Целевая функция как. Целевая функция и ее формы. Задачи линейного программирования

Целевая функция – это математическое представление зависимости критерия оптимальности от искомых переменных.

2. Градиент функции.

Вектор, компонентами которого служат значения частных производных, то есть вектор

называется градиентом функции , вычисленным в точке.

3. Общая задача линейного программирования.

Стандартная математическая формулировка общей задачи линейного программирования выглядит так: требуется найти экстремальное значение показателя эффективности (целевой функции)

(линейной функции элементов решения ) при линейных ограничительных условиях, накладываемых на элементы решения:

где - заданные числа.

4. Стандартная задача лп.

В стандартной форме задача линейного программирования является задачей на максимум (минимум) линейной целевой функции. Система ограничений ее состоит из одних линейных неравенств типа « <= » или « >= ». Все переменные задачи неотрицательны.

Всякую задачу линейного программирования можно сформулировать в стандартной форме . Преобразование задачи на минимум в задачу на максимум, а также обеспечение не отрицательности переменных производится так же, как и раньше. Всякое равенство в системе ограничений равносильно системе взаимопротивоположных неравенств:

Существует и другие способы преобразования системы равенств в систему неравенств, т.е. всякую задачу линейного программирования можно сформулировать в стандартной форме.

2 вариант ответа:

Стандартная задача ЛП. или, в матричной записи,где- матрица коэффициентов. Векторназывается вектором коэффициентов линейной формы,- вектором ограничений.

5. Каноническая задача лп.

В канонической форме задача является задачей на максимум (минимум) некоторой линейной функции F , ее система ограничений состоит только из равенств (уравнений). При этом переменные задачи х 1 , х 2 , ..., х n являются неотрицательными:

К канонической форме можно преобразовать любую задачу линейного программирования.

Короткая запись канонической задачи ЛП:

Х=(х1, х2, …, хn), С=(с1, с2, …, сn).

2 вариант ответа:

Каноническая задача ЛП. или, в матричной записи,

6. Симметричные и несимметричные двойственные задачи.

Двойственная задача линейного программирования. Рассмотрим задачу ЛП (1) или, в матричной записи,(2) Задачей, двойственной к (1) (двойственной задачей), называется задача ЛП отпеременныхвида(3) или, в матричной записи,(4) где. Правила построения задачи (3) по форме записи задачи (1) таковы: в задаче (3)

переменных столько же, сколько строк в матрицезадачи (1). Матрица ограничений в (3) - транспортированная матрица. Вектор правой части ограничений в (3) служит вектором коэффициентов максимизируемой линейной форме в (1), при этом знаки неравенств меняются на равенство. Наоборот, в качестве целевой функции в (3) выступает линейная форма, коэффициентами которой задаются вектором правой части ограничений задачи (1), при этом максимизация меняется на минимизацию. На двойственные переменныенакладывается условие неотрицательности. Задача (1), в отличии от двойственной задачи (3) называется прямой.Теорема двойственности . Если взаимодвойственные задачи (2), (4) допустимы, то они обе имеют решение и одинаковое значение .

Симметричные двойственные задачи

Разновидностью двойственных задач линейного, программирования являются двойственные симметричные задачи, в которых система ограничений как исходной, так и двойственной задач задается неравенствами, причем на двойственные переменные налагается условие неотрицательности.

Целевая функция

Функция, связывающая цель (оптимизируемую переменную) с управляемыми переменными в задаче оптимизации.

Важно, что критерий всегда привносится извне, и только после этого ищется правило решения, минимизирующее или максимизирующее целевую функцию.

См. также

• Бурак Я. И., Огирко И. В. Оптимальный нагрев цилиндрической оболочки с зависящими от температуры характеристиками материала // Мат. методы и физ.-мех. поля. - 1977. - Вып. 5. - С.26-30

Wikimedia Foundation . 2010 .

• ЦНИИ робототехники и технической кибернетики
• 1885 год в театре

Смотреть что такое "Целевая функция" в других словарях:

целевая функция - — [Я.Н.Лугинский, М.С.Фези Жилинская, Ю.С.Кабиров. Англо русский словарь по электротехнике и электроэнергетике, Москва, 1999 г.] целевая функция В экстремальных задачах — функция, минимум или максимум которой требуется найти. Это… …

Целевая функция - в экстремальных задачах функция, минимум или максимум которой требуется найти. Это ключевое понятие оптимального программирования. Найдя экстремум Ц.ф. и, следовательно, определив значения управляемых переменных, которые к нему… …

целевая функция - 3.1.8 целевая функция (business function): Набор процессов, обеспечивающих достижение конкретной цели деятельности. Источник: Р 50.1.041 2002: Инфор … Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

целевая функция - tikslo funkcija statusas T sritis automatika atitikmenys: angl. objective function vok. Zielfunktion, f rus. функция цели, f; целевая функция, f pranc. fonction de cible, f … Automatikos terminų žodynas

Целевая функция - функция, экстремальное значение которой ищется на допустимом множестве в задачах математического программирования (См. Математическое программирование) … Большая советская энциклопедия

ЦЕЛЕВАЯ ФУНКЦИЯ - функция цели название оптимизируемой функции в задачах математического программирования … Математическая энциклопедия

Целевая функция - (условное название, относительно корректно может быть применено только к системам, созданным с определенной целью человеком), в объективном мире не существует, там имеет место системообразующий фактор … Теоретические аспекты и основы экологической проблемы: толкователь слов и идеоматических выражений

Целевая функция потребления - 1. Этим термином, а также несколькими равнозначными ему или почти равнозначными (функция уровня жизни, функция благосостояния, функция общественной полезности, функция потребления и др.) обозначают в… … Экономико-математический словарь

целевая функция потребления - 1. Этим термином, а также несколькими равнозначными ему или почти равнозначными (функция уровня жизни, функция благосостояния, функция общественной полезности, функция потребления и др.) обозначают в теоретических исследованиях целевую функцию… … Справочник технического переводчика

целевая функция автоматизированной медицинской системы - целевая функция АМС Совокупность действий автоматизированной медицинской системы, обеспечивающая эффективное выполнение заданной медицинской программы. [ГОСТ 27878 88] Тематики системы и комплексы медицинские Обобщающие термины системы и… … Справочник технического переводчика

Книги

• Подход к организации адаптивной системы управления обучением на основе использования информационных технологий , А. В. Анастасьин. Вопрос использования информационных технологий в образовательном процессе высших учебных заведений уже давно и постоянно обсуждается на самых различных уровнях. Это обусловлено быстрыми…

Линейное программирование.

Краткие теоретические сведения

Постановка задач

Решение прямой задачи линейного программирования отвечает на следующий вопрос:

при каких интенсивностяхn процессов получения прибыли (оказании различных услуг, производственных процессов), в которых используютсяm видов ресурсов (факторов производства) с известными предельными интенсивностями использования этих ресурсов выручка от реализации (прибыль) будет максимальна в случае, когда интенсивность расхода каждого ресурса и интенсивность получения прибыли (выручки) в каждом из процессов линейно зависят от интенсивности этого процесса.

Решение двойственной к ней задачи отвечает на следующий вопрос:

при каких наименьших ценах на единицу ресурса экономическому агенту будет невыгодно дальнейшее расширение процесса получения прибыли за счёт приобретения новых объёмов дефицитных в сложившихся условиях экономической деятельности ресурсов.

Прямая задача линейного программирования может быть связана со следующей ситуацией. Имеются n способов получения прибыли (оказание n видов услуг) с объёмами x i (число штук i -й оказанных услуг) . При этом используются m видов ресурсов, запас j -го изкоторых равен b j . При этом расход каждого ресурса j и величина прибыли в каждом из процессов i линейно зависят от количества оказанных услуг i -го вида с коэффициентами a ji и c i , соответственно. Матрица А =(a ji ) m ´ n по смыслу аналогична такой же из первой части и также называется матрицей технологических, или структурных коэффициентов. Тогда оптимальный по критерию максимума получения прибыли план может быть получен из решения следующей прямой задачи линейного программирования:

Этой задаче можно поставить в соответствие расширенную матрицу следующего вида:

(4.1)

Двойственная к задаче (4) задача имеет следующий вид (z j – искомые предельные цены):

При такой формулировке двойственной задачи из условия минимизации цен вытекают (5.1) и (5.3), а из условия невыгодности продолжения деятельности прямо возникает условие превышения или равенства издержек над выручкой от реализации.

Основные понятия модели

Решение (план, программа)- набор, вектор конкретных значений всех переменных параметров управления модели – тех величин которые могут быть изменены по воле управляющего объектом моделирования. Решения бывают допустимые (реализуемые на практике), недопустимые (не реализуемые в силу существующих в модели ограничений) и оптимальные (лучшие из допустимых).

Целевая функция L(x) – математическое выражение, связывающее факторы (параметры) модели. Экономический смысл целевой функции отражает критерий оптимальности – показатель, имеющий экономическое содержание и служащий формализацией конкретной цели управления, например: максимизация прибыли (строка 1 в (4)), максимизация качества продукции или минимизация издержек (5.1).

Система ограничений модели – пределы, ограничивающие область допустимых (приемлемых, осуществимых) решений , фиксирующие основные внутренние и внешние свойства объекта, связанные с целью оптимизации. Уравнения связи (типа f j (x) )– математическая формализация системы ограничений (строки 2 и 3 в (4), (5.2 , 5.3)). Система ограничений отражает экономический смысл уравнений связи.

Система, состоящая из целевой функции и уравнений связи, -задача экономико- математического моделирования (ЭММ). В случае, когда целевая функция и уравнения связи линейны, а переменные управления меняются непрерывно, задача ЭММ называетсязадачей линейного программирования (ЛП) . Основное свойство множества допустимых планов (МДП) задачи ЛП - оно является выпуклым многогранником. Выпуклым называется множество, которому принадлежат все отрезки, соединяющие любые две точки этого множества. Если задача ЛП имеет решение, то оно находится в вершине МДП. Планы, находящиеся в вершинах МДП, называются базовыми. Задачи линейного программирования делятся на задачи с ограничениями в форме неравенств (общая задача ЛП) и в форме равенств (каноническая задача ЛП). При математической формализации экономических задач с помощью линейной модели получаются общие задачи ЛП – например, (4), (5). Любой общей задаче путём введения дополнительных переменных может быть сопоставлена каноническая задача. Так, задаче (4) путём введения в каждое неравенство типа “расход ресурса £ запас ресурса” (строка 2 в (4)) дополнительной переменной x n+j (неизрасходованный остаток j -го ресурса) сопоставляется следующая каноническая:

При этом размерность задачи (6) – число переменных плана - по сравнению с (4) увеличилась с n до n+m .

При решении задачи (4) важное значение имеют коэффициенты ресурсоотдачи, среди которых здесь будут использованы дифференциальные и приростные. Дифференциальный коэффициент ресурсоотдачи k ji показывает стоимость оказанных при использовании единицы j -го ресурса i –ых услуг. Те виды услуг, для которых все k ji оказываются наименьшими по всем видам услуг, являются наименее выгодными. Они не должны присутствовать в оптимальном плане. Это позволяет, путём принудительного обнуления объёмов оказания таких услуг снизить размерность задачи и, таким образом, упростить её решение. Вычисляются они следующим образом - k ji =c i /a ji .

приростной коэффициент ресурсоотдачи К j – это коэффициент пропорциональности между приращением значения целевой функции оптимального плана и вызвавшим это приращение изменением запасов j -го ресурса. Можно считать, что К j показывают, на сколько увеличится значение целевой функции исходной задачи в оптимальном плане при увеличении величины запаса j -го ресурса на единицу. С математической точки зрения является полной производной от оптимального значения целевой функции по величине запаса j -го ресурса: К j =dL opt /db j .

Переменные задачи

Построим модель задачи.

Решение

Прежде чем построить математическую модель задачи, ᴛ.ᴇ. записать ее с помощью математических символов, крайне важно четко разобраться с экономической ситуацией, описанной в условии. Для этого крайне важно с точки зрения экономики, а не математики, ответить на следующие вопросы:

1) Что является искомыми величинами задачи?

2) Какова цель решения? Какой параметр задачи служит критерием эффективности (оптимальности) решения, к примеру, прибыль, себестоимость, время и т.д. В каком направлении должно изменяться значение этого параметра (к max или к min) для достижения наилучших результатов?

3) Какие условия в отношении искомых величин и ресурсов задачи должны быть выполнены?

Эти условия устанавливают, как должны соотноситься друг с другом различные параметры задачи, к примеру, количество ресурса, затраченного при производстве, и его запас на складе; количество выпускаемой продукции и емкость склада, где она будет храниться; количество выпускаемой продукции и рыночный спрос на эту продукцию и т.д.

Только после экономического ответа на всœе эти вопросы можно приступать к записи этих ответов в математическом виде, ᴛ.ᴇ. к записи математической модели.

В задаче требуется установить, сколько краски каждого вида нужно производить. По этой причине искомыми величинами, а значит, и переменными задачи являются суточные объёмы производства каждого вида красок:

x1 – суточный объём производства краски 1-го вида, [т краски/сутки];

x2 – суточный объём производства краски 2-го вида, [т краски/сутки].

В условии задачи сформулирована цель – добиться максимального дохода от реализации продукции. Т.е. критерием эффективности служит параметр суточного дохода, который должен стремиться к максимуму. Чтобы рассчитать величину суточного дохода от продажи красок обоих видов, крайне важно знать объёмы производства красок, ᴛ.ᴇ. x1 и x2 т краски в сутки, а также оптовые цены на краски 1-го и 2-го видов – согласно условию, соответственно 3 и 2 тыс. руб. за 1 т краски. Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, доход от продажи суточного объёма производства краски 1-го вида равен 3 x 1 тыс. руб. в сутки, а от продажи краски 2-го вида – 2x 2 тыс. руб. в сутки. По этой причине запишем целœевую функцию в виде суммы дохода от продажи красок 1-го и 2-го видов (при допущении независимости объёмов сбыта каждой из красок)

Целевая функция - понятие и виды. Классификация и особенности категории "Целевая функция" 2017, 2018.

- Основные понятия. Критерии эффективности. Целевая функция

ГЛАВА 16. ЭФФЕКТИВНОСТЬ МЕНЕДЖМЕНТА КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ 1. Чем вызвана необходимость внешнеэкономической деятельности предприятия? 2. Что благоприятствует внешнеэкономической деятельности предприятия? 3. Что является препятствием для... .

- В нашем примере целевая функция имеет вид

F(X) = 75X1 + 800/X1 + 78X2 + 1600/X2 . Функция выпукла, если F"(x)>0 для любого x. Проверим: ; ; ; . Значит, функция выпукла, поскольку "x>0. Следовательно, выбор оптимального числа поездов на двух участках оказывается задачей выпуклого программирования, которая может быть решена... .

- Целевая функция потребления и моделирование поведения потребителей

В условиях рыночной системы управления производственной и сбытовой деятельностью предприятий и фирм в основе принятия хозяйственных решений лежит рыночная информация, а обоснованность решений проверяется рынком в ходе реализации товаров и услуг. При таком подходе...

Определение . Любое решение системы ограничений называется допустимым решением ЗЛП.
Определение . Допустимое решение, в котором целевая функция достигает максимального или минимального значения, называется оптимальным решением.

В силу этих определений задача ЛП может быть сформулирована следующим образом: среди всех точек выпуклой области, являющейся решением системы ограничений, выбрать такую, координаты которой минимизируют (максимизируют) линейную функцию F = с 1 x + с 2 y .
Заметим, что переменные x , y в ЗЛП принимают, как правило, неотрицательные значения (x ≥ 0, y ≥ 0), поэтому область расположена в I четверти координатной плоскости.

Рассмотрим линейную функцию F = с 1 x + с 2 y и зафиксируем какое-нибудь ее значение F . Пусть, к примеру, F = 0, т.е. с 1 x + с 2 y = 0. Графиком этого уравнения будет прямая, проходящая через начало координат (0;0) (рис.).
Рисунок
При изменении этого фиксированного значения F = d , прямая с 1 x + с 2 y = d будет смещаться параллельно и «зачертит» всю плоскость. Пусть D – многоугольник – область решения системы ограничений. При изменении d прямая с 1 x + с 2 y = d , при некотором значении d = d 1 достигнет многоугольника D , назовем эту точку А «точкой входа», и затем, пройдя многоугольник, при некотором значении d = d 2 будем иметь с ним последнюю общую точку В , назовем В «точкой выхода».
Очевидно, что своего наименьшего и наибольшего значения целевая функция F =с 1 x + с 2 y достигнет в точках «входа» А и «выхода» В .
Учитывая, что оптимальное значение на множестве допустимых решений целевая функция принимает в вершинах области D , можно предложить следующий план решения ЗЛП:

1. построить область решений системы ограничений;
2. построить прямую, соответствующую целевой функции, и параллельным переносом этой прямой найти точку «входа» или «выхода» (в зависимости от требования минимизировать или максимизировать целевую функцию);
3. определить координаты этой точки, вычислить в них значение целевой функции.

Заметим, что вектор (с 1 , с 2), перпендикулярный прямой, показывает направление роста целевой функции.

При графическом решении ЗЛП возможны два случая, которые требуют особого обсуждения.

Случай 1
Рисунок 6
При перемещении прямой с 1 x + с 2 y = d «вход» или «выход» (как на рисунке) произойдет по стороне многоугольника. Это случится, если в многоугольнике есть стороны, параллельные прямой с 1 х + с 2 у = d .
В этом случае точек «выхода» (« входа») бесчисленное множество, а именно – любая точка отрезка АВ . Это означает, что целевая функция принимает максимальное(минимальное) значение не в одной точке, а во всех точках, лежащих на соответствующей стороне многоугольника D .

Случай 2
Рассмотрим случай, когда область допустимых значений неограниченна.
В случае неограниченной области целевая функция может быть задана таким образом, что соответствующая ей прямая не имеет точки «выхода» (или «входа»). Тогда максимальное значение функции (минимальное) не достигается никогда – говорят, что функция не ограничена.
Рисунок
Необходимо найти максимальное значение целевой функции F = 4x + 6y → max , при системе ограничений
Построим область допустимых решений, т.е. решим графически систему неравенств. Для этого построим каждую прямую и определим полуплоскости, заданные неравенствами.
x + y = 18

x	12	9
y	6	9

0,5x + y = 12

x	12	18
y	6	3

x = 12 – параллельна оси OY ;
y = 9 – параллельна оси OX ;
x = 0 – ось OY ;
y = 0 – ось OX ;
x ≥ 0 – полуплоскость правее оси OY ;
y ≥ 0 – полуплоскость выше оси OX ;
y ≤ 9 – полуплоскость ниже y = 9;
x ≤ 12 – полуплоскость левее x = 12;
0,5x + y ≤ 12 – полуплоскость ниже прямой 0,5x + y = 12;
x + y ≤ 18 – полуплоскость ниже прямой x + y = 18.
Рисунок
Пересечением всех этих полуплоскостей является очевидно, пятиугольник ОАВСД , с вершинами в точках О (0; 0), А (0; 9), В (6; 9), С (12; 6), Д (12; 0). Этот пятиугольник и образует область допустимых решений задачи.

Рассмотрим целевую функцию задачи F = 4x + 6y → max.

x	3	0
y	–2	0

Построим прямую, отвечающую значению функции F = 0: 4x + 6y = 0. Будем двигать эту прямую параллельным образом. Из всего семейства прямых 4x + 6y = const последней вершиной, через которую пройдет прямая при выходе за границу многоугольника, будет вершина С (12; 6). Именно в ней F = 4x + 6y достигнет своего максимального значения.
Значит, при x = 12, y = 6 функция F достигает своего максимального значения F = 4 ∙ 12 + 6 ∙ 6 = 84, равного 84. Точка с координатами (12; 6) удовлетворяет всем неравенствам системы ограничений, и в ней значение целевой функции оптимально F * = 84 (оптимальное значение будем обозначать «*»).
Задача решена. Итак, необходимо выпустить 12 изделий I вида и 6 изделий II вида, при этом прибыль составит 84 тыс. руб.

Графический метод применяется для решения задач, которые имели в системе ограничений только две переменные. Этот метод может применяться и для систем неравенств, имеющих три переменных. Геометрически ситуация будет иная, роль прямых будут играть плоскости в трехмерном пространстве, а решением неравенства от трех переменных будет являться полупространство, находящееся по одну сторону от плоскости. Роль областей будут играть многогранники, являющиеся пересечением полупространств.