Глубина квантования. Квантование сигналов, его назначение и виды

В данном разделе мы будем рассматривать источники непрерывных сообщений, которые в каждый момент времени могут случайным образом принять одно из бесконечного множества возможных состояний. Под непрерывным сообщением будем понимать некоторую непрерывную случайную величину, однозначно соответствующую состоянию источника. Возможны два подхода к организации передачи непрерывных сообщений по каналам связи:

1) преобразование непрерывных сообщений в дискретные и передача их по дискретным каналам;

2) передача по непрерывным каналам.

В данном разделе будут рассмотрены проблемы, возникающие при реализации каждого из них. Очевидно, что в первом случае неизученными остаются лишь вопросы, связанные с преобразованием непрерывных сообщений в дискретные. Остановимся на них более подробно.

Рассмотрим вначале непрерывное сообщение, представляющее собой процесс с дискретным временем, т.е. совокупность отсчетов непрерывной случайной величины Х. Одна из возможных реализаций такого процесса представлена на рисунке 3.1. Истинные значения сигнала в каждый момент времени показаны точками. Предположим, что все возможные (или по крайней мере наиболее вероятные) значения отсчетов процесса сосредоточены в диапазоне от x min до x max . Разобьем весь этот диапазон на конечное число (3.1.а) интервалови границы этих интервалов х к-1 , х к, х к+1 и т.д. будем считать разрешенными значениями уровней отсчетов процесса. При этом число разрешенных уровней N y =N-1. (3.1.б) Процедура округления истинного значения отсчета до значения ближайшего разрешенного уровня называется квантованием или дискретизацией по значению (уровню) (округленные значения сигнала на рисунке показаны кружочками). Очевидно, что после осуществления операции квантования непрерывная случайная величина Х превращается в дискретную, т.е. имеющую конечное число возможных значений, а непрерывное сообщение - в последовательность элементарных дискретных сообщений источника с объемом алфавита N у. Из определения операции квантования следует, что ей присуща неизбежная потеря информации, обусловленная наличием погрешности квантования . Анализ этой погрешности проведем далее, здесь же отметим, что ее значение (а, следовательно, и количество теряемой из-за нее информации) является контролируемым и может быть сделано необходимо малым путем выбора достаточного количества N у разрешенных уровней шкалы квантования (вследствие соответствующего уменьшения шага квантования ).

Таким образом, непрерывные сообщения, описываемые процессом с дискретным временем, с помощью квантования отсчетов процесса с контролируемой точностью могут быть преобразованы в дискретные. Рассмотрим теперь другой тип непрерывных сообщений, описываемый процессами с непрерывным временем. Реализация такого процесса x(t) показана на рисунке 3.2. Очевидно, что если осуществить его дискретизацию , т.е. замену всей совокупности значений процесса отдельными его мгновенными значениями, выбранными в определенные "разрешенные" моменты времени , то он превращается в уже рассмотренный процесс с дискретным временем X  (t). На первый взгляд дискретизация приводит к необратимым существенным потерям информации, обусловленным <отбрасыванием> большей части мгновенных значений процесса. Однако, как будет видно из дальнейших рассуждений, дело обстоит не совсем так (почти совсем ни так). Ввиду особой важности процедуры дискретизации для процессов передачи и преобразования непрерывных сообщений рассмотрим ее более подробно.

1. дискретизация по времени Т=fкв=1/T

   квантование по уровням. количество уровней 2 N -1

Вопрос выбора частоты квантования связан с процессом представления сигнала. Выбор fкв осуществляется по теореме Котельникова.

Теорема Котельникова: Непрерывная функция f(t) спектр которой отличен от нуля H(-F,F) полностью определяется своими значениями, отсчитанными в дискретных точках через интервал Т равный 1/2F(Т=1/2F) fкв=2F

f(t)=(f(KТ))*(sin2ПF(t-KТ))/2ПF(t-KТ)

где 2ПF(t-KТ)- функция отсчетов

Решение реальных задач связано с сигналами одновременно ограниченными и по частоте и по времени. Теоретически эти условия являются несовместимыми. Практически эти определения определяют таким образом, чтобы основная часть энергии сигнала была заключена в пределах длительности этого сигнала и выбранной ширины его спектра.

При таком подходе для сигнала длительности Т и сигналов fсреза число независимых отсчетов необходимых для полного задания сигнала равно N=2fc*T. В этом случае сигнал представляется следующим образом

f(t)=(f(KТ))*(sin2Пfc (t-KТ))/2Пfc (t-KТ)

Шаг квантования по уровню N=E{log 2 100/ k }

Квантование (англ. quantization) - в информатике разбиение диапазона значений непрерывной или дискретной величины на конечное число интервалов. Существует также векторное квантование - разбиение пространства возможных значений векторной величины на конечное число областей. Простейшим видом квантования является деление целочисленного значения на натуральное число, называемое коэффициентом квантования.

Проще говоря, квантование – это округление дискретных значений сигнала до ближайших целых чисел из набора фиксированных уровней, на которые разбивается весь диапазон изменения сигнала, число этих уровней конечно и они называются уровнями квантования.

Не следует путать квантование с дискретизацией (и, соответственно, шаг квантования с частотой дискретизации). При дискретизации изменяющаяся во времени величина (сигнал) замеряется с заданной частотой (частотой дискретизации), таким образом, дискретизация разбивает сигнал по временной составляющей. Квантование же приводит сигнал к заданным значениям, то есть, разбивает сигнал по уровню. Сигнал, к которому применены дискретизация и квантование, называется цифровым.

Квантование часто используется при обработке сигналов, в том числе при сжатии звука и изображений.

При оцифровке сигнала уровень квантования называют также глубиной дискретизации или битностью. Глубина дискретизации измеряется в битах и обозначает количество бит, выражающих амплитуду сигнала. Чем больше глубина дискретизации, тем точнее цифровой сигнал соответствует аналоговому. В случае равномерного квантования глубину дискретизации называют также динамическим диапазоном и измеряют в децибелах (1 бит ≈ 6 дБ).

Шаг квантования определяется разрядностью АЦП.

Виды квантования.

Равномерное (линейное) квантование - разбиение диапазона значений на отрезки равной длины. Его можно представлять как деление исходного значения на постоянную величину (шаг квантования) и взятие целой части от частного, характеристика квантования в этом случае носит линейный характер (рис. 1 а)):

Рисунок 1. Характеристики квантования: а) линейная; б) нелинейная

Нелинейное квантование – квантование с переменным шагом. Оно позволяет обеспечить достаточно большой динамический диапазон при снижении разрядности АЦП. При этом характеристика квантования имеет вид кривой, близкой к логарифмической. При квантовании малых сигналов шаг квантования оказывается малым, а точность передачи сигнала – достаточно высокой. При больших значениях сигнала шаг квантования увеличивается, что приводит к возрастанию ошибки. Но так как сигнал в этом случае имеет достаточно большой вес, шум квантования может быть эффективно замаскирован.

Преобразователи с нелинейной характеристикой квантования обеспечивают уменьшение разрядности и, как следствие, уменьшение скорости цифрового потока, но они могут являться источником нежелательных искажений. Слабые сигналы в присутствии сигнала с большой амплитудой из-за большой ошибки квантования могут подавляться на верхнем поддиапазоне.

Квантование по уровню - представление величины отсчётов цифровыми сигналами. Для квантования в двоичном коде диапазон напряжения сигнала от Umin до Umax делится на 2n интервалов. Величина получившегося интервала (шага квантования):

Каждому интервалу присваивается n - разрядный двоичный код - номер интервала, записанный двоичным числом. Каждому отсчёту сигнала присваивается код того интервала, в который попадает значение напряжения этого отсчёта. Таким образом, аналоговый сигнал представляется последовательностью двоичных чисел, соответствующих величине сигнала в определённые моменты времени, то есть цифровым сигналом. При этом каждое двоичное число представляется последовательностью импульсов высокого (1) и низкого (0) уровня.

Число уровней квантования n и число двоичных разрядов АЦП определяют динамический диапазон преобразования. Динамический диапазон (в дБ) от числа разрядов АЦП или ЦАП определяется выражением:

где n – число двоичных разрядов.

Квантованием по уровню называют дискретизацию множества значений непрерывного сигнала по уровню, то есть по амплитуде параметра. Идея квантования по уровню заключается в следующем. Весь диапазон возможных изменений сигнала (функции) разбивается на N различимых величин – уровней квантования . В результате квантования сигнала каждое из его значений данного интервала округляется до некоторого уровня. Порогами квантования называются величины, при сравнении с которыми исходного непрерывного сигнала в процессе квантования определяется его принадлежность к уровню квантования. Величина, представляющая собой разность между двумя соседними уровнями, называется шагом квантования . Замена исходных значений функции соответствующими дискретными значениями – уровнями квантования – вносит ошибку квантования, называемую шумом квантования .

Существует три способа квантования:

1-й способ квантования - путем соотнесения исходного значения сигнала с ближайшим значением уровня. Информационная система содержит устройство квантования, которое выполняет операцию квантования непрерывного сигнала по уровню. В процессе такой операции отдельное значение исходного непрерывного сигнала соотносится с одним из возможных значений уровней; если исходное значение оказывается в пределах двух соседних порогов квантования , то это значение заменяется уровнем квантования, заключенным между данными порогами. В этом случае квантование происходит по методу соотнесения с ближайшим значением уровня . Этот способ квантования аналогичен округлению чисел до ближайшего целого. При таком способе вместо исходного непрерывного сигнала мы получим квантованный сигнал, представленный временной диаграммой на рис.1.5.

f(t) - исходный непрерывный сигнал;

f * (t) - квантованный сигнал;

f i , f i+1 ,... - значения соседних порогов квантования (пунктир);

Df i - шаг квантования, Df i = f i+1 - f i ;

- значения уровней квантования (сплошные линии).

Таким образом, очевидно, что в процессе квантования неизбежно возникает принципиальная или методическая ошибка квантования - шум квантования ; ее величина для момента времени t определяется в виде

Для этого способа ошибка квантования не превышает половины шага квантования

2-й способ квантования - путем соотнесения исходного значения с ближайшим ²снизу² значением уровня. В этом случае i -е пороговое значение совпадает со значением (i +1)-го уровня. Данный способ аналогичен округлению числа до ближайшего целого снизу. Соответствующая временная диаграмма представлена на рис.1.6.

Ошибка квантования всегда положительна (Df(t) > 0) и не превышает величинушага квантования ( ¦).

3-й способ квантования - путем соотнесения исходного значения с ближайшим ²сверху² значением уровня. Пороги и уровни совпадают по номерам и значениям. Шум квантования всегда отрицательный (Df(t)< 0) и не превышает величину шага квантования ( ¦ i). Этот способ аналогичен округлению числа до ближайшего целого сверху.

Соответствующая временная диаграмма представлена на рис.1.7.

Равномерным квантованием называется такое квантование, при котором шаг квантования есть постоянная величина. В большинстве случаев применяется равномерное квантование.

Шаг квантования выбирается исходя из необходимой точности передачи сигнала. Если же при этом существуют внешние помехи, то необходимо, чтобы амплитуда помех не превышала половины шага квантования, тогда возможно будет восстановить заданный уровень, так как воздействие помехи не выведет значение сообщения за зону, соответствующую данному уровню квантования. Кроме уровней выделяют пороги квантования. При равномерном квантовании расстояние между двумя соседними порогами равняется шагу квантования.

Из трех способов квантования первый дает минимальную среднюю ошибку квантования при одном и том же шаге квантования, поэтому на практике часто используется именно этот способ.

Для более точного отображения исходного сигнала необходимо увеличивать число уровней, т. е. уменьшать шаг квантования (рис. 1.8-1.9).

Однако бесконечное уменьшение шага квантования физически невозможно, а формально не имеет смысла, так как мы опять возвращаемся к непрерывному сигналу. Уменьшать шаг до бесконечности невозможно также из-за влияния помех. Сообщения по мере передачи по каналам связи или по мере хранения в памяти искажаются под воздействием помех, поэтому на приемной стороне или при считывании сигнала должен находиться еще один квантователь. Этот квантователь, как и исходный квантователь сигналов, для опознавания сигнала должен соотносить реальный сигнал с возможными значениями уровней. Для некоторых значений это соответствие может быть неправильным и на приемной стороне могут быть ложные восприятия соседних уровней. Таким образом, исходный сигнал, поступающий от источника непрерывных сигналов, в системе квантования по уровню искажается из-за самого квантования и, кроме того, под воздействием помех, как показано на рис.1.10.

Временные диаграммы:

Увеличение шага квантования в системе квантования, при неизменном уровне помех, приводит к подавлению помех, поэтому самый простой способ защиты квантованного сигнала от помех - увеличение шага квантования. Однако при этом мы увеличиваем шум квантования, т.е. вносим погрешность за счет грубого квантования.

Различают следующие две модели помех (два типа помех):

a) аддитивные помехи формируют смесь сигнала с помехой путем алгебраического суммирования их амплитуд:

fсп(t)= f*(t) ± fп(t) , где f n (t) - амплитуда помехи;

б) мультипликативные помехи формируют смесь сигнала с помехой путем перемножения их значений:

fсп(t)=k · f*(t) ·fп(t) , где k - масштабный коэффициент.

(При имитации работы системы квантования на лабораторных работах моделируются аддитивные помехи.)

Кроме равномерного квантования, в некоторых случаях используют неравномерное квантование, при котором шаг квантования ∆f i - переменная величина в зависимости от номера уровня: ∆f i = f i+1 - f i . В некоторых диапазонах изменения сигнала, для уточнения его значений, шаг квантования делают меньше.

Такая система применяется тогда, когда возникает необходимость отображать значения сигнала в некоторых диапазонах точнее, чем за их пределами, как это показано на рис.1.11.

n max = (f max - f min) / ∆f , где f max , f min – максимальное и минимальное возможные значения сигнала в данной информационной системе.

Если известен характер изменения помех, то минимальную величину шага квантования можно определить численно. При моделировании часто имитируется случайная помеха с нормальным (гауссовым) распределением, закон которого характеризуется двумя параметрами m и б , где m - математическое ожидание (величина постоянной составляющей помехи); б - среднеквадратическое отклонение - СКО (интенсивность случайной составляющей помехи).

Изображенная на рис. 1.12. гауссова помеха имеет постоянную составляющую со знаком ²+². Обычно в системах передачи данных помеха бывает именно нормально распределенной с нулевым математическим ожиданием. Помеха может быть рассеяна более или менее сильно, но площадь под кривой распределения должна быть одинаковой и соответствовать вероятности достоверного события - единице. Степень рассеивания случайной величины (помехи) определяется значением среднеквадратического отклонения б .

При наложении такой помехи на квантованный сигнал последний становится случайной величиной f сп (t) с математическим ожиданием, равным его уровню

(m = ), и среднеквадратическим отклонением помехи (б = б n ), как показано на рис.1.13.

Рис.1.13. Плотность распределения смеси f сп квантованного сигнала с гауссовой помехой: _ __ __

f i , f i-1 , f i+1 - данный, нижний и верхний соседние уровни квантования;

f i , f i+1 - соседние пороги квантования

Площади под кривой распределения за пределами пороговых значений f i и f i+1 данного уровня составляют вероятность искажения квантованного сигнала (ВИКС). Предположим, что допустимая ВИКС = 0,01 и нам нужно определить шаг квантования. Если известен закон распределения или характер помехи и его параметры, то можно решить обратную задачу - определить значения порогов квантования. Таким образом, шаг квантования подбирается с учетом помех двумя разными способами:

Экспериментально (или методом подбора);

Численно, аналитически, если известен характер помех.

Итак, система квантования должна содержать один квантователь на выходе источника непрерывных сигналов, а другой - на входе приемника сигналов; между ними располагается канал связи, где на передаваемый сигнал воздействуют помехи.

(В составе лабораторного программного пакета функцию источника непрерывного сигнала и функцию квантователя имитируют специальные подпрограммы. Подпрограмма источника формирует сразу весь массив значений, а подпрограмма-квантователь обрабатывает сигнал поэлементно. События в канале связи имитируются не полностью - квантованный сигнал деформируется только помехами. Помехи аддитивные, случайные и нормально распределенные).

Эффективность работы системы квантования определяется степенью искажения формы исходного сигнала. Если передается не непрерывный сигнал, а сразу квантованный или дискретный, то эффективность работы системы может определяться также частотой правильной передачи отсчетных сообщений.

Целью квантования по уровню является замена бесконечного множества непрерывных сообщений (значений параметра) конечным множеством дискретных значений. При этом становится возможным кодирование конечного множества дискретных сообщений, которое осуществляется кодовыми словами на основе алфавита меньшего объема. Значительным преимуществом системы квантования по уровню является возможность применения ее на протяженных линиях связи с промежуточными приемными пунктами. В этом случае применение такой системы позволяет избежать накопления помехи в процессе передачи сигнала по участкам, так как на каждом промежуточном пункте производится приведение сигнала к первоначальному квантованному уровню. В результате этого единственная помеха, которая остается в сигнале к моменту его прихода на конечный пункт - это шум квантования, который принципиально не устраним. Квантование сообщений позволяет обеспечить их длительное хранение без искажений в аналоговых запоминающих устройствах путем периодического считывания, квантования и записи данного сообщения на прежнее место с помощью одного и того же блока квантования.

Контрольные вопросы к пп. 1.1. и 1.2

1. Цель и суть любой дискретизации.

2. Представление сигналов функциями; понятие квантованного по уровню сигнала.

3. Цель и суть квантования сообщений по уровню; функции АЦП.

4. Определения неравномерного и равномерного квантования, уровней, порогов, шага и шума квантования.

5. Три способа квантования и соответствующая им величина шума квантования.

6. Структуры систем передачи сообщений:

· системы, передающей непрерывный сигнал квантованными сообщениями;

· системы, передающей квантованные сообщения;

· системы, передающей дискретные сообщения в форме квантованных по уровню сигналов.

7. От чего зависит и как оценивается эффективность работы этих систем?

8. Типы (модели) помех.

9. Влияние помех на квантованный по уровню сигнал.

10. Какие факторы определяют величину шага квантования для каждой системы; каково влияние этих факторов?

11. Чем ограничено минимальное значение ошибки восстановления сигнала?

Дискретизация – переход от непрерывного сигнала к близкому (в определенном смысле) дискретному сигналу, описываемому разрывной функцией времени. Пример дискретного сигнала – последовательность коротких импульсов с изменяющейся амплитудой (последняя выступает в данном случае в качестве информативного параметра).

Обработка и передача дискретной информации имеет ряд преимуществ по сравнению с информацией, заданной в непрерывном виде. Дискретные сигналы в меньшей степени подвержены искажениям в процессе передачи и хранения, они легко преобразуются в двоичный цифровой код и обрабатываются с помощью цифровых вычислительных устройств.

Процесс дискретизации состоит обычно из двух этапов: дискретизации по времени и дискретизации (квантования) по уровню.

Дискретизация аналогового сигнала по времени – процесс формирования выборки аналогового сигнала в моменты времени, кратные периоду дискретизирующей последовательности ∆t.

Дискретизирующая последовательность – периодическая последовательность отсчетов времени, задающая сетку дискретного времени.

Период дискретизации ∆t – интервал времени между двумя последовательными отсчетами аналогового сигнала (шаг дискретизации по времени).

При выборе частоты дискретизации по времени можно воспользоваться теоремой В.А. Котельникова.

Теорема отсчетов (теорема Котельникова) – теорема, определяющая выбор периода дискретизации ∆t аналогового сигнала в соответствии с его спектральной характеристикой.

Согласно теореме, всякий непрерывный сигнал, имеющий ограниченный частотный спектр, полностью определяется своими дискретными значениями в моменты отсчета, отстоящие друг от друга на интервалы времени ∆t = l/(2F max), где F max – максимальная частота в спектре сигнала. Иначе, дискретизация по времени не связана с потерей информации, если частота дискретизации f дискр = 1/∆t в два раза выше указанной верхней частоты сигнала F max.

Согласно теореме Котельникова, нет необходимости передавать бесконечное множество всех значений непрерывного сигнала x (t ), достаточно передавать лишь те его значения (рис. 3.52), которые отстоят друг от друга на расстоянии ∆t = l/(2Fmax ). Для восстановления сигнала x (t ) на вход идеального фильтра низких частот, имеющего полосу пропускания частот от 0 до F msx, необходимо подать последовательность узких импульсов с амплитудой, соответствующей дискретным отсчетам сигнала x (t i) в моменты времени t i = i ∆t .

Рис. 3.52. Дискретные отсчеты сигнала

Поскольку теорема отсчетов (теорема Котельникова) сформулирована для сигнала с ограниченным спектром, а реальные сигналы имеют неограниченную спектральную плотность, то при расчетах ∆t =1/(2F max) используют приближенное значение F max (например, активную ширину спектра, определенную по амплитудному критерию, по критерию 90%-ного содержания энергии или средней мощности сигнала). Кроме того, и идеальный фильтр низких частот, необходимый для восстановления сигнала в соответствии с теоремой, является физически нереализуемым, так как предъявляемые к нему требования (идеально прямоугольная форма амплитудно-частотной характеристики, отсутствие фазового сдвига в рассматриваемой полосе частот от 0 до F max) оказываются противоречивыми и могут выполняться лишь с определенной погрешностью. Учитывая сказанное, частоту дискретизации по времени обычно принимают в 1,5–2,5 раза больше значения, рассчитанного по теореме Котельникова.

Существуют и другие способы выбора частоты дискретизации сигнала (с учетом времени корреляции передаваемого сообщения, значения наибольшего или среднеквадратичного отклонения процесса). Так, в соответствии с критерием Н.А. Железнова, который выполняется для случайных сигналов, имеющих конечную длительность Т с и неограниченный частотный спектр, рекомендуется принимать шаг дискретизации ∆t , равный максимальному интервалу корреляции сигнала φ0. Предполагается, что параметр φ0, характеризует такой промежуток времени, в пределах которого отдельные значения случайного процесса можно считать статистически зависимыми (коррелированными), причем φ0Т с. Таким образом, исходный непрерывный сигнал заменяется совокупностью N =Т с/φ0 некоррелированных отсчетов (импульсов), следующих с частотой f дискр=1/∆t = φ0. При этом восстановление сигнала x (t ) осуществляется с помощью линейного прогнозирующего фильтра со среднеквадратической ошибкой, сколь угодно мало отличающейся от нуля в промежутке времени, равном интервалу корреляции φ0.

Более полно учитывая свойства реальных сигналов (конечная длительность, неограниченность спектра), критерий Железнова тем не менее исходит из допущения о равенстве нулю корреляционной функции сигнала К х(φ) вне интервала [-φ0; φ0], что на практике выполняется с определенной погрешностью.

В тех случаях, когда имеется более подробная информация о законе изменения сигнала, выбор частоты дискретизации можно осуществлять исходя из допустимой погрешности аппроксимации функции x (t ) на каждом из интервалов дискретизации. На рис. 3.53 дан пример кусочно-линейной аппроксимации, когда соседние отсчеты функции x (t ), взятые в дискретные моменты времени t i и t i+1, соединяются отрезками прямых.

Рис. 3.53. Кусочно-линейная аппроксимация

Рассмотренные способы равномерной дискретизации (при ∆t =const) иногда могут приводить к получению избыточных отсчетов, не оказывающих существенного влияния на процесс восстановления исходного сообщения. Например, если функция x (t ) мало изменяется на некотором, достаточно протяженном интервале времени Т о, то соответствующие дискретные отсчеты сигнала практически не отличаются друг от друга и, следовательно, нет необходимости использовать все указанные отсчеты для хранения или передачи информации по линии связи. Сокращение избыточной информации возможно на основе способов адаптивной (неравномерной) дискретизации, обеспечивающих выбор интервала ∆t между соседними отсчетами с учетом фактического изменения характеристик сигнала (в частности скорости его изменения).

Дискретизация сигнала по уровню – процесс отображения бесконечного множества значений аналогового сигнала на некоторое конечное множество (определяемое числом уровней квантования).

Отличительной особенностью дискретизации по уровню является замена непрерывной шкалы уровней сигнала x (t ) дискретной шкалой х i (i = 1, 2, ..., m ), в которой различные значения сигнала отличаются между собой не менее чем на некоторое фиксированное (или выбираемое в процессе квантования) значение ∆t , называемое шагом квантования.

Шаг квантования – величина, равная интервалу между двумя соседними уровнями кванто-вания (определена только для случая равномерного квантования).

Необходимость квантования вызвана тем, что цифровые вычислительные устройства могут оперировать только с числами, имеющими конечное число разрядов. Таким образом, квантование представляет собой округление передаваемых значений с заданной точностью. При равномерном квантовании (∆x =const) число разрешенных дискретных уровней х составляет

m = (x max – x min)/∆x ,

где x max и x min – соответственно верхняя и нижняя границы диапазона изменения сигнала.

Ошибка квантования – величина, определяемая как ξ(х ) = х – х дi, где х – кодируемая дискретная величина, х дi– дискретизированный сигнал.

Шум квантования – случайная функция времени, определяемая как зависимость ошибки квантования от времени.

Чем меньше значение ∆х , тем меньше получаемая ошибка. Если в результате квантования любое из значений сигнала x (t ), попавшее в интервал (х дi - ∆х /2; х дi + х дi х /2), округляется до х д, то возникающая при этом ошибка ξ(х ) не превышает половины шага квантования, т.е. mах|ξ(х )|=0,5∆х . На практике шаг квантования ∆х выбирают исходя из уровня помех, в той или иной форме присутствующих при измерении, передаче и обработке реальных сигналов.

Если функция x (t ) заранее неизвестна, а шаг квантования ∆х достаточно мал по сравнению с диапазоном изменения сигнала (х max – х min), то принято считать ошибку квантования ξ(х ) случайной величиной, подчиняющейся равномерному закону распределения. Тогда, как показано на рис. 3.54, плотность вероятности f 1(ξ) для случайной величины ξ, принимает значение 1/(∆х ) внутри интервала (-∆х /2; +∆х /2) и равна нулю вне этого интервала.

Рис. 3.54. Равномерный закон распределения ошибки квантования

При ∆x =const относительная погрешность квантования ∆х =ξ(х )/х существенно зависит от текущего значения сигнала x (t ). В связи с этим при необходимости обработки и передачи сигналов, изменяющихся в широком диапазоне, нередко используется неравномерное (нелинейное) квантование, когда шаг ∆х принимается малым для сигналов низкого уровня и увеличивается с ростом соответствующих значений сигнала (например ∆х выбирают пропорционально логарифму значения |x (t )|). Выбор шага ∆х i =х дi – х дi-1 осуществляется еще и с учетом плотности распределения случайного сигнала (для более вероятных значений сигнала шаг квантования выбирают меньшим, для менее вероятных – большим). Таким образом удается обеспечить высокую точность преобразования при ограниченном (не слишком большом) числе разрешенных дискретных уровней сигнала x (t ).

Процесс преобразования дискретного сигнала в цифровой называют кодированием информации, а множество различных кодовых комбинаций, получаемых при данном правиле кодирования, – кодом. Важной характеристикой кода является основание (или значность) кода, т.е. число возможных значений, которые могут принимать элементы кодовой комбинации. Пусть требуется передать сигнал, уровень которого изменяется от 0 до 10 В. Если шаг квантования данных составляет 10 мВ, то каждый отсчет сигнала можно рассматривать как одно из 1000 возможных сообщений. Для передачи этой информации можно предложить различные способы:

– каждому сообщению поставить в соответствие определенный уровень напряжения, при этом основание кода m = 1000, а длина кодовой комбинации (слова) принимает минимальное значение n =1;

– можно воспользоваться двоичным (бинарным) представлением амплитуды сигнала с m = 2, но тогда потребуется комбинация длины n = 10 (210=1024, так что некоторые комбинации здесь не использованы).

Как говорилось в гл. 1, квантование - это дискретизация сигналов по уровню. Необходимость такой дискретизации вызвана тем, что для осуществления обработки сигнала цифровым фильтром каждое его значение должно быть описано числом, количество разрядов которого конечно. Иными словами, квантование равноценно округлению значений сигнала с точностью до еднницы последнего разряда.

Рис. 2.10. Характеристика квантования

Рис. 2.11. Квантование с логарифмической характеристикой

Квантование сигналов можно описать графически с помощью характеристики квантования (рис. 2.10), где по оси абсцисс отложены значения непрерывного сигнала, а по оси ординат - значения квантованного сигнала. Величину шага квантования А выбирают, исходя из необходимой точности передачи сигнала. Квантование с постоянным шагом называют равномерным. Равномерное квантование сигналов является наиболее простым и распространенным.

Однако равномерное квантование в отдельных случаях оказывается неудобным. Например, если передаваемый сигнал может принимать очень большие и очень маленькие значения, то при постоянной величине интервала квантования относительная точность передачи малых значений сигнала оказывается значительно хуже, чем больших значений. В этих случаях иногда применяют нелинейное,

например логарифмическое квантование (рис. 2.11), когда шаг квантования пропорционален логарифму входного напряжения. При квантовании малых значений сигнала шаг квантования оказывается малым, а точность передачи сигнала - достаточно высокой. При больших значениях входного сигнала интервал квантования увеличивается. Таким образом, использование логарифмического квантования позволяет получить высокую точность передачи сигнала при не слишком большом числе квантованных уровней сигнала.