довательно, о состоянии системы в момент t = /0. Для описания пассивной ЛіС-цепи число необходимых переменных состояния равно числу независимых элементов, накапливаю­щих энергию. Используя закон Кирхгофа для токов, запишем дифференциальное уравне­ние первого порядка, определяющее скорость изменения напряжения на конденсаторе: іс ~С - у - = u(t)~ і і (3.6)

Источник4^ тока

Рис. 3.4. RLC-цепь

Закон Кирхгофа для напряжений, примененный к правому контуру, дает уравнение, опре­деляющее скорость изменения тока через индуктивность:

L^=-Ri, + vc. (3.7)

Выход системы определяется линейным алгебраическим уравнением:

Уравнения (3.6) и (3.7) мы можем переписать в виде системы двух дифференциальных уравнений относительно переменных состояния хх и х2:

*L-lx --Х Г3 9Ї

Тогда выходной сигнал будет равен

^i(0 = v0(0 = R х2. (3.10)

Используя уравнения (3.8) и (3.9), а также начальные условия , мы сможем определить будущее поведение системы и ее выходную переменную.

Переменные состояния, описывающие систему, не являются единственными, и все­гда можно выбрать альтернативную комбинацию таких переменных. Например, для сис­темы второго порядка, такой как масса-пружина или RLC-цепь, в качестве переменных состояния можно выбрать любые две линейно независимые комбинации xx{t) и x2(t). Так, для RLC-цепи мы могли бы принять за переменные состояния два напряжения, vc(/) и v; (/), где vL - напряжение на индуктивности. Тогда новые переменные состояния, х, их"2, будут связаны со старыми переменными хх и х2 соотношениями:

х =vc =х, (3.11)

х* = Vj =vc - RiL =х, - Rx2. (3.12)

Уравнение (3.12) связывает напряжение на индуктивности со старыми переменными состояния vc и iL. В реальной системе всегда можно образовать несколько комбинаций пе­ременных состояния, которые определяют энергию, запасенную в системе, и, следовате­льно, адекватно описывают ее динамику. На практике в качестве переменных состояния часто выбирают такие физические переменные, которые легко могут быть измерены.

Альтернативный метод получения модели в переменных состояния основан на испо­льзовании графа связей. Такие графы могут быть построены для электрических, механи­ческих, гидравлических и тепловых элементов или систем, а также для комбинаций эле­ментов различных типов. Графы связей позволяют получить систему уравнений относи­

тельно переменных состояния.

Переменные состояния характеризуют динамику системы. Инженера в первую оче­редь интересуют физические системы, в которых переменными являются напряжения, токи, скорости, перемещения, давления, температуры и другие аналогичные физические величины. Однако понятие состояния применимо к анализу не только физических, но так­же биологических, социальных и экономических систем. Для этих систем понятие состоя­ния не ограничивается рамками представлений об энергии и подходит к переменным со­стояния в более широком смысле, трактуя их как переменные любой природы, описываю­щие будущее поведение системы.

Как указывалось выше САУ, независимо от природы составляющих его звеньев, может быть описана подобными дифференциальными уравнениями (2.1). Эти способы относятся к так называемым внешним описаниям системы. Наоборот, внутреннее описание дается в переменных состояния, предпочтительно используется для тех систем, которые имеют более одного входа и выхода. При этом под переменными состояния системы понимается набор переменных , производные первого порядка от которых входят в математическую модель САУ. С другой стороны, под переменными состояния понимается совокупность переменных, значения которых наряду с входным воздействием позволяет определить будущее состояние системы и выходные величины . Математическая модель системы в переменных состояния удобна для компьютерного анализа.

Пусть линейная система, характеризуется вектором состояния , составленным из n -переменных состояния. На вход системы поступают входные управляющие сигналы . Система описывается следующими уравнениями состояния в векторном виде:

(3.2)

где и - матрицы, составленные из постоянных коэффициентов, имеют вид:

, .

Кроме уравнения (3.2) для системы можно составить следующее матричное уравнение:

(3.3)

Здесь -– вектор выходных величин. Матрицы постоянных величин имеют вид

.

Решение систем уравнений (3.2) и (3.3) для некоторого момента времени t = t 0 позволяет найти для времени t>t 0 , т. е. определить будущее состояние системы, а также дает возможность определить выходные величины .

Из системы уравнений (3.2) и (3.3) можно исключить вектор . В этом случае преобразование «вход-выход» может быть описан линейными дифференциальными уравнениями n-го порядка с постоянными коэффициентами в виде (2.1).

Все рассматриваемые виды описаний тесно взаимосвязаны, поэтому, зная одно из них, можно получить остальные. Например, связь между матрицами , , описания в пространстве состояний и комплексной передаточной функцией системы W(s) задается уравнением

W(s)= (sE- ) -1

где s  оператор Лапласа, E  единичная матрица.

Управляемость и наблюдаемость

В п-мерном пространстве состояний каждому состоянию системы соответствует не­которое положение изображающей точки, определяемое значениями переменные состояния (i = 1, 2,... п).

Пусть в пространстве состояний заданы два множества и . Рассматриваемая система будет управляемой, если существует управление , определенное на конечном интерва­ле времени 0, переводящее изображающую точку в пространстве из подобласти G 1 в подобласть G 2 .

Система называется наблюдаемой, если в формирова­нии вектора выходных координат участвуют все состав­ляющие вектора переменных состояния . Если ни одна из составляющих вектора не влияет на формирование выхода системы , то такая система будет ненаблюдаемой.

Анализ управляемости и наблюдаемости выполняется с помощью матриц управляемости и наблюдаемости или с помощью грамианов управляемости и наблюдаемости .

Сформируем на основе матриц , , две вспомогательные матрицы

R = [ , , ..., n -1 ], D = [ , ,…, n -1 ]

Mатрицы R и D называются соответственно матрицей управляемости и матрицей наблюдаемости системы. В пакете MATLAB их можно построить с помощью команд ctrb и obsv .

Для того чтобы система (3.2) была управляемой, необходимо и

достаточно, чтобы матрица управляемости имела полный ранг rankR = n.

Для того чтобы система (3.2) была наблюдаемой, необходимо и достаточно, чтобы матрица наблюдаемости имела полный ранг rankD=n.

В случае систем с одним входом и одним выходом матрицы R и D квадратные, поэтому для проверки управляемости и наблюдаемости достаточно вычислить определители матриц R и D. Если они не равны нулю, то матрицы имеют полный ранг.

Лекция 4. Оценка функционирования САУ

Оценка статических свойств

В зависимости от процессов, происходящих в САУ различают два режима функционирования работы САУ и их элементов: динамический и статический.

Переходному процессу соответствует динамический режим функционирования САУ и их элементов. Этому режиму в ТАУ уделяется наибольшее время. В динамическом режиме величины, определяющие состояние САУ и их элементов изменяется во времени. Выше были представлены математические модели САУ в динамическом режиме в виде дифференциальных уравнений n -го (2.1) или в виде уравнений состояния (3.2, 3.3).

Наоборот, установившийся процесс в САУ соответствует статическему режиму функционирования, при котором величины, характеризующие состояние САУ не изменяются во времени. Для оценки САУ в статическом (установившемся) режиме используется показатель называемый точностью управления. Этот показатель определяется по статической характеристике САУ.

Рис. 4.1. Статические характеристики статических и астатических систем

Статическая характеристика САУ представляет зависимость установившегося значения выходного параметра – y 0 от входного параметра – u 0 при постоянном возмущении или же зависимость выходного параметра - y 0 в установившемся режиме от возмущения–f при постоянном входном параметре. Уравнения статики САУ имеют вид или . В общем случае уравнения могут быть нелинейным. Рассмотрим статическую характеристику элементов или САУ в целом (рис. 4.1) построенную по второму уравнению. Если установившееся значение ошибки в системе зависит от установившегося значения возмущения f , то система называ­ется статической (Рис.4.1,а), а если не зависит - то астатической (Рис.4.1,б).

Относительная статическая ошибка, или статизм, системы равен

Также, статизм можно характеризовать коэффициентом статизма , равным тангенсу угла наклона статической характеристики (Рис. 3.1, а).

Эффективность статического регулирования САУ в установившемся режиме оценива­ют по так называемой степени точности управления, равной отношению абсолютной статической ошибки неавтоматизированного объек­та управления (без регулятора) к абсо­лютной статической ошибке автоматической системы.

В некоторых случаях статическая ошибка нежелательна, тогда переходят к астатическому регулированию или вводят компенсирующие воздействия на возмущения.