Согласованный фильтр.

Согласованный фильтр , или фильтр обнаружения , строится на основе критерия максимума пикового отношения сигнал/помеха на выходе фильтра и предназначен для решения задачи обнаружения сигнала. Под обнаружением сигнала понимается установление лишь факта наличия сигнала, достигаемое, в частности, за счет существенного искажения формы сигнала. Заметим, что выделение сигнала предусматривает оценку формы сигнала. Для согласованного фильтра обычно это невозможно. В то же время обнаружение сигнала обеспечивается для слабых сигналов с отношениями сигнал/помеха ниже уровня интенсивности помех.

Математической моделью для согласованного фильтра является аддитивная модель поля , для которой предполагается знание формы сигнала, а не его АКФ, как для фильтра Колмогорова-Винера.

Помеха задается в виде стационарного случайного процесса с известной АКФ, определяемой на участках с отсутствием полезных сигналов. Выбор формы сигнала (аномалии) осуществляется либо путем решения прямой задачи для конкретного геофизического метода, либо посредством анализа наблюденных значений над аномалиеобразующими объектами, где форма сигналов фиксируется визуально. При обработке временных разрезов в сейсморазведке оценка формы сигнала реализуется по значениям ВКФ соседних трасс или трасс, расположенных через некоторое удаление друг от друга, с таким расчетом, чтобы нерегулярные волны-помехи были бы некоррелированы.

Значение задачи обнаружения слабых сигналов непрерывно возрастает в связи с поисками глубокозалегающих и слабоконтрастных объектов, эффекты от которых искажены помехами разной природы, а интенсивность помех превосходит амплитуду полезных сигналов.

Критерий максимума пикового отношения сигнал/помеха сводится к максимизации следующего выражения

(7.13)

Под пиковым отношением сигнал/помеха понимается отношение в одной, центральной точке выходного сигнала, для которого дисперсия равна квадрату скалярного произведения значений сигнала и весовой функции , являющегося результатом свертки сигнала и весовой функции для точки .

Энергия (дисперсия) помехи на выходе фильтра равна квадратичной форме , где и - соответственно вектор-строка и вектор-столбец значений весовой функции, - корреляционная матрица помехи, построенная для заданной АКФ помехи.

С целью максимизации (7.13) следует взять производную и ее приравнять к нулю, что обеспечивает получение системы линейных уравнений для нахождения весовой функции согласованного фильтра в матричной форме (7.14) или в форме:

(7.15)

Знак минус для абсциссы сигнала означает, что значения сигнала отсчитываются с его конца, поскольку при свертке следует перевернуть либо весовую функцию, либо сигнал.

Применяя свойства преобразований Фурье к (7.15), получаем выражение для частотной характеристики согласованного фильтра : , где - комплексно-сопряженный спектр сигнала, соответствующий «перевернутому» сигналу, т.е. сигналу, зеркально отражающему относительно оси ординат. Из последнего выражения следует, что

(7.16).

Из (7.16) легко понять, почему фильтр получил название согласованный. Если помеху принять некоррелированной, то ее спектр определяется лишь значением дисперсии, т.е. , и . Иначе частотная характеристика фильтра согласована со спектром входного сигнала. Обратное преобразование Фурье при этом позволяет найти, что , т.е. весовая функция согласована с формой сигнала. Иначе значения весовой функции полностью определяются значениями заданного по форме сигнала, а знак «минус» подчеркивает необходимость использования при свертке перевернутых его значений.

Пример 2. Пусть сигнал и помеха, как в примере 1, заданы значениями , т.е.

Лабораторная работа № 6

по дисциплине «Основы радиоэлектроники и связи»

Тема:

«Прохождение сигналов через согласованный фильтр»

Руководитель: проф. Трофимов А. Т.

Выполнил: студент гр. № 4141 Понкин Д. О.

Дубна, 2011

ЦЕЛЬ РАБОТЫ.. 3

ЗАДАЧИ.. 3

1. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ. 4

2. ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ. 8

2.1. Прохождение ЛЧМ сигнала через согласованный фильтр. 8

2.2. Прохождение гармонического сигнала через согласованный фильтр. 9

2.3. Прохождение прямоугольного импульса через согласованный фильтр. 10

ВЫВОДЫ.. 11

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ.. 11

ЦЕЛЬ РАБОТЫ

Целью работы является закрепление знаний о согласованных фильтрах, используемых для обнаружения сигналов.

ЗАДАЧИ

В ходе выполнения лабораторной работы необходимо решить следующие задачи:

1. Получить модель прохождения ЛЧМ сигнала через согласованный фильтр.

2. Получить модель прохождения гармонического сигнала через согласованный фильтр.

3. Получить модель прохождения прямоугольного импульса через согласованный фильтр.

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

Прием радиосигналов всегда сопровождался помехами. Поэтому на протяжении всего развития радиотехники (в частности, приемных устройств) центральной проблемой была и остается борьба с помехами и шумами (далее просто шумами). В случаях, когда мощность полезного сигнала соизмерима со средней мощностью шума, трудно не только выделить, но и обнаружить сигнал.

Согласованный линейный фильтр

Основой большинства практических методов выделения сигнала из аддитивной смеси сигнала и шума в радиоприемных устройствах является оптимальная линейная фильтрация, использующая линейные частотные фильтры.

В теории приемных устройств установлено, что критерий качества линейной фильтрации зависит от одной из решаемых задач: обнаружение сигнала в шумах или разрешение сигналов. При обнаружении сигнала в шумах наиболее эффективен критерий максимума отношения сигнал/шум по мощности на выходе фильтра. Линейный фильтр, для которого это отношение максимально, называют оптимальным (подразумевая наилучшим). Следует ожидать, что при подаче на вход оптимального фильтра аддитивной суммы полезного сигнала и шума на его выходе можно получить заметное увеличение отношения сигнал/шум.

Одним из основных параметров фильтров приемника является коэффициент передачи. Коэффициент передачи оптимального фильтра приемника определим при условии, что сигнал принимается на фоне белого шума с двусторонней спектральной плотностью мощности W 0 (хотя часто белый шум задается односторонней, т. е. в области физических частот спектральной плотностью мощности N 0 = 2W 0).

Для удобства анализа представим коэффициент передачи оптимального фильтра в виде

где К (ω )- АЧХ; φ k (ω ) - ФЧХ фильтра.

Пусть входной сигнал u (t )имеет спектральную плотность

(15.2)

Здесь S (ω )и φ c (ω ) - соответственно амплитудный и фазовый спектры при­нимаемого сигнала.

Отметим некоторый, пока неизвестный, момент времени t = t 0 , при котором отношение сигнал/шум на выходе фильтра будет максимальным. Тогда сигнал на выходе фильтра (линейного четырехполюсника):

(15.3)

Поскольку S вых (ω ) = S вх (ω )K (ω ), то средняя мощность (дисперсия ) белого шума на выходе фильтра :

(15.4)

Используя выражения (15.3) и (15.4), запишем отношение выходных мощностей сигнала и шума

(15.5)

Для удобства вычислений введем эквивалентный коэффициент передачи фильтра

Оптимальный коэффициент передачи анализируемого фильтра максимизирует правую часть выражения (15.5). Задача нахождения оптимального коэффициента передачи К (ω ) решается на основе известного в математике неравенства Буняковского-Коши-Шварца, которое для данного случая имеет вид:

(15.7)

Прямая подстановка показывает, что неравенство обращается в равенство, если

(15.8)

где А - произвольный постоянный коэффициент; - функция комплексно-сопряженная с S (ω ).

Представим эквивалентный коэффициент передачи (15.8) в виде:

Отсюда находим коэффициент передачи фильтра

Формула (15.9) полностью определяет коэффициент передачи оптимального фильтра, максимизирующего отношение сигнал/шум. Отсюда же следуют требования к АЧХ и ФЧХ оптимального фильтра:

(15.10)

По определению частотный коэффициент передачи - безразмерная величина, поэтому постоянный коэффициент А должен иметь размерность, обратную размерности амплитудного спектра входного сигнала S (ω ).

Сущность метода обработки принимаемого сигнала оптимальным фильтром приемника иллюстрируется рисунке 1, где соответственно показаны и обозначены: спектры входных сигнала S (ω ) и белого шума W 0 ;спектр выходного сигнала S вых (ω ) и АЧХ фильтра K (ω ); энергетический спектр выходного шума .

Рис. 1. Оптимальная фильтрация:

а - спектры входных сигнала и шума; б - спектр выходного сигнала и АЧХ фильтра; в - спектр выходного шума.

Эти результаты имеют глубокий физический смысл, формула (15.10) устанавлива­ет, что АЧХ фильтра K (ω )должна с точностью до масштабного множителя А совпа­дать по форме с амплитудным спектром S (ω ) входного сигнала. Благодаря этому, подавляющая часть спектральных составляющих входного сигнала, имеющих наибольшие амплитуды, проходит на выход оптимального фильтра практически без ослабления и вносит основной вклад в образование его пикового значения. Из множества же спектральных компонентов входного белого шума, располагающихся в бесконечной полосе частот, на выход фильтра проходят и не ослабляются только те, которые находятся под кривой его АЧХ, т. е. в ограниченной полосе частот. Это приводит к ослаблению средней мощности шума на выходе фильтра по сравнению со спектральной плотностью мощности белого шума W 0 на входе. В результате этого отношение сигнал/шум на выходе оптимального фильтра увеличивается.

Соотношение (15.11), описывающее фазочастотную характеристику оптимального фильтра, можно трактовать как условие компенсации начальных фаз всех гармонических составляющих спектра сигнала. Согласно этому условию, оптимальный фильтр должен иметь такую ФЧХ, чтобы получаемый в нем фазовый сдвиг каждой гармоники –φ с (ω ) был равен по величине и противоположен по знаку начальной фазе соответствующей составляющей спектральной плотности S (ω ) входного сигнала. Оптимальный фильтр проводит компенсацию («обнуление» )начальных фаз всех спектральных составляющих сигнала u (t ), в результате чего образуется и пик выходного сигнала. Составляющая ФЧХ –ωt 0 указывает на то, что пик (максимум) выходного сигнала задержан относительно начала действия входного сигнала на время t 0 . Связь между фазовой характеристикой φ с (ω ) входного сигнала, компенсирующей ее фазовой характеристикой -φ с (ω ) и ФЧХ фильтра поясняется рис. 2. Фазовая характеристика выходного сигнала, определяемая формулой:

показана на этом рисунке прямой линией.

Рис. 2. Связь между фазочастотными характеристиками фильтра и сигнала.

Таким образом, коэффициент передачи фильтра, описываемый соотношением (15.1), согласован с амплитудным и фазовым (или фазовой характеристикой) спектрами входного сигнала. Поэтому анализируемый оптимальный фильтр часто называют согласованным.

Вернемся вновь к выражению (15.5) и рассмотрим энергетические соотношения между сигналом и шумом на выходе исследуемого оптимального фильтра. Поскольку квадрат модуля комплексного числа равен квадрату его действительной части, то, после несложных преобразований упомянутой формулы, получим:

(15.13)

Числитель в формуле (15.13) в соответствии с равенством Парсеваля представляет собой энергию входного сигнала Э . Тогда последнее соотношение примет вид:

(15.14)

ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

СФ – линейный оптимальный фильтр, построенный исходя из известных спектральных характеристик полезного спектра и шума. На входе фильтра: , гдеS(t) – квазидетерминированный сигнал известной формы, заданный функцией времени или спектром.

n(t) – нормальный белый шум со спектральной плотностью мощностиN 0 .

Задача синтеза в классе линейных фильтров – получить h(t) илиK(jω), дающие максимум отношения сигнал/шум на выходе. Это задачу выполняет коррелятор (устройство с переменными параметрами, что определяется генератором опорного сигнала).

Сигнал на выходе фильтра.

Фильтр имеет постоянные параметры. Его передаточная функция получается через преобразование Фурье импульсной характеристики:

Отношение сигнал/шум на выходе фильтра:(то есть отношение энергии сигнала к спектральной мощности шума).

14. Реализация согласованных фильтров одиночных импульсов. Квазисогласованная фильтрация

На практике используют квазисогласованные фильтры для реализации СФ. Полоса частот таких фильтров оптимизирована с целью получения максимального отношения сигнал/шум на выходе. При этом учитывается фазовый спектр, ФЧХ фильтра линейна. Платой за несогласованность фильтра являются потери в выходном отношении с/ш. Эти потери малы (меньше 1дБ), поэтому чаще всего используют квазисогласованную фильтрацию.

15. Обнаружение пачки импульсов

Существуют 2 типа: когерентная пачка со случайной фазой и некогерентная пачка, все импульсы которой имеют различные и случайные фазы.

Когерентная пачка: при условии независимости отсчетов шума через периоды повторения импульсов логарифм отношения правдоподобия сравнивается с пороговым значением С.

, где

Опорные колебания сдвинуты на 90 градусов, затем в каждом канале стоят интеграторы одиночных импульсов. Далее производится выделение огибающей квадратурных составляющих и сравнение её с пороговым уровнем.

Некогерентная пачка: логарифм отношения правдоподобия сравнивают с пороговым уровнем С 2:

Структура обнаружителя некогерентной пачки:

(1-Фильтр одиночного импульса, 2 – детектор огибающей, 3–накопитель, 4–пороговое устр-во)

Расчет характеристик обнаружения:

Когерентная пачка: , где, а- отношение сигнал/шум на один импульс пачки.

Некогерентная пачка: , где- коэффициент, определенный видом накопителя пачки (для идеального накопителя=1, для накопителя ЭЛТ=1/2, для рециркулятора=2/3),Q– коэффициент, зависящий от типа флуктуаций пачки.

16. Характеристики обнаружения и их расчет

Зависимость вероятности правильного обнаружения сигнала от отношения сигнал/шум при заданной вероятности ложной тревоги называется характеристикой обнаружения . Расчет характеристик обнаружения для когерентной пачки изNимпульсов со случайной начальной фазой и флюктуирующей амплитудой используют соотношение для одиночного сигнала, энергия которого равна энергии пачкиNE 1:, где, а- отношение сигнал/шум на один импульс пачки.

В разделе 3 введенное понятие «согласованный фильтр» (СФ) как устройство для вычисления коэффициента представления демодулируемого сигнала в ортонормированном базисе. СФ находит более широкое применение в аппаратуре систем передачи. Поэтому ниже рассматривается СФ из общих позиций.

Есть линейный четырехполюсник (фильтр) с передаточной функцией H (j w). На его вход подается сумма детерминированного импульсного сигнала s (t ) и помехи n (t ): z (t ) = s (t ) + n (t ). На выходе четырехполюсника имеет место сумма откликов на сигнал и помеху y (t ) = y s (t ) + y n (t ). К выходу четырехполюсника подключен дискретизатор для взятия отсчета в момент t 0 (рис. 4.1). Такое устройство используется для ослабления помехи и взятия отсчета с целью определения амплитудного значения импульса s (t ).

Фильтр называется согласованным с сигналом s (t ), если при подаче на его вход суммы сигнала s (t ) и помехи n (t ) на его выходе в определенный момент времени t 0 имеет место максимальное отношение мгновенной мощности сигнала y s 2 (t 0) к средней мощности шума P n вых.

Согласованный фильтр (СФ) используется не только для максимального ослабления помехи, но и для выполнения некоторых других важных преобразований сигналов и помех. Поэтому рассмотрим свойства СФ .

1. Найдем комплексную передаточную функцию СФ H (j w). Сигнал s (t ) задан, а помеха n (t ) – белый шум со спектральной плотностью мощности N 0 /2.

– (4.1)

спектральная плотность сигнала s (t ). Тогда спектральная плотность выходного сигнала y s (t ) определяется

Отсчетное значение сигнала y s (t 0) определим как обратное преобразование Фурье от S вых (j w) для момента времени t 0

. (4.3)

Мощность шума на выходе фильтра (средний квадрат отсчета шума y n (t 0)) определяются

. (4.4)

Запишем отношение мгновенной мощности сигнала y s 2 (t 0) к средней мощности шума P n вых в отсчетный момент

. (4.5)

Будем искать передаточную функцию H (j w), при которой имеет место максимальное значение числителя в соотношении (4.5). Воспользуемся тем, что интеграл в числителе – скалярное произведение двух функций S *(j w) и (S *(j w) – функция, комплексно спряженная с функцией S (j w)). Скалярное произведение функций максимальное, если функции совпадают с точностью до произвольного положительного коэффициента c , т.е. = с ×S *(j w). Значит, максимум числителя (4.5) имеет место при передаточной функции

После подстановки выражения (4.6) в соотношение (4.5) получим

. (4.7)

Здесь использовано, что энергия сигнала s (t ) определяется

. (4.8)

Видим, что при выполнении соотношения (4.6) обеспечивается не только максимум числителя отношения сигнал/шум (4.5), но и максимум этого отношения (значение r не зависит от конкретного вида передаточной функции H (j w), входящей в знаменатель). Таким образом, задача определения передаточной функции СФ H (j w) решена.

2. Соотношение (4.7) определяет максимально возможное отношение сигнал/шум на выходе фильтра в отсчетный момент. Это отношение принято называть пиковым

Определим выигрыш в отношении сигнал/шум , показывающий во сколько раз увеличивается отношение сигнал/шум при фильтрации СФ,

где F ш – шумовая полоса помехи на входе фильтра;

T s – длительность сигнала s (t );

P s и P n – средние мощности сигнала и помехи на входе фильтра.

Из выражения (4.10) видно, что при определенных соотношениях между шумовой полосой помехи и длительностью сигнала выигрыш может принимать большие значения.

3. Найдем амплитудно-частотную и фазочастотную характеристики СФ. Передаточная функция любой линейной электрической цепи определяет ее АЧХ и ФЧХ:

H (j w) = H (w) eхр(j j(w)), (4.11)

где H (w) – АЧХ цепи, j(w) – ФЧХ цепи.

Представим спектральную плотность сигнала s (t ) через модуль и аргумент

S (j w) = S (w) exp(j y(w)), (4.12)

где S (w) – амплитудный спектр сигнала, y(w) – фазовый спектр сигнала.

После подстановки (4.11) и (4.12) в (4.6) получим, что АЧХ СФ

H (w) = сS (w) (4.13)

с точностью до произвольного коэффициента совпадает с амплитудным спектром сигнала, с которым фильтр согласован. Коэффициент передачи CФ больше на тех частотах, на которых больше составляющие сигнала s (t ).

Равенство аргументов левой и правой частей (4.6) дает

j(w) = –y(w) – wt 0 , (4.14)

что трактуется так: ФЧХ СФ с точностью до линейного слагаемого противоположна по знаку фазовому спектру сигнала, с которым фильтр согласован.

Для выяснения физической сущности ФЧХ СФ рассмотрим некоторую составляющую сигнала частоты f i : A i cos(2pf i t + y i ). Эта составляющая на выходе CФ определяется:

A i (f i )cos(2pf i t + y i + j(f i )) = A i (f i )cos(2pf i t + y i – y i – 2pf i t 0).

Полная фаза колебания равняется 2pf i (t – t 0). В момент t = t 0 полная фаза колебания равна нулю независимо от частоты. В этот момент все составляющие находятся в фазе и при сложении дают максимально возможное значение отклика.

4. Найдем импульсную реакцию СФ как обратное преобразование Фурье от передаточной функции

(4.15)

Видим, что импульсная реакция СФ является зеркальным отображением сигнала, с которым фильтр согласован, относительно точки t 0 в масштабе с.

Пример 4.1. Построим график импульсной реакции фильтра, согласованного с сигналом

Условием физической реализуемости линейной электрической цепи является требование к ее импульсной реакции: g (t ) º 0 для значений t < 0. Из рис. 4.2 видно, что для выполнения этого условия необходимо наложить требование на момент отсчета: t 0 ³ T s , где T s – длительность сигнала s (t ).

5. Пусть на входе СФ действует произвольный сигнал z (t ). Отклик фильтра определяется интегралом Дюамеля

где K zs (t) – функция взаимной корреляции сигналов z (t ) и s (t ).

Из выражения (4.16) вытекает, что форма сигнала на выходе СФ определяется функцией взаимной корреляции входного сигнала и сигнала, с которым фильтр согласован, а именно, она повторяет функцию взаимной корреляции в масштабе с и смещена вправо на t 0 .

Если в соотношении (4.16) положить с = 1 и t 0 = T s , то легко убедиться, что y (T s ) дает значение скалярного произведения сигналов z (t ) и s (t ). Это свойство СФ использовалась выше для определения коэффициентов разложения – соотношение (3.4).

6. Пусть на вход СФ подается сигнал, с которым фильтр согласован. Тогда на основании (4.16) запишем

, (4.17)

где K s (t) – функция корреляции сигнала s (t ).

Таким образом, если на вход СФ подается сигнал, с которым фильтр согласован, то отклик фильтра определяется функцией корреляции сигнала , а именно, она повторяет функцию корреляции сигнала в масштабе с и смещена вправо на t 0 .

Упражнение 4.1. Проиллюстрируем рассмотренные свойства СФ на примере фильтра, согласованного с прямоугольным импульсом амплитуды А и длительности T s . Пусть с = 1/A и t 0 = T s . Импульсная реакция фильтра, согласованного с П-импульсом, имеет П-образную форму, амплитуду 1 и длительность T s , т.е. импульсная реакция совпадает с сигналом (рис. 4.3, а ).

Спектральная плотность П-импульса определяется преобразованием Фурье

S п (j w) = . (4.18)

На основе соотношения (4.6) получим выражение для передаточной функции фильтра, согласованного с П-импульсом, если с = 1/A и t 0 = T s

H (j w) = . (4.19)

Из этого соотношения вытекает, что схема фильтра, согласованного с П‑импульсом, состоит из интегратора (с передаточной функцией 1/j w), устройства задержки на время T s (с передаточной функцией exp(–j wT s )) и вычитателя (рис. 4.3, в) . На этом рисунке цифрами обозначены отдельные точки схемы для обсуждения ее работы.

Легко получить выражение для АЧХ фильтра, согласованного с П‑импульсом. Окончательное выражение для АЧХ после перехода к сменной f имеет вид функции sin(x )/x

. (4.20)

АЧХ СФ и амплитудный спектр сигнала показаны на рис 4.3, б .

На рис. 4.4, а показаны процессы, имеющие место в СФ при подаче на его вход d-функции. На выходе схемы наблюдается импульсная реакция. На рис. 4.4, б показаны процессы, имеющие место в СФ при подаче на его вход импульса, с которым фильтр согласован. На выходе схемы наблюдается отклик, совпадающий с корреляционной функцией П-импульса длительностью Т s (см. модуль 1).

Контрольные вопросы

1. Что является критерием оптимальности согласованного фильтра?

2. Пересчитайте свойства согласованного фильтра.

3. Как определяется пиковое отношение сигнал/шум на выходе согласованного фильтра?

5. Применение согласованных фильтров
в демодуляторах сигналов АИМ-М

Рассмотрим совместно схемы модулятора и демодулятора сигналов АИМ-М (рис. 5.1). Схема модулятора строится на основе описания канальных символов сигналов АИМ-М

где А (t ) – импульс с определенными частотными и временными характеристиками;

a i – коэффициент, отображающий переданные биты.

На схеме КМК – кодер модуляционного кода, который вырабатывает коэффициенты a i на основе входного цифрового сигнала – на каждом тактовом интервале блока из n = log 2 M бит ставится в соответствие коэффициент a i . Этот коэффициент подается на вход формирующего фильтра (ФФ) сигналом a i d(t ). ФФ формирует импульс a i А (t ).

Схема демодулятора построена на основе материала предыдущих разделов. На вход согласованного фильтра поступает сумма сигнала и помехи a i А (t ) + n (t ). Согласованный фильтр ослабляет помеху, и на его выходе имеет место полезный сигнал a i Р (t ) и помеха z(t ). Дискретизатор берет отсчет и выдает оценку коэффициента a i . Максимальное значение импульса P (t ) в момент отсчета равняется 1, поэтому = a i + z (оценку можно рассматривать как коэффициент z 0 представления сигнала z (t ) в одномерном пространстве относительно базисной функции А (t )). Дискретизатор управляется последовательностью импульсов от схемы тактовой синхронизации (ТС), что обеспечивает взятие отсчетов в моменты максимального отношения сигнал/шум. На основе полученной от дискретизатора оценки схема решения (СР) выносит решение о номере переданного канального символа и выдает решение двоичными символами согласно модуляционному коду.

Поскольку формирующий фильтр возбуждается d-функцией, то амплитудный спектр импульса A (t ) равняется АЧХ ФФ

S A (f ) = H ФФ (f ). (5.2)

Амплитудный спектр импульса Р (t ) определяется

S P (f ) = S A (f )×H СФ (f ), (5.3)

где H СФ (f ) – АЧХ фильтра, согласованного с импульсом A (t ).

Импульс на выходе СФ Р (t ) должен удовлетворять условию отсутствия межсимвольной интерференции (МСИ), поэтому потребуем, чтобы спектр S P (f ) был спектром Найквиста N (f ):

S P (f ) = N (f ). (5.4)

Воспользуемся свойством СФ: его АЧХ совпадает с амплитудным спектром сигнала, с которым он согласован (при с = 1)

H СФ (f ) = S A (f ). (5.5)

Учитывая равенства (5.2)...(5.5) приходим к выводу, что

H ФФ (f ) = H СФ (f ) = . (5.6)

Говорят, что АЧХ ФФ и СФ описываются зависимостью «корень квадратный из спектра Найквиста» .

Обычно спектр Найквиста описывают зависимостью «поднятый косинус»

N (f ) =
(5.7)

где Т – тактовый интервал;

f н = 1/(2Т ) – частота Найквиста;

a – коэффициент ската спектра.

Зависимость «корень квадратный из спектра Найквиста» описывается

=
(5.8)

На рис. 5.2 показаны зависимости N (f ) и при a = 0,4. Из рис. 5.2, б видно, что формирующий и согласованный фильтры являются фильтрами нижних частот, но со специальной АЧХ. Если в качестве ФФ и СФ использовать фильтры Баттерворта, Чебышева и др., синтезированные с целью приближения их АЧХ к П-образной, то не будет выполняться условие отсутствия МСИ.

Выражение для импульса A (t ) можно получить как обратное преобразование Фурье от зависимости , считая, что фазовый спектр тождественно равен нулю:

(5.9)

Функцию P (t ) можно получить как обратное преобразование Фурье от N (f ), считая, что фазовый спектр тождественно равен нулю:

P (t ) = . (5.10)

На рис. 5.3 показаны графики импульсов A (t ) и P (t ) при a = 0,4. Из графика P (t ) видно, что его амплитудное значение равно 1. А это значит, что при передаче импульса a i А (t ) отсчет на выходе дискретизатора равен a i . Из рис. 5.3 видно, что импульс P (t ) принимает нулевые значения при t = ±kТ (k = 1, 2, 3,…), т.е. удовлетворяет условию отсчетности. Импульс A , при условии, что спектральная плотность мощности шума на входе СФ N 0 /2

При интегрировании использован тот же подход, что и при вычислении интеграла (5.11). Значение СКО шума на выходе СФ равняется

Учитывая (5.12) и (5.14), легко убедиться, что отношение сигнал/шум в момент отсчета

соответствует свойству согласованного фильтра (4.9).

Контрольные вопросы

1. Сформулируйте назначение формирующего и согласованного фильтров.

2. Сформулируйте назначение тактовой синхронизации.

3. Как определяется СКО шума на выходе СФ?

4.6. Прием на согласованный фильтр

Существует большой класс задач, в которых требуется обнаружить сигнал, если форма его известна. К их числу относится задача приема телеграфных сигналов, сигналов при импульсно-кодовой модуляции, радиолокационных сигналов. В этих случаях важным параметром, характеризующим качество обнаружения, является отношение сигнала к помехе. Линейный фильтр, максимизирующий это отношение, называется оптимальным согласованным фильтром.

Пусть на входе фильтра действует сумма сигнала s (t ) и помехи (t ), т. е. колебание x (t )= s (t )+ (t ). Полезный сигнал s (t ) рассматривается не как случайный процесс, а как функция известной формы со спектральной плотностью

где S() и - амплитудный и фазовый спектры сигнала. Помеху будем считать стационарным случайным процессом типа белого шума со спектральной плотностью

Коэффициент передачи линейного фильтра запишем в виде

Сигнал на выходе фильтра, очевидно, равен сумме полезного сигнала yc (t ) и помехи y П (t ):

Полезный сигнал на выходе можно записать в виде

Пиковая мощность сигнала в некоторый момент будет равна:

,

а мощность помехи

Тогда превышение сигнала над помехой в момент времени t 0 будет определяться следующим выражением:

(4.32)

Необходимо найти, каким должен быть коэффициент передачи фильтра, чтобы отношение сигнала к помехе q на его выходе было максимальным. На основании неравенства БуняковскогоШварца получаем

(4.33)

Таким образом, при любой характеристике фильтра отношение сигнала к помехе не может превосходить максимального значения

(4.34)

где Е - полная энергия сигнала. Указанная максимальная величина q достигается в том случае, когда коэффициент передачи фильтра имеет следующее выражение:

где S (-i)=S()e -функция, комплексно-сопряженная со спектром сигнала S ( i),с- произвольная постоянная. В этом нетрудно убедиться путем непосредственной подстановки выражения (4.35) в равенство (4.32).

Выражение (4.35) можно записать в виде двух равенств:

(4.36)

из которых следует, что амплитудно-частотная характеристика согласованного фильтра с точностью до постоянного множителя совпадает с амплитудным спектром сигнала, а фазо-частотная характеристика определяется фазовым спектром сигнала и линейной функцией частоты . Таким образом, частотная характеристика оптимального фильтра полностью определяется спектром сигнала, «согласована» с ним. Отсюда и название - согласованный фильтр.

Фаза сигнала на выходе согласованного фильтра равна:

При t = t , =0, т. е. в момент t , все гармонические составляющие сигнала имеют одинаковую фазу и складываются арифметически, образуя в этот момент пик сигнала на выходе фильтра. Спектральные же составляющие помехи на выходе фильтра имеют случайную фазу. Этим и объясняется доказанное выше положение о том, что согласованный фильтр максимизирует отношение сигнала к помехе на выходе.

Рис. 4.9. Сигнал s (t ) (а) и импульсный отклик согласованного фильтра g (t )(б)

Импульсный отклик согласованного фильтра легко определяется на основании преобразования Фурье. Согласно (4.35) имеем

(4.37)

Итак, импульсным откликом согласованного фильтра является зеркальное отображение сигнала относительно в масштабе «с»(рис. 4.7). Из рис. 4.9 видно, что t 0 не может быть меньше момента окончания сигнала Т. Это означает, что для практически реализуемого фильтра должно выполняться условие . Для уменьшения времени анализа целесообразно принять t = T .

Напряжение на выходе согласованного фильтра в некоторый момент времени t согласно интегралу Дюамеля равно:

Равенство (4.38) показывает, что напряжение на выходе согласованного фильтра пропорционально функции взаимной корреляции принятого сигнала x (t ) и переданного сигнала s (t ). В этом отношении согласованный фильтр адекватен коррелятору.

Сигнал на выходе фильтра (без помех) соответственно будет равен:

Итак, сигнал на выходе согласованного фильтра с точностью до постоянного множителя с совпадает с автокорреляционной функцией входного сигнала. При значение функции Bs (0) равно энергии сигнала Е. Следовательно, максимальное значение сигнала на выходе . Длительность сигнала на выходе фильтра определяется интервалом корреляции. Дт (2.24). В зависимости от типа сигналов, где Т - длительность сигнала на входе. Появляется возможность сжатия сигнала

во времени. Так, для шумоподобных сигналов . Коэффициент сжатия при этом равен базе сигнала:

Синтез согласованных фильтров можно производить по импульсному отклику g (t ) или спектральным способом по коэффициенту передачи .

В качестве примера рассмотрим построение согласованного фильтра для прямоугольного видеоимпульса, заданного в виде:

s (t ) = 0 при и t>T

Спектр такого импульса, как известно, . На

основании (4.35) коэффициент передачи согласованного фильтра будет

Импульсная переходная характеристика такого фильтра g (t ) совпадает по форме с самим сигналом s (t ); действительно, из соотношения (4.37) следует, что

g(t)=cs(T-t)=cA при

g (t )=0 при t <0 и t > T

Известно, что умножение на в частотной области соответствует интегрированию в пределах от до временной области, а умножение на соответствует задержке сигнала на время T.

Следовательно, фильтр с коэффициентом передачи (4.40) состоит из интегратора И, коэффициент передачи которого равен: линии задержки на время Т с коэффициентом передачи

Рис. 4.10. Согласованный фильтр для прямоугольного видеоимпульса (а), сигнал на его входе (б) и выходе (в)

вычитающего устройства В (рис. 4.10а). Сигнал на выходе фильтра согласно (4.39) имеет форму равнобедренного треугольника (рис. 4.106) с основанием 2Т и высотой, равной энергии сигнала сА 2 Т, т. е.

при

При T

Рассмотрим второй пример - согласованный фильтр для радиоимпульса. Пусть сигнал задан в виде:

при

s (t ) = 0 при и t>T

Предположим для простоты, что Т=(2п+1), т. е. на интервале (0, Т) укладывается нечетное число полупериодов. Тогда на этом интервале

Такой импульсной реакцией (с точностью до постоянного множителя) обладает колебательный контур без потерь.

Радиоимпульс и соответствующая ему импульсная характеристика фильтра g (t ) могут быть представлены как разность двух синусоид, сдвинутых одна относительно другой на время Т.

Рис. 4.11. Согласованный фильтр для радиоимпульса (а), сигнал на его входе (б) и выходе (в)

Поэтому схема согласованного фильтра для радиоимпульса (рис. 4.11 а) отличается от схемы рис. 4.10a только тем, что вместо интегратора И включен высокодобротный колебательный контур с собственной частотой . Постоянная времени контура, очевидно, должна быть много больше длительности сигнала Т. Ес ли в отрезке времени Т вмещается четное (но целое) число полуволн, то вычитающее устройство должно быть заменено сумматором. При подаче на вход радиоимпульса (рис. 4.116) выходной сигнал будет иметь вид, показанный на рис. 4.11б . Этот сигнал совпадает по форме с автокорреляционной функцией входного сигнала Bs ( ). Максимальное значение сигнала на выходе фильтра, то в соответствии с выражением (4.35) коэффициент передачи согласованного фильтра будет

Если сигнал представляет собой последовательность радиоимпульсов, то под следует понимать коэффициент передачи фильтра, согласованного с первым одиночным радиоимпульсом.

В ряде случаев согласованные фильтры оказываются практически трудно реализуемыми. Поэтому часто применяют фильтры, которые согласованы с сигналом только по полосе (квазиоптимальные фильтры). Оптимальная полоса для различных импульсов различна и может быть вычислена без особых трудностей. Так, для фильтра с прямоугольной частотной характеристикой, на который воздействует радиоимпульс прямоугольной формы длительности

Оптимальная полоса равна Можно показать, что отношение сигнала к помехе на выходе квазиоптимального фильтра по сравнению с согласованным фильтром уменьшается на величину порядка 15-20% .