а) Последовательность прямоугольных импульсов .

Рис 2. Последовательность прямоугольных импульсов.

Данный сигнал является четной функцией и для его представления удобно использовать синусно-косинусную форму ряда Фурье:

. (17)

Длительность импульсов и период их следования входят в полученную формулу в виде отношения, которое называется скважностью последовательности импульсов :.

. (18)

Значение постоянного слагаемого ряда с учетом соответствует:

.

Представление последовательности прямоугольных импульсов в виде ряда Фурье имеет вид:

. (19)

График функции носит лепестковый характер. Горизонтальную ось градуируют в номерах гармоник и в частотах.

Рис 3. Представление последовательности прямоугольных импульсов

в виде ряда Фурье.

Ширина лепестков , измеренная в количестве гармоник, равна скважности (при , имеем , если ). Отсюда следует важное свойство спектра последовательности прямоугольных импульсов – в нем отсутствуют гармоники с номерами, кратными скважности . Расстояние по частоте между соседними гармониками равно частоте следования импульсов . Ширина лепестков, измеренная в единицах частоты, равна , т.е. обратно пропорциональна длительности сигнала. Можно сделать вывод: чем короче импульс, тем шире спектр .

б) Пилообразный сигнал.

Рис 4. Пилообразный сигнал.

Пилообразный сигнал в пределах периода описывается линейной функцией

, . (20)

Данный сигнал является нечетной функцией, поэтому его ряд Фурье в синусно-косинусной форме содержит только синусные составляющие:

Ряд Фурье пилообразного сигнала имеет вид:

Для спектров прямоугольного и пилообразного сигналов характерно, что амплитуды гармоник с ростом их номеров убывают пропорционально .

в) Последовательность треугольных импульсов .

Ряд Фурье имеет вид:

Рис 5. Последовательность треугольных импульсов.

Как видим, в отличие от последовательности прямоугольных и пилообразных импульсов, для треугольного периодического сигнала амплитуды гармоник убывают пропорционально второй степени номеров гармоник. Это связано с тем, что скорость убывания спектра зависит от степени гладкости сигнала.

Лекция №3. Преобразование Фурье.

Свойства преобразования Фурье.

1.3 Сделать общие выводы.

Часть 2

Цель работы: углубление теоретических знаний, полученных в ходе изучения преобразования Фурье (Fourier Transform)

Необходимые теоретические сведения.

Изменяя период Т и длительность импульса как показано на рис. 7, можно изменять спектр сигнала. С увеличением периода гармоники сближаются, не изменяя форму огибающей.

Рис.7 – Изменение спектра

Смоделируем одиночный прямоугольный импульс, периодическую последовательность импульсов с периодом Т и 10Т .

t = 0:.0314:25; y= square(2*pi*t/10, pi*pi); z = rectpuls(2*pi*t1/10); subplot(4,2,1); plot(t,x) subplot(4,2,2); plot(t,y) subplot(4,2,3); plot(t1,z)

Проведем спектральный анализ полученных сигналов. Непериодические процессы - таковыми являются информационные сигналы , одиночные импульсы , хаотические колебания (шумы ) - обладают сплошным или непрерывным спектром. Интуитивно к такому выводу можно прийти, представляя одиночный импульс частью периодической последовательности, период которой неограниченно увеличивается. Действительно, при увеличении интервала между импульсами гармоники на спектральных диаграммах периодических последовательностей импульсов сближаются: чем реже следуют импульсы, тем меньше расстояние между соседними гармониками (оно равно 1/T ). Спектр одиночного импульса (предельный случай увеличения периода) становится непрерывным, и вводится он не рядами, а интегралами Фурье .

Преобразование Фурье (Fourier transform) является инструментом спектрально­го анализа непериодических сигналов.

В описанных ниже функциях реализован особый метод быстрого преобразования Фурье (БПФ) - Fast Fourier Transform (FFT ), позволяющий резко уменьшить число арифметических операций в ходе приведенных выше преобразований. Метод особенно эффективен, если число обрабатываемых элементов (отсчетов) составляет 2 n , где n - целое положительное число. В MatLab используются следующие функции:

fft(X ) - возвращает для вектора X дискретное преобразование Фурье, по возможности используя алгоритм быстрого преобразования Фурье. Если X - матрица, функция fft возвращает преобразование Фурье для каждого столбца матрицы;

fft(X.n) - возвращает n-точечное преобразование Фурье. Если длина вектора X меньше n, то недостающие элементы заполняются нулями. Если длина X больше п, то лишние элементы удаляются. Когда X - матрица, длина столбцов корректируется аналогично;

ft(X,[ Ldirn) и fft(X,n,dim) - применяют преобразование Фурье к одной из размерностей массива в зависимости от значения параметра dim .

Возможно одномерное обратное преобразование Фурье, реализуемое следующими функциями:

ifft(F) - возвращает результат дискретного обратного преобразования Фурье вектора F . Если F - матрица, то ifft возвращает обратное преобразование Фурье для каждого столбца этой матрицы;

ifft(F.n) - возвращает результат n-точечного дискретного обратного преобразования Фурье вектора F ;

ifft(F.,dim) иу = ifft(X,n,dim) - возвращают результат обратного дискретного преобразования Фурье массива F по строкам или по столбцам в зависимости от значения скаляра dim .

Для любого X результат последовательного выполнения прямого и обратного преобразований Фурье ifft(fft(x)) равен X с точностью до погрешности округления. Если X - массив действительных чисел, ifft(fft(x)) может иметь малые мнимые части.

Получим спектры смоделированных сигналов.

Вызовем программу SPTool (Signal Processing Tool) . Импортируем смоделированные сигналы и рассчитаем спектр сигнала. С этой целью выделяем сигнал в списке сигналов и нажмите кнопку Create , расположенную под списком спектров. В окне Spectrum Viewer в поле Parameters нужно указать метод спектрального анализа. Указываем метод ДПФ (используется быстрое преобразование Фурье БПФ (FFT)). Указав метод, следует щёлкнуть мышью по кнопке Apply . Будет выведен график спектральной плотности мощности. Имеется возможность выводить спектры в линейном или в логарифмическом масштабе (меню Options ).

Непрерывным (сплошным) является спектр хаотических (шумовых ) колебаний . В этом случае спектральная характеристика, как функция частоты, также представляет собой хаотический (случайный ) процесс , статистические параметры которого определяются спецификой конкретного случайного временного процесса. Сформируем сигнал, содержащий регулярные составляющие с частотами 50 Гц и 120 Гц и случайную аддитивную компоненту с нулевым средним.

ЗАДАНИЕ 2

Примеры разложения в ряд Фурье.

а) Последовательность прямоугольных импульсов .

Рис 2. Последовательность прямоугольных импульсов.

Данный сигнал является четной функцией и для его представления удобно использовать синусно-косинусную форму ряда Фурье:

. (17)

Длительность импульсов и период их следования входят в полученную формулу в виде отношения, ĸᴏᴛᴏᴩᴏᴇ принято называть скважностью последовательности импульсов :.

. (18)

Значение постоянного слагаемого ряда с учетом соответствует:

.

Представление последовательности прямоугольных импульсов в виде ряда Фурье имеет вид:

. (19)

График функции носит лепестковый характер.
Размещено на реф.рф
Горизонтальную ось градуируют в номерах гармоник и в частотах.

Рис 3. Представление последовательности прямоугольных импульсов

в виде ряда Фурье.

Ширина лепестков , измеренная в количестве гармоник, равна скважности (при , имеем , в случае если ). Отсюда следует важное свойство спектра последовательности прямоугольных импульсов – в нем отсутствуют гармоники с номерами, кратными скважности . Расстояние по частоте между сосœедними гармониками равно частоте следования импульсов . Ширина лепестков, измеренная в единицах частоты, равна , ᴛ.ᴇ. обратно пропорциональна длительности сигнала. Можно сделать вывод: чем короче импульс, тем шире спектр .

б) Пилообразный сигнал.

Рис 4. Пилообразный сигнал.

Пилообразный сигнал в пределах периода описывается линœейной функцией

, . (20)

Данный сигнал является нечетной функцией, в связи с этим его ряд Фурье в синусно-косинусной форме содержит только синусные составляющие:

Ряд Фурье пилообразного сигнала имеет вид:

Важно заметить, что для спектров прямоугольного и пилообразного сигналов характерно, что амплитуды гармоник с ростом их номеров убывают пропорционально .

в) Последовательность треугольных импульсов .

Ряд Фурье имеет вид:

Рис 5. Последовательность треугольных импульсов.

Как видим, в отличие от последовательности прямоугольных и пилообразных импульсов, для треугольного периодического сигнала амплитуды гармоник убывают пропорционально второй степени номеров гармоник. Это связано с тем, что скорость убывания спектра зависит от степени гладкости сигнала.

Лекция №3. Преобразование Фурье.

Свойства преобразования Фурье.

Примеры разложения в ряд Фурье. - понятие и виды. Классификация и особенности категории "Примеры разложения в ряд Фурье." 2017, 2018.

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 1

РАЗЛОЖЕНИЯ СИГНАЛОВ В РЯД ФУРЬЕ

Цель задания

Ознакомиться с примерами разложения сигналов в ряд Фурье и практически реализовать разложение различного вида сигналов в системе MatLab.

Постановка задачи

Осуществить разложения сигналов различного вида в ряд Фурье. Разложению подлежат следующие сигналы: последовательность прямоугольных импульсов, меандр, пилообразный сигнал и последовательность треугольных импульсов.

Для каждого варианта и каждого вида сигнала заданы параметры:

для последовательности прямоугольных импульсов – амплитуда, период повторения и длительность импульсов;

для меандра, пилообразного сигнала и последовательности треугольных импульсов – амплитуда и период повторения импульсов.

Для всех видов сигналов задано число ненулевых гармоник.

Cоставить программы в системеMatLabи построить графики.

Постановка задачи.

Код программ для разложения последовательности прямоугольных импульсов, меандр, пилообразного сигнала и последовательности треугольных импульсов.

Результаты выполнения программ – графики промежуточных стадий суммирования.

Методические указания

Ряд Фурье

Разложению в ряд Фурье могут подвергаться периодические сигналы. При этом они представляются в виде суммы гармонических функций либо комплексных экспонент с частотами, образующими арифметическую прогрессию.

Ряд Фурье может быть применен для представления не только периодических сигналов, но и сигналов конечной длительности. При этом оговаривается временной интервал, для которого строится ряд Фурье, а в остальные моменты времени сигнал считается равным нулю. Для расчета коэффициентов ряда такой подход фактически означает периодическое продолжение сигнала за границами рассматриваемого интервала.

Синусно-косинусная форма

В этом варианте ряд Фурье имеет следующий вид:

Здесь
– круговая частота, соответствующая периоду повторения сигнала, равному. Входящие в формулу кратные ей частоты
называются гармониками, гармоники нумеруются в соответствии с индексом ; частота
называется –й гармоникой сигнала. Коэффициенты ряда ирассчитываются по формулам:

,

.

Константа рассчитывается по общей формуле для. Само же это слагаемое представляет собой среднее значение сигнала на периоде:

.

Если
является четной функцией, то всебудут равны нулю и в формуле ряда Фурье будут присутствовать только косинусные слагаемые. Если
является нечетной функцией, равны нулю будут, наоборот, косинусные коэффициентыи в формуле останутся лишь синусные слагаемые.

ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ ИМПУЛЬСОВ

Последовательность прямоугольных импульсов с амплитудой , длительностьюи периодом повторения.

Рис. 1 Периодическая последовательность прямоугольных импульсов

Данный сигнал является четной функцией, поэтому для его представления удобнее использовать синусно-косинусную форму ряда Фурье – в ней будут присутствовать только косинусные слагаемые , равные

.

Отношение периода к длительности импульсов называют скважностью последовательности импульсов и обозначают буквой :
.

Представление последовательности прямоугольных импульсов в виде ряда Фурье:

.

Амплитуды гармонических слагаемых ряда зависят от номера гармоники.

МЕАНДР

Частным случаем предыдущего сигнала является меандр – последовательность прямоугольных импульсов со скважностью, равной двум, когда длительности импульсов и промежутков между ними становятся равными (рис.2).

Рис. 2 Меандр

При
, получим

Здесь m – произвольное целое число.

При разложении в ряд Фурье четные составляющие будут отсутствовать.

ПИЛООБРАЗНЫЙ СИГНАЛ

В пределах периода он описывается линейной функцией:

Рис. 3. Пилообразный сигнал

Данный сигнал является нечетной функцией, поэтому его ряд Фурье в синусно-косинусной форме будет содержать только синусные слагаемые:

.

Сам ряд Фурье для пилообразного сигнала выглядит следующим образом:

ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ ТРЕУГОЛЬНЫХ ИМПУЛЬСОВ

Рис.4. Последовательность треугольных импульсов

Сигнал является четной функцией, поэтому будут присутствовать косинусные составляющие.

Вычислим коэффициенты ряда Фурье:

Сам ряд Фурье имеет следующий вид:

Как видите, в отличие от последовательностей прямоугольных и пилообразных импульсов, для треугольного периодического сигнала амплитуды гармоник убывают пропорционально второй степени номеров гармоник .

Код программы для меандра

N= 8; % число ненулевых гармоник

t= -1:0.01:1; % вектор моментов времени

A= 1; % амплитуда

T= 1; % период

nh= (1:N)*2-1; % номера ненулевых гармоник

harmonics = cos(2*pi*nh"*t/T);

Am= 2/pi./nh; % амплитуды гармоник

Am(2:2:end) = -Am(2:2:end); % чередование знаков

s1 = harmonics .* repmat(Am", 1, length(t));

% строки-частичные суммы гармоник

for k=1:N, subplot(4, 2, k), plot(t, s2(k,:)), end

Р
езультат работы программы

Комментарии :repmat – создание блочной матрицы или многомерного блочного массива из одинаковых блоков.repmat(Am", 1,length(t)) – матрица состоит из 1 блока по вертикали иlength(t) блоков по горизонтали, каждый блок является матрицейAm".

Cumsum – расчет частичных сумм элементов.

Subplot (Rows , Cols , N ) – команда для вывода нескольких графиков. Графическое окно разбивается на клетки в виде матрицы, имеющейRows – строк,Cols – столбцов, иN – клетка становится текущей.

Варианты

№ варианта	Параметры для сигналов
	–амплитуда сигнала	–период повторения сигналов	–длительность сигнала	–число ненулевых гармоник

Формы записи ряда Фурье. Сигнал называется пери­одическим, если его форма циклически повторяется во времени Периодический сигнал u(t) в общем виде записывается так:

u(t)=u(t+mT), m=0, ±1,±2,…

Здесь Т-период сигнала. Периодические сигналы могут быть как простыми, так и сложными.

Для математического представления периодических сигналоа с периодом Т часто пользуются рядом (2.2), в котором как ба­зисные функции выбираются гармонические (синусоидальные и косинусоидальные) колебания кратных частот

y 0 (t)=1; y 1 (t)=sinw 1 t; y 2 (t)=cosw 1 t;

y 3 (t)=sin2w 1 t; y 4 (t)=cos2w 1 t; …,(2.3)

где w 1 =2p/T- основная угловая частота последовательности

функций. При гармонических базисных функциях из ряда (2.2) получаем ряд Фурье (Жан Фурье - французский математик и фи­зик XIX века).

Гармонические функции вида (2.3) в ряде Фурье имеют сле­дующие преимущества: 1) простое математическое описание; 2) инвариантность к линейным преобразованиям, т. е. если на входе линейной цепи действует гармоническое колебание, то и на выходе ее также будет гармоническое колебание, отличающееся от входного только амплитудой и начальной фазой; 3) как и сиг­нал, гармонические функции периодические и имеют бесконечную длительность; 4) техника генерирования гармонических функций достаточно проста.

Из курса математики известно, что для разложения периоди­ческого сигнала в ряд по гармоническим функциям (2.3) необхо­димо выполнение условий Дирихле. Но все реальные периодичес­кие сигналы этим условиям удовлетворяют и их можно предста­вить в виде ряда Фурье, который может быть записан в одной из следующих форм:

u(t)=A 0 /2+ (A’ mn cosnw 1 t+A” mn nw 1 t), (2.4)

где коэффициенты

А 0 =

A mn ”= (2.5)

u(t)=A 0 /2+ (2.6)

A mn = (2.7)

или в комплексной форме

u(t)= (2.8)

C n = (2.9)

Из (2.4) - (2.9) следует, что в общем случае периодический сигнал u(t) содержит постоянную составляющую A 0 /2и набор гармонических колебаний основной частоты w 1 =2pf 1 и ее гармоник с частотами w n =nw 1 , n=2,3,4,… Каждое из гармонических

колебаний ряда Фурье характеризуется амплитудойи начальной фазой y n .nn

Спектральная диаграмма и спектр периодиче­ского сигнала. Если какой-либо сигнал представлен в виде суммы гармонических колебаний с разными частотами, то гово­рят, что осуществлено спектральное разложение сигнала.

Спектральной диаграммой сигнала принято называть графиче­ское изображение коэффициентов ряда Фурье этого сигнала. Раз­личают амплитудные и фазовые диаграммы. На рис. 2.6 в неко­тором масштабе по горизонтальной оси отложены значения час­тот гармоник, по зертикальной оси - их амплитуды A mn и фазы y n . Причем амплитуды гармоник могут принимать только поло­жительные значения, фазы - как положительные, так и отрица­тельные значения в интервале -p£y n £p

Спектр сигнала - это совокупность гармонических составляю­щих с конкретными значениями частот, амплитуд и начальных фаз, образующих в сумме сигнал. В технических приложениях на практике спектральные диаграммы называют более кратко - ам­плитудный спектр, фазовый спектр. Чаще всего интересуются ам­плитудной спектральной диаграммой. По ней можно оценить про­центное содержание гармоник в спектре.

Пример 2.3. Разложить в ряд Фурье периодическую последовательность прямоугольных видеоимпульсов с известными параметрами (U m , T, t z), четную "Относительно точки t=0. Построить спектральную диаграмму амплитуд и фаз при U m =2B, T=20мс, S=T/t и =2 и 8.

Заданный периодический сигнал на интервале одного периода можно запи­сать как

u(t) =

Воспользуемся для представления этого сигнала формой записи ряда Фурье в виде (2.4). Так как сигнал четный, то в разложении останутся только косинусоидальные составляющие.

Рис. 2.6. Спектральные диаграммы периодического сигнала:

а - амплитудная; б - фазoвая

Интеграл от нечетной функции за период равеy нулю. По формулам (2.5) находим коэффициенты

позволяющие записать ряд Фурье:

Для построения спектральных диаграмм при конкретных числовых данных задаемся я=0, 1, 2, 3, ... и вычисляем коэффициенты гармоник. Результаты расчета первых восьми составляющих спектра сведены в табл. 2.1. В ряде (2.4) А" mn =0 и согласно (2.7) A mn =|A’ mn |, основная частота f 1 =1/T= 1/20-10 -3 =50 Гц, w 1 =2pf 1 =2p*50=314рад/с. Амплитудный спектр на рис.

2.7 построен для таких n, при которых А mn больше 5% максимального зна­чения.

Из приведенного примера 2.3 следует, что с увеличением скваж­ности увеличивается число спектральных составляющих и умень­шаются их амплитуды. Говорят, что такой сигнал обладает бога­тым спектром. Необходимо отметить, что для многих практиче­ски применяемых сигналов нет необходимости проводить вычисление амплитуд и фаз гармоник по приведенным ранее форму­лам.

Таблица 2.1. Амплитуды составляющих ряда Фурье периодической последова­тельности прямоугольных импульсов

Рис. 2.7. Спектральные диаграммы периодической последовательности импуль­сов: а -при скважности S-2; - б-при скважности S=8

В математических справочниках имеются таблицы разложе­ний сигналов в ряд Фурье. Одна из таких таблиц приведена в приложении (табл. П.2).

Часто возникает вопрос: сколько же взять спектральных со-ставляющих (гармоник), чтобы представить реальный сигнал ря­дом Фурье? Ведь ряд-то, строго говоря, бесконечный. Однознач­ного ответа здесь нельзя дать. Все зависит от формы сигнала и точности его представления рядом Фурье. Более плавное измене­ние сигнала - меньше требуется гармоник. Если сигнал имеет скачки (разрывы), то необходимо суммировать большее число гармоник для достижения такой же погрешности. Однако во мно­гих случаях, например в телеграфии, считают, что и для пере­дачи прямоугольных импульсов с крутыми фронтами достаточно трех гармоник.