Оптимальный раскрой линейных заготовок. Линейный раскрой в Excel

17.04.2019

см. Модели линейного программирования для решения задач раскроя .

Пример №1 . Продукция бумажной фирмы выпускается в виде бумажных рулонов стандартной ширины - по 2 метра. По специальным заказам потребителей фирма поставляет рулоны и других размеров, для чего производится разрезание стандартных рулонов. Типичные заказы на рулоны нестандартных размеров приведены в табл.

Требуется найти такие сочетания различных вариантов разрезания стандартных рулонов, чтобы поступившие заказы полностью удовлетворить с минимальными потерями (отходами).
Рассмотрим все возможные варианты раскроя стандартного рулона, соответствующие данные приведем в табл.

Ширина рулона(м)	Варианты раскроя рулона						Минимальное количество рулонов
Ширина рулона(м)	1	2	3	4	5	6	Минимальное количество рулонов
0,5	0	2	2	4	1	0	150
0,7	1	1	0	0	2	0	200
0,9	1	0	1	0	0	2	300
Отходы в м	0,4	0,3	0,1	0	0,1	0,2	-

Определим переменные:
X j - количество стандартных рулонов, разрезаемых по варианту j, j =1, 2, 3,4,5, 6 .
Ограничения непосредственно связаны с требованием обеспечить изготовление требуемого количества нестандартных рулонов. Используя данные табл., получим:
2Х 2 + 2 Х 3 + 4 Х 4 + Х 5 = 150 - количество рулонов шириной 0,5 м,
X 1 + Х 2 + 2 Х 5 = 200 - количество рулонов шириной 0,7 м,
X 1 + Х 3 + 2 Х 6 =300 - количество рулонов шириной 0,9 м.

Выражение для суммарной величины потерь бумаги (отходы) (в м) имеет вид
0,4Х 1 + 0,3 Х 2 + 0,1 Х 3 + 0,1 Х 5 + 0,2 Х 6 .

Таким образом, математическая модель в общем виде имеет вид
min f(x) = 0,4 X 1 + 0,3Х 2 + 0,1Х 3 + 0,1Х 5 + 0,2Х 6 .
при ограничениях:
2Х 2 + 2 Х 3 + 4 Х 4 + Х 5 = 150
Х 2 + Х 2 + 2 Х 5 = 200
Х 2 + Х 3 + 2 Х 6 = 300

Задача о раскрое материалов

Данная задача состоит в разработке такого плана, который обеспечивает необходимый комплект изделий при минимальных отходах (по длине, площади, массе, стоимости и др.) при раскрое материалов или обеспечивает максимальное число комплектов изделий. Пример №2 . Требуется разработать оптимальный план раскроя стандартных листов стали, обеспечивая выход планового числа заготовок разного вида при минимальных суммарных отходах, если известно, что из партии листовой стали необходимо нарезать четыре вида различных заготовок в количестве b i (i = 1, 2,…,4) штук. Лист стали стандартных размеров может быть раскроен четырьмя способами. Каждому возможному способу раскроя соответствует карта раскроя. Из карт раскроя известен выход заготовок в штуках разных видов a ij (i = 1, 2,…4; j = 1,2,…,4), а также площадь отходов c j (j = 1, 2,…,n) при раскрое одного листа стали по j-му способу раскроя. Какое количество листов стали необходимо раскроить тем или иным способом, чтобы отходы были минимальными?

Таблица 3

Виды заготовок	План-задание по количеству заготовок (b 1)	Выход заготовок (шт) разных видов из карт раскроя (a ij)
Виды заготовок	План-задание по количеству заготовок (b 1)	1	2	3	4
1	240	1	4	0	1
2	200	1	0	4	0
3	120	1	0	0	3
4	140	1	1	0	3
Площадь отходов, м 2 (c j)		1,4	0,1	2,1	0,1

Составим экономико-математическую модель задачи. Обозначим через x j – количество исходного материала (листов стали), которые необходимо раскроить по одному из способов j . Ограничения в задаче должны соответствовать плановому выходу заготовок различных видов. Целевая функция сводиться к нахождению минимума отходов при раскрое

F=1,4·x 1 +0,1·x 2 +2,1·x 3 +0,1·x 4 →(min)..
Ограничения по выходу заготовок i-го вида по всем j способам раскроя:

Пример №3 . На раскрой (распил, обработку) поступает материал одного образца в количестве a единиц. Требуется изготовить из него l разных комплектующих изделий в количествах, пропорциональных числам b 1 , b 2 ,…,b l (условие комплектности). Каждая единица материала может быть раскроена n различными способами, причем использование i -го способа (i = 1, 2,…,n) дает a ik единиц k-го изделия (k = 1, 2,…,l). Необходимо найти план раскроя, обеспечивающий максимальное число комплектов.
Составим экономико-математическую модель задачи.
Обозначим через x i – число единиц материала, раскраиваемых i-ым способом, и x – число изготавливаемых комплектов изделий. Тогда целевая функция сводиться к нахождению

F=x→(max),
при ограничениях: по общему количеству материала равного сумме его единиц, раскраиваемых различными способами; по требованию комплектности и не отрицательности переменных.

Пример №4 . На предприятии имеются бревна длиной L м, которые необходимо разрезать на заготовки длиной l 1 , l 2 , l 3 м в количестве p 1 , p 2 , p 3 соответственно.
Необходимо составить оптимальный план раскройки материала, который обеспечивает минимальные отходы, при условии выполнения плана по выходу заготовок. Исходные данные приведены в таблице.

Задача	Длина	Размеры заготовок, м			Количество заготовок, шт.
Задача	Длина	l 1	l 2	l 3	p 1	p 2	p 3
68	6,5	2,1	2,3	1,4	600	720	900

Решение: Сначала составим математическую модель нашей задачи. Возможные варианты раскроя и отходы при каждом из них запишем в виде таблицы.

Длина заготовки	Варианты раскроя							Количество заготовок
Длина заготовки	1	2	3	4	5	6	7	Количество заготовок
2,1	3	2	2	1	1	0	0	600
2,3	0	1	0	1	0	2	1	720
1,4	0	0	1	1	3	1	3	900
Остаток, м	0,2	0	0,9	0,7	0,2	0,5	0

Обозначим через x i количество бревен, разрезанных по i-му варианту (i=1..7). Тогда суммарный остаток отходов запишется в виде линейной функции:
Z = 0,2x 1 + 0x 2 + 0,9x 3 + 0,7x 4 + 0,2x 5 + 0,5x 6 + 0x 7
При этом должны выполняться условия выполнения плана по количеству заготовок, т.е.
3x 1 + 2x 2 + 2x 3 + x 4 + x 5 = 600
x 2 + x 4 + 2x 6 + x 7 = 720
x 3 + x 4 + 3x 5 + x 6 + 3x 7 = 900

Таким образом, для решения поставленной задачи необходимо найти minZ при ограничениях. Поскольку minZ = -max(-Z(x)), то вместо задачи минимизации функции будем решать задачу максимизации функции:
Z = -(0,2x 1 + 0x 2 + 0,9x 3 + 0,7x 4 + 0,2x 5 + 0,5x 6 + 0x 7)

Пример №5 . Для пошива одного изделия требуется выкроить из ткани 6 деталей. На швейной фабрике были разработаны два варианта раскройки ткани. В таблице (расположенной ниже) приведены характеристики вариантов раскроя 10 м 2 ткани комплектность, т.е. количество деталей определенного вида, которые необходимы для пошива одного изделия. Ежемесячный запас ткани для пошива изделий данного типа составляет 405 м 2 . В ближайший вечер планируется сшить 90 изделий.
Построить математическую модель задачи, позволяющий в ближайший месяц выполнить план по пошиву с минимальным количеством отходов.

Таблица - Характеристики вариантов раскроя отрезков ткани по 10м 2

Вариант раскроя	Количество деталей, шт./отрез						Отходы, м 2 /отрез
Вариант раскроя	1	2	3	4	5	6	Отходы, м 2 /отрез
1	60	0	90	40	70	90	0,5
2	80	35	20	78	15	0	0,35
Комплектность, шт./изделие	1	2	2	2	2	2

Математическая постановка задачи

Переменные задачи
В данной задаче искомые величины явно не указаны, но сказано, что должен быть выполнен ежемесячный план по пошиву 90 изделий. Для пошива 90 изделий в месяц требуется раскроить строго определенное количество деталей. Крой производится из отрезков ткани по 10 м 2 двумя различными способами, которое позволяют получить различное число деталей. Поскольку заранее неизвестно, сколько ткани будет раскраиваться первым способом и сколько - вторым, то в качестве искомых величин можно задать количество отрезков ткани по 10м 2 , раскроенных каждым из способов:
x 1 - количество отрезков ткани по 10м 2 , раскроенных первым способом в течении месяца, [отрез./мес.];
x 2 - количество отрезков ткани по 10м 2 , раскроенных первым способом в течении месяца, [отрез./мес.];

Целевая функция
Целью решения задачи является выполнение плана при минимальном количестве отходов. Поскольку количество изделий строго запланировано (90 шт./мес.), то этот параметр не описывает ЦФ, а относится к ограничению, невыполнение которого означает, что задача не решена. А критерием эффективности выполнение плана служит параметр «количество отходов», который необходимо свести к минимуму. Поскольку при раскрое одного отреза (10м 2) ткани по 1-му варианту получается 0,5м 2 отходов, а по 2-му варианту - 0,35м 2 (см. таблицу 1), то общее количество отходов при крое (ЦФ) имеет вид
L(x) = 0.5x 1 + 0.35x 2 = min,

Ограничения
Количество раскроев ткани различными способами ограничивается следующими условиями:

Должен быть выполнен план по пошиву изделий, другими словами, общее количество выкроенных деталей должно быть таким, чтобы из него можно было пошить 90 изделий в месяц, а именно: 1-го вида должно быть как минимум 90 и деталей остальных видов - как минимум по 180 (см. комплектность в таблицу).
Расход ткани не должен превышать месячного запаса на складе;
Количество отрезков раскроенной ткани не может быть отрицательным.

Ограничение по плану пошива пальто имеют следующую содержательную форму записи.
(Общее количество деталей №1 выкроенных по всем вариантам)≥ (90 штук);
(Общее количество деталей №2 выкроенных по всем вариантам) ≥ (180 штук);
(Общее количество деталей №6 выкроенных по всем вариантам) ≥ (180 штук);

Математически эти ограничения записываются в виде :
60x 1 + 80x 2 ≥90;
35x 2 ≥180;
90x 1 + 20x 2 ≥180;
40x 1 + 78x 2 ≥180;
70x 1 + 15x 2 ≥180;
90x 1 ≥180;

Ограничение по расходу ткани имеет следующие формы записи:
Содержательную
(общее количество ткани, раскроенной за месяц)≤ (405м 2)
Математическую
x 1 +x 2 ≤405/10

Не отрицательность количества раскроенных отрезков задается в виде
x 1 ≥ 0, x 2 ≥ 0

Таким образом, математическая модель задачи имеет вид
L(x) = 0.5x 1 + 0.35x 2 = min [м 2 отх./мес.],
60x 1 + 80x 2 ≥90;
35x 2 ≥180;
90x 1 + 20x 2 ≥180;
40x 1 + 78x 2 ≥180;
70x 1 + 15x 2 ≥180;
90x 1 ≥180;
x 1 +x 2 ≤40,5
x 1 ≥ 0, x 2 ≥ 0

Пример №6 . Имеется 69 труб для отопительной сети по 1070 см каждая. Их необходимо разрезать на трубы по 130, 150 и 310 см. Найти такой вариант раскроя поступивших труб, при котором отходы были бы минимальными.

Этап 1. Определяем варианты оптимального распила труб.

Варианты раскроя	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13
310	3	2	2	2	2	1	1	1	1	0	0	0	0
150	0	3	2	1	0	3	2	1	0	3	2	1	0
130	1	0	1	2	3	2	3	4	5	4	5	7	8
Остатки	10	0	20	40	60	50	70	90	110	100	120	10	30

Этап 2.
Составим экономико-математическую модель задачи. Обозначим через x j - количество труб, которые необходимо распилить по одному из способов j. Целевая функция сводиться к нахождению минимума отходов при распиле:
10x 1 + 20x 3 + 40x 4 + 60x 5 + 50x 6 + 70x 7 + 90x 8 + 110x 9 + 100x 10 + 120x 11 + 10x 12 + 30x 13 → min

x 1 + x 3 + x 4 + x 5 + x 6 + x 7 + x 8 + x 9 + x 10 + x 11 + x 12 + x 13 = 69

Ответ: необходимо использовать только второй вариант распила (нулевые отходы)

Доброго времени суток уважаемые читатели Блога Андрея Ноака. Среди деревообработчиков имеется множество секретов и хитростей повышающих выход пиломатериала из круглого леса, увеличивающих выход первосортных досок и в конечном итоге все приводит к увеличению доходов. Сегодня я, технолог по призванию, расскажу как пилить лес, фишки и хитрости в этом деле.

Но по разным причинам не каждый станет делиться своими методами работы, своими разработками.

Понятие раскрой леса может как бы быть двухзначным. С одной стороны его можно понимать как распиловка леса на станке и получение доски. С другой стороны можно сказать раскрой леса, это распиловка хлыста на сортименты и получение бревен. При этом оба этих значения правильны, просто необходимо указывать какой именно раскрой имеется ввиду. Специально для своих читателей блог Андрея Ноака сделал подборку мероприятий увеличивающих эффективность раскроя леса.

Увеличение эффективности раскроя леса

Для эффективного раскроя круглого леса расчет поставов производить только в специальных программах.
Предварительная подготовка пиловочника к раскрою, а это учет и анализ имеющихся дефектов на древесине и правильная работа лесной биржи.
Программа раскроя круглого леса более эффективна будет только с наличием высокого ассортимента готовой доски по размерам. Особенно актуальным становится наличие тонкого и узкого ассортимента в сочетании с толстым и широким ассортиментом. Толстый и широкий пиломатериал выпиливается из середины, тонкий пиломатериал выпиливается с заболонной части бревна. Но имеется недостаток, можно в огромном количестве пиломатериала запутаться, особенно если сортировка производится вручную. Это может привести к дополнительным рабочим местам. Выходом из такой ситуации может послужить монтаж автоматических сортировок пиломатериала, где программа по заданным критериям рассортировываем пиломатериал.
Стоит помнить, что при установке в середину тонкой и узкой доски идет колоссальное увеличение коэффициента выхода.
Для увеличения прибыли при равных прочих условиях предприятию нужно стремиться производить распил леса так, чтобы больше доски можно было реализовывать и производить толстого и широкого, тонкий и узкий пиломатериал должен производиться как сопутствующий основной (широкой и толстой) доски.
К предыдущему пункту можно добавить еще и то, что каждый пропил снижает отдачу от раскроя круглого леса. Поэтому для некоторых при равных условиях лучше пилить брус.
Каждый деревообработчик знает, чем короче бревно круглого леса, тем эффективней его пилить.
Тщательная разработка ТУ на сортировку досок.
Тщательная сортировка круглого леса. Чем меньше градация сортированного леса, при этом расчет поставов производится на один сортированный диаметр, тем выше выход пиломатериалов. Более правильным будет градация не через 2 см как по ГОСТ, а диаметр подбирается под постав. Кстати вот интересная технология, где предлагают вообще пилить не сортированный лес, подробнее .
Распил леса с использованием более тонкого пропила — для этого используют импортные высококачественные пилы и двухвальные многопильные станки.
Использования современных компьютеризированных линий для распиловки леса и получение качественного пиломатериала.
Уменьшение припусков на усушку за счет более точных геометрических размеров получаемых доскок.

Оптимизация раскроя леса по длине:

Оптимизация раскроя предполагает распил кривого пиловочника на более короткий ассортимент, штабелирование в отдельный штабель на лесной бирже, и дальнейшая распиловка этого короткого ассортимента по специально разработанному поставу. Одним из эффективных способов распиловки бревен с кривизной является технология пиления в развал и получения необрезного пиломатериала. Данная технология пиления осуществима в рамных цехах и на ленточных пилорамах.

При наличии каких либо деффектов (прорость, гниль, торцевые трещины), для получения большей прибыли, бревно отторцовывается (отрезок СD) и отпиливается положенная длина (за счет увеличения отрезка АВ).

Гибкость технологии лесопиления и использование в лесопилении разной длины бревен. Это позволяет перерабатывать сломанные остатки от бревен длиной от одного метра.
Применение качественного пиловочника максимально большого диаметра, чем больше диаметр пиловочника, тем ниже коэффициент выхода, ниже процент выхода низкокачественного пиломатериала с обзолом. Больший диаметр позволяет производить больший процент качественного пиломатериала первого и высшего сортов. Коэффициент может колебаться от 1,48 до 2.1 — все зависит от диаметра древесины, оптимального постава, качества круглого леса, качества сортировки и оборудования на котором перерабатываете пиломатериал.
- Рамные цеха 1,48-1,6, подробнее .
- Фрезерно брусующие линии 1,6 на крупном лесе, до 2,1 на лесе диаметром 12 см, подробнее .

О программах для раскроя круглого леса

Уважаемые читатели, хочу добавить что сегодня стоящих платных программ российского производства и отдельно продающихся на рынке для распиловки леса на пиломатериал блог деревообработчика не встречал.

Мы не говорим уже о бесплатных программах. Если кто то имеет другое мнение, пишите в комментариях, делитесь, возможно изменится и наш взгляд! Основной причиной этому является тот факт, что данное направление только начало развиваться. Мы надеемся что через пару лет появится хороший и стоящий продукт. Из отечественных программ стоит отметить

Хочется добавить что на современных лесопильных линиях таких фирм как «Linck», «SAB» имеются уже встроенные программы расчета поставов. Установленные на линии 3D рамки дают сигнал на оптимальную ориентацию бревна и бревно разворачивается специальными механизмами. В это время режущие пилы устанавливаются в размер который приходит на станок с компьютера.

Немаловажным является дальнейшая переработка древесины полученной от лесопиления. Поэтому сейчас так модно выражение «полная переработка древесины». Часто щепа, опилки и горбыль сжигаются в котельных для получения тепла на нужды производства. Н а некоторых европейских предприятиях от бревна не остается даже «рожек да ножек».

Мои услуги

Более подробно о том что у меня тут написано можно узнать в моей суперской книжечке «Организация лесопиления на современном предприятии». В ней дана информация которая в народе называется «КОМЕРЧЕСКАЯ ТАЙНА». Такую информацию вам не расскажут вам ни на одном симпозиуме, ни на одном форуме. Предприятия тоже не делятся ей. К примеру мы вызывали немецких специалистов за 2000 евро в сутки для того чтобы они нам дали только часть. Остальное наработано своим опытом и методом проб и ошибок.

До новых встреч, с вами был Андрей Ноак!

Экономичный линейный раскрой материалов (раскрой погонажа) актуален для многих отраслей производства и в строительстве. Это — распил бревен и досок в деревообработке, резка прутков, арматурных стержней, уголков, швеллеров, труб, двутавров на заготовки...

В производстве металлоконструкций и машиностроении, поперечный раскрой рулонов с бумагой и тканью в целлюлозной и легкой промышленности.

Не смотря на кажущуюся простоту, решение задач линейного раскроя является весьма не легким, но стоящим делом. Внедрение научного подхода к раскрою погонажных материалов позволяет снизить расходы на них иногда более чем на 10%! Дочитайте статью до конца и убедитесь в правоте этих слов.

Рассматриваемая тема относится к задачам линейного программирования. Для решения таких задач ученые в последние 70 лет придумали несколько различных методов.

Метод индексов Л.В. Канторовича и В.А. Залгаллера при определенном навыке позволяет «вручную» без использования вычислительной техники эффектно выполнять линейный раскрой. Любопытным читателям рекомендую с этим методом ознакомиться, прочитав книгу вышеназванных авторов «Рациональный раскрой промышленных материалов».

Симплекс-метод, основанный на идеях Л.В. Канторовича, был описан и детально разработан рядом ученых из США в середине 20 века. Надстройка MS Excel «Поиск решения» (Solver) использует этот алгоритм. Именно с помощью этого метода и Excel мы будем в этой статье решать задачу линейного раскроя.

Позже появились и получили развитие генетический, жадный и муравьиный алгоритмы. Однако, ограничимся их перечислением и перейдем к делу, не забираясь в дебри теорий (хотя там, «в дебрях», очень интересно).

Включим Excel и на простом примере порезки металлических стержней на детали познакомимся с одним из способов решения практических задач линейного раскроя. Часто математики эту задачу называют «задачей о распиле».

Исходные данные для примера я не стал придумывать, а взял из статьи Покровского М.А. «Минимизация неизбежных потерь материалов в промышленном производстве при их раскрое на штучные заготовки» опубликованной в №5 (май 2015) электронного научно-технического журнала «Инженерный вестник» издаваемого ФГБОУ ВПО «МГТУ им. Н.Э. Баумана» (ссылка: engbul . bmstu . ru / doc /775784. html ).

Цель, которую я преследовал – сравнить полученные результаты решения задачи.

Пример решения задачи линейного раскроя в MS Excel.

Договоримся, что:

1. Заготовки – это исходный материал в виде прутков, полос, стержней и т.д. одинаковой длины.

2. Детали – это элементы, которые необходимо получить, разрезав исходные заготовки на части.

3. Ширина пила, реза, руба принята равной нулю.

Условие задачи:

Для комплектации одного из заказов заготовительный участок должен порубить на комбинированных ножницах из одинаковых прутков-заготовок длиной 1500 мм три типоразмера деталей:

151 штуку длиной 330 мм

206 штук длиной 270 мм

163 штуки длиной 190 мм

Требуется найти оптимальный план раскроя, использующий минимальное количество материала и дающий, соответственно, минимальное количество отходов.

Исходные данные:

1. Длину исходных заготовок L з в миллиметрах записываем в объединенную ячейку

D3E3F3: 1500

2. Присваиваем номера i всем типоразмерам деталей, начиная от самой длинной и заканчивая самой короткой в ячейках

D4; E4; F4: 1; 2; 3

3. Длины деталей L д i в миллиметрах пишем в

D5; E5; F5: 330; 270; 190

4. Количество деталей N д i в штуках заносим в

D6; E6; F6: 151; 206; 163

5. Приступаем к очень важному этапу – заполнению вариантов раскроев.

Необходимо запомнить и понять 2 принципа выполнения этой работы .

1. Длины отходов должны быть меньше самой маленькой детали (0< Lo j < L д min ).

2. «Укладку» деталей в заготовку начинаем с самых больших деталей и с самого большого их количества, последовательно двигаясь в сторону уменьшения.

Если какого-нибудь типоразмера деталей в варианте раскроя нет, то ячейку оставляем пустой, ноль писать не будем для облегчения визуального восприятия таблицы.

Вариант раскроя №1:

Попытка выкроить из одной заготовки 5 деталей №1 невозможна, поэтому пишем в ячейку

Добавить в раскрой деталь №2 или деталь №3 также невозможно, поэтому оставляем пустыми ячейки

Вариант раскроя №2:

Уменьшаем на 1 от предыдущего варианта количество деталей №1 и записываем в

Пробуем добавить 2 детали №2 – не получается, поэтому дополняем в

Остается возможность дополнить раскрой деталью №3. Заносим в

Придерживаясь озвученных принципов, заполняем по аналогии все возможные в данном случае 18 вариантов раскроев.

Сделав пару-тройку таблиц вариантов раскроев самостоятельно, вы уясните логику действий и будете тратить считанные минуты на эту работу.

Если при раскрое не выполняется первый принцип, то ячейка с длиной отхода автоматически окрашивается в красный цвет. Условное форматирование, примененное к ячейкам G7…G24, наглядно поможет вам в этой работе.

В ячейках H7…H24 ничего не пишем! Они используются для вывода результата решения!

Подготовка к решению:

* В ячейках G7…G24 вычисляются длины отходов (обрезков), остающиеся в результате выполнения раскроев, по формуле

Lo j = L з — Σ (L д i * N д ij )

6. Количество деталей каждого типоразмера, изготовленных по всем примененным вариантам раскроя, будут подсчитываться в ячейках D26, E26 и F26 по формуле

N д i расч = Σ (N д ij * N з j )

Количество деталей в найденном в конце решения плане раскроя должно полностью соответствовать заданному количеству деталей!

7. Необходимое число заготовок для выполнения оптимального плана раскроя будет определяться в объединенной ячейке D27E27F27 по формуле

N з расч = ΣNз j

8. Общая длина всех заготовок, необходимых чтобы выполнить линейный раскрой всех деталей будет подсчитываться в объединенной ячейке D28E28F28 по формуле

L з Σ = L з * N з расч

9. Общая длина всех отходов, получаемых при выполнении найденного плана раскроя, будет считаться в объединенной ячейке D29E29F29 по формуле

L о Σ = Σ (L о j * N з j )

10. Доля отходов, полученных при выполнении оптимального плана линейного раскроя от общего количества использованного материала, будет вычисляться в объединенной ячейке D30E30F30 по формуле

Ωo = Lо Σ /Lз Σ

Решение:

Подготовка завершена, определены 18 вариантов наиболее оптимальных раскроев одной заготовки на детали и вписаны все необходимые формулы. Теперь предстоит решить главную задачу: определить оптимальный план раскроя – сколько заготовок, и по каким вариантам раскроев резать , чтобы в итоге получить все необходимые детали в нужном количестве при минимуме отходов.

1. Выбираем в главном меню «Сервис» - «Поиск решения…».

2. В появившемся одноименном окне «Поиск решения» производим настройки.

2.1. Назначаем целевой функцией общую длину отходов Lо Σ и вводим ссылку в окно целевой ячейки.

2.2. Устанавливаем переключатель «Равной:» в положение «минимальному значению».

2.3. Указываем ячейки с переменными Nз j в окне «Изменяя ячейки».

2.4. Вводим ограничения в одноименное окно. В качестве условий указываем необходимость равенства заданного Nд i и расчетного Nд iрасч количества деталей, а так же на переменные Nз j – расчетное количество заготовок по вариантам раскроев – накладываем ограничение: это должны быть целые числа.

3. Нажимаем кнопку «Параметры» и в выпавшем окне «Параметры поиска решения» выполняем настройки так, как показано на следующем скриншоте. Закрываем окно кнопкой «ОК».

4. В окне «Поиск решения» нажимаем кнопку «Выполнить» и ждем, пока Excel найдет решение. Это может длиться несколько минут.

5. После сохранения найденного решения кнопкой «ОК», результаты отобразятся в ячейках H7...H24 на листе Excel.

На следующей картинке показан найденный оптимальный линейный раскройный план.

Что в итоге?

Линейный раскрой в Excel заготовок для задач подобных рассмотренной в этой статье выполняется описанным выше методом за 10-15 минут! «Вручную», не зная метод индексов Канторовича, за такое время решения не найдешь.

Запустив «Поиск решения» несколько раз при разных параметрах поиска, удалось найти 5 различных планов рубки заготовок. Все 5 планов требуют одинаковое число заготовок – 93 и дают отходов всего 2,21%!!! Эти планы почти на 6% лучше, чем план, рассчитанный Покровским и более чем на 10% экономичнее «Традиционного» плана (смотри ссылку на первоисточник в первой части статьи). Очень достойный результат достигнут быстро и без применения дорогостоящих программ.

Следует заметить, что надстройка Excel Solver («Поиск решения»), использующая симплекс-метод при решении задач линейного программирования, может работать не более чем с 200 переменными. В приложении к рассмотренной нами задаче линейного раскроя это означает, что количество раскроев не может превышать 200 вариантов. Для простых задач этого достаточно. Для более сложных задач следует попробовать применить «смесь» «жадного» алгоритма и симплексного метода Solver, отобрав из полного списка раскроев не более 200 самых экономичных. Далее запасаемся терпением и добиваемся результатов. Можно попытаться разбить сложную задачу на несколько простых, но «уровень оптимальности» найденного решения будет при этом, скорее всего, ниже.

Может быть, рассмотренный вариант решения вопросов линейного раскроя и не «высший пилотаж», но однозначно шаг вперед по сравнению с «традиционным» подходом на многих производствах.

Использование надстройки MS Excel «Поиск решения» (Solver) было на блоге уже однажды рассмотрено в статье . Думаю, что этот замечательный инструмент достоин пристального внимания и еще не раз поможет изящно и быстро решить ряд новых нетривиальных задач.

P.S. Ссылки на лучшие из бесплатных программ линейного раскроя, найденных мной в Сети:

http://stroymaterial-buy.ru/raschet/70-raskroy-lineynih-izdeliy.html

http://forum-okna.ru/index.php?app=core&module=attach§ion=attach &attach_id=7508

http://forum.dwg.ru/attachment.php?attachmentid=114501&d=13823277 74

http://www.planetcalc.ru/917/

Программы по последним двум ссылкам реализуют жадные эвристики и выполняют линейный раскрой в задаче из статьи, используя аж целых 103 заготовки. Применение жадных алгоритмов оправдано в случаях необходимости снижения общего времени операции резки при слишком большом количестве вариантов раскроев в более оптимальных планах.

Ниже статьи в блоке «Отзывы» можете написать свои комментарии, уважаемые читатели.

Большинство материалов, используемых в промышленности, поступает на производство в виде стандартных форм. Непосредственное использование таких материалов, как правило, невозможно. Предварительно их разделяют на заготовки необходимых размеров. Это можно сделать, используя различные способы раскроя материала. Задача оптимального раскроя состоит в том, чтобы выбрать один или несколько способов раскроя материала и определить, какое количество материала следует раскраивать, применяя каждый из выбранных способов. Задачи такого типа возникают в металлургии и машиностроении, лесной и лесообрабатывающей, легкой промышленности.

Различаются два этапа решения задачи оптимального раскроя. На первом этапе определяются рациональные способы раскроя материла. Способ раскроя называется рациональным, если увеличение числа заготовок одного вида возможно только за счет сокращения числа заготовок другого вида. На втором этапе решается задача линейного программирования для определения интенсивности использования рациональных способов раскроя.

Определение рациональных способов раскроя материла.

В задачах оптимального раскроя рассматриваются так называемые рациональные (парето-оптимальные) способы раскроя. Предположим, что из единицы материала можно изготовить заготовки нескольких видов. Способ раскроя единицы материала называется рациональным (парето-оптимальным) если увеличение числа заготовок одного вида возможно только за счет сокращения числа заготовок другого вида.

k - индекс вида заготовки,

a ik k , полученных при раскрое единицы материала способом i .

Приведенной выше определение рационального способа раскроя может быть формализовано следующим образом.

Способ v раскроя называется рациональным (парето-оптимальным), если для любого другого способа раскроя i из соотношений , следуют соотношения ,

Пример

Требуется определить все рациональные способы раскроя деревянного бруса длиной 600 см на заготовки длиной 500, 300 и 200 см.

Способы раскроя	500 см	300 см	200 см	Отходы
		-
	-		-
	-	-
	-

Определение интенсивности использования рациональных способов раскроя.

Обозначения:

j - индекс материала,

k - индекс вида заготовки,

i - индекс способа раскроя единицы материала,

a jik - количество (целое число) заготовок вида k , полученных при раскрое единицы j - го материала способом i ;

b k - число заготовок вида k в комплекте, поставляемом заказчику;

d j - количество материала j -го вида;

x ji - количество единиц j -го материала, раскраиваемых по i -му способу (интенсивность использования способа раскроя);

с ji - величина отхода, полученного при раскрое единицы j -го материала по i -му способу;

y - число комплектов заготовок различного типа, поставляемом заказчику.

Модель A раскроя с минимальным расходом материалов.

(1)

(2)

(1) - целевая функция - минимум количества используемых материалов;

(2) - система ограничений, определяющих количество заготовок, необходимое для выполнения заказа;

(3) - условия неотрицательности переменных.

Модель позволяет обеспечить требуемое количество заготовок каждого типа с минимальными затратами материала. Специфическими для данной области приложения модели линейного программирования являются ограничения вида (2).

Пример