Как решить дифференциальное уравнение
методом операционного исчисления?
На данном уроке будет подробно разобрана типовая и широко распространенная задача комплексного анализа – нахождение частного решения ДУ 2-го порядка с постоянными коэффициентами методом операционного исчисления . Снова и снова избавляю вас от предубеждения, что материал немыслимо сложный и недоступный. Забавно, но для освоения примеров можно вообще не уметь дифференцировать, интегрировать и даже не знать, что такое комплексные числа . Потребуется навык применения метода неопределённых коэффициентов , который детально разобран в статье Интегрирование дробно-рациональных функций . Фактически краеугольным камнем задания являются обычные алгебраические действия, и я уверен, что материал доступен даже для школьника.
Сначала сжатые теоретические сведения о рассматриваемом разделе математического анализа. Основная суть операционного исчисления
состоит в следующем: функция действительной
переменной с помощью так называемого преобразования Лапласа
отображается в функцию комплексной
переменной
:
Терминология и обозначения:
функция называется оригиналом
;
функция называется изображением
;
заглавной буквой обозначается преобразование Лапласа
.
Говоря простым языком, действительную функцию (оригинал) по определённым правилам нужно превратить в комплексную функцию (изображение). Стрелочка обозначает именно это превращение. А сами «определенные правила» и являются преобразованием Лапласа , которое мы рассмотрим лишь формально, чего для решения задач будет вполне достаточно.
Осуществимо и обратное преобразование Лапласа, когда изображение превращается в оригинал:
Зачем всё это нужно? В ряде задач высшей математики бывает очень выгодно перейти от оригиналов к изображениям , поскольку в этом случае решение задания значительно упрощается (шутка). И как раз одну из таких задач мы и рассмотрим. Если вы дожили до операционного исчисления, то формулировка должна быть вам хорошо знакома:
Найти частное решение неоднородного уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами при заданных начальных условиях .
Примечание: иногда дифференциальное уравнение может быть и однородным: , для него в вышеизложенной формулировке также применим метод операционного исчисления. Однако в практических примерах однородное ДУ 2-го порядка встречается крайне редко, и далее речь пойдёт о неоднородных уравнениях.
И сейчас будет разобран третий способ – решение ДУ с помощью операционного исчисления. Ещё раз подчеркиваю то обстоятельство, что речь идёт о нахождении частного решения , кроме того, начальные условия строго имеют вид («иксы» равны нулям).
К слову, об «иксах». Уравнение можно переписать в следующем виде:
, где «икс» – независимая переменная, а «игрек» – функция. Я не случайно об этом говорю, поскольку в рассматриваемой задаче чаще всего используются другие буквы:
То есть роль независимой переменной играет переменная «тэ» (вместо «икса»), а роль функции играет переменная «икс» (вместо «игрека»)
Понимаю, неудобно конечно, но лучше придерживаться обозначений, которые встречаются в большинстве задачников и методичек.
Итак, наша задача с другими буквами записывается следующим образом:
Найти частное решение неоднородного уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами при заданных начальных условиях .
Смысл задания нисколько не изменился, изменились только буквы.
Как решить данную задачу методом операционного исчисления?
Прежде всего, потребуется таблица оригиналов и изображений . Это ключевой инструмент решения, и без неё не обойтись. Поэтому, по возможности, постарайтесь распечатать указанный справочный материал. Сразу же поясню, что обозначает буква «пэ»: комплексную переменную (вместо привычного «зет»). Хотя для решения задач этот факт не имеет особого значения, «пэ» так «пэ».
С помощью таблицы оригиналы и необходимо превратить в некоторые изображения. Далее следует ряд типовых действий, и используется обратное преобразование Лапласа (тоже есть в таблице). Таким образом, будет найдено искомое частное решение.
Все задачи, что приятно, решаются по достаточно жесткому алгоритму.
Пример 1
, ,
Решение: На первом шаге перейдем от оригиналов к соответствующим изображениям. Используем левую сторону .
Сначала разбираемся с левой частью исходного уравнения. Для преобразования Лапласа справедливы правила линейности , поэтому все константы игнорируем и по отдельности работаем с функцией и её производными.
По табличной формуле №1 превращаем функцию:
По формуле №2 , учитывая начальное условие , превращаем производную:
По формуле №3 , учитывая начальные условия , превращаем вторую производную:
Не путаемся в знаках!
Признаюсь, правильнее говорить не «формулы», а «преобразования», но для простоты время от времени буду называть начинку таблицы формулами.
Теперь разбираемся с правой частью, в которой находится многочлен . В силу того же правила линейности преобразования Лапласа, с каждым слагаемым работаем отдельно.
Смотрим на первое слагаемое: – это независимая переменная «тэ», умноженная на константу. Константу игнорируем и, используя пункт №4 таблицы, выполняем преобразование:
Смотрим на второе слагаемое: –5. Когда константа находится одна-одинёшенька, то пропускать её уже нельзя. С одиночной константой поступают так: для наглядности её можно представить в виде произведения: , а к единице применить преобразование:
Таким образом, для всех элементов (оригиналов) дифференциального уравнения с помощью таблицы найдены соответствующие изображения:
Подставим найденные изображения в исходное уравнение :
Дальнейшая задача состоит в том, чтобы выразить операторное решение через всё остальное, а именно – через одну дробь. При этом целесообразно придерживаться следующего порядка действий:
Для начала раскрываем скобки в левой части:
Приводим подобные слагаемые в левой части (если они есть). В данном случае складываем числа –2 и –3. Чайникам настоятельно рекомендую не пропускать данный этап:
Слева оставляем слагаемые, в которых присутствует , остальные слагаемые переносим направо со сменой знака:
В левой части выносим за скобки операторное решение , в правой части приводим выражение к общему знаменателю:
Многочлен слева следует разложить на множители (если это возможно). Решаем квадратное уравнение:
Таким образом:
Сбрасываем в знаменатель правой части:
Цель достигнута – операторное решение выражено через одну дробь.
Действие второе. Используя метод неопределенных коэффициентов
, операторное решение уравнения следует разложить в сумму элементарных дробей:
Приравняем коэффициенты при соответствующих степенях и решим систему:
Если возникли затруднения с , пожалуйста, наверстайте упущенное в статьях Интегрирование дробно-рациональной функции и Как решить систему уравнений? Это очень важно, поскольку разложение на дроби, по существу, самая важная часть задачи.
Итак, коэффициенты найдены: , и операторное решение предстаёт перед нами в разобранном виде:
Обратите внимание, что константы записаны не в числителях дробей. Такая форма записи выгоднее, чем . А выгоднее, потому что финальное действие пройдёт без путаницы и ошибок:
Заключительный этап задачи состоит в том, чтобы с помощью обратного преобразования Лапласа перейти от изображений к соответствующим оригиналам. Используем правый столбец таблицы оригиналов и изображений .
Возможно, не всем понятно преобразование . Здесь использована формула пункта №5 таблицы: . Если подробнее: . Собственно, для похожих случаев формулу можно модифицировать: . Да и все табличные формулы пункта №5 очень легко переписать аналогичным образом.
После обратного перехода искомое частное решение ДУ получается на блюдечке с голубой каёмочкой:
Было:
Стало:
Ответ: частное решение:
При наличии времени всегда желательно выполнять проверку. Проверка выполняется по стандартной схеме, которая уже рассматривалась на уроке Неоднородные дифференциальные уравнения 2-го порядка . Повторим:
Проверим выполнение начального условия :
– выполнено.
Найдём первую производную:
Проверим выполнение второго начального условия :
– выполнено.
Найдём вторую производную:
Подставим , и в левую часть исходного уравнения :
Получена правая часть исходного уравнения.
Вывод: задание выполнено правильно.
Небольшой пример для самостоятельного решения:
Пример 2
С помощью операционного исчисления найти частное решение дифференциального уравнения при заданных начальных условиях.
Примерный образец чистового оформления задания в конце урока.
Наиболее частный гость в дифференциальных уравнениях, как многие давно заметили, экспоненты, поэтому рассмотрим несколько примеров с ними, родными:
Пример 3
, ,
Решение: С помощью таблицы преобразований Лапласа (левая часть таблицы) перейдем от оригиналов к соответствующим изображениям.
Сначала рассмотрим левую часть уравнения. Там отсутствует первая производная. Ну и что из того? Отлично. Работы поменьше. Учитывая начальные условия , по табличным формулам №№1,3 находим изображения:
Теперь смотрим на правую часть: – произведение двух функций. Для того чтобы воспользоваться свойствами линейности
преобразования Лапласа, нужно раскрыть скобки: . Так как константы находятся в произведениях, то на них забиваем, и, используя группу №5 табличных формул, находим изображения:
Подставим найденные изображения в исходное уравнение:
Напоминаю, что дальнейшая задача состоит в том, чтобы выразить операторное решение через единственную дробь.
В левой части оставляем слагаемые, в которых присутствует , остальные слагаемые переносим в правую часть. Заодно в правой части начинаем потихоньку приводить дроби к общему знаменателю:
Слева выносим за скобки, справа приводим выражение к общему знаменателю:
В левой части получен неразложимый на множители многочлен . Если многочлен не раскладывается на множители, то его, бедолагу, сразу нужно сбросить на дно правой части, забетонировав ноги в тазике. А в числителе раскрываем скобки и приводим подобные слагаемые:
Наступил самый кропотливый этап: методом неопределенных коэффициентов
разложим операторное решение уравнения в сумму элементарных дробей:
Таким образом:
Обратите внимание, как разложена дробь: , скоро поясню, почему именно так.
Финиш: перейдем от изображений к соответствующим оригиналам, используем правый столбец таблицы:
В двух нижних преобразованиях использованы формулы №№6,7 таблицы, и дробь предварительно раскладывалась как раз для «подгонки» под табличные преобразования.
В результате, частное решение:
Ответ: искомое частное решение:
Похожий пример для самостоятельного решения:
Пример 4
Найти частное решение дифференциального уравнения методом операционного исчисления.
Краткое решение и ответ в конце урока.
В Примере 4 одно из начальных условий равно нулю. Это, безусловно, упрощает решение, и самый идеальный вариант, когда оба начальных условия нулевые: . В этом случае производные преобразуются в изображения без хвостов:
Как уже отмечалось, наиболее сложным техническим моментом задачи является разложение дроби методом неопределенных коэффициентов , и в моём распоряжении есть достаточно трудоёмкие примеры. Тем не менее, монстрами запугивать никого не буду, рассмотрим ещё пару типовых разновидностей уравнения:
Пример 5
Методом операционного исчисления найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее заданным начальным условиям.
, ,
Решение:
С помощью таблицы преобразований Лапласа перейдем от оригиналов к соответствующим изображениям. Учитывая начальные условия :
С правой частью тоже никаких проблем:
(Напоминаю, что константы-множители игнорируются)
Подставим полученные изображения в исходное уравнение и выполняем стандартные действия, которые, я надеюсь, вы уже хорошо отработали:
Константу в знаменателе выносим за пределы дроби, главное, потом про неё не забыть:
Думал, выносить ли ещё дополнительно двойку из числителя, однако, прикинув, пришел к выводу, что данный шаг практически не упростит дальнейшего решения.
Особенностью задания является полученная дробь. Кажется, что её разложение будет долгим и трудным, но впечатление обманчиво. Естественно, бывают сложные вещи, но в любом случае – вперёд, без страха и сомнений:
То, что некоторые коэффициенты получились дробными, смущать не должно, такая ситуация не редкость. Лишь бы техника вычислений не подвела. К тому же, всегда есть возможность выполнить проверку ответа.
В результате, операторное решение:
Перейдем от изображений к соответствующим оригиналам:
Таким образом, частное решение:
Задача 1. Найти оригинал для изображения
при помощи разложения на простейшие дроби.
Решение.
Разложим
на сумму простейших дробей
.
Найдем неопределенные коэффициенты A , B , C , D . Так как
то, приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях , получаем
,
,
,
.
Таким образом,
Свертка оригиналов.
Пусть
и
- функции-ориентиры и
,
.
По определению, сверткой оригиналов
называется интеграл
(3.1)
По теореме сложения изображений свертки
оригиналов
соответствует произведение изображений
Задача 2.
Найти свертку функций
и
.
Решение. Имеем
Задача 3.
Восстановить оригинал по
изображению
при помощи свертки.
Решение.
Представим
как произведение двух функций и используя
теорему умножения, запишем
. (см. задачу 2)
4. Решение линейных дифференциальных уравнений и систем.
Рассмотрим применение правил и теорем операционного исчисления к решению линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами и их систем при заданных начальных условиях. Предлагаем, что искомое решение, его производные и правая часть дифференциального уравнения являются оригиналами.
Схема решения дифференциального уравнения.
Искомая функция, ее производные, входящие в данное уравнение, правая часть уравнения заменяются их изображениями. В результате получается так называемое операторное уравнение.
Решаем операторное уравнение относительно изображения искомой функции.
Переходим от изображения искомой функции к оригиналу.
Схема решения систем дифференциальных уравнений такая же.
Задача 1. Решить дифференциальное уравнение
,
если
,
Решение.
Пусть
- искомое решение.
.
Запишем операторное уравнение
Находим A
,
B
,
C
.
,
,
.
Задача 2. Найти решение системы дифференциальных уравнений
удовлетворяющее начальным условиям
,
,
,
Решение.
Пусть
,
.
Тогда
;
;
;
.
Преобразованная система имеет вид
Определяем
,
по правилу Крамера
;
Вычислим
получим
Вычислим
получим
Рассмотрим решение дифференциальных уравнений при нулевых начальных условиях с использованием интеграла Дюамеля.
Интеграл Дюамеля.
Если
и
,
то
(4.1)
(4.1 ’)
Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффицентами
то получим
или
,
где
-
многочленn-ой степени;
(4.2)
Если рассмотреть ещё одно дифференциальное уравнение, у которого правая часть равна единице,
то при тех же нулевых начальных условиях в изображениях получим уравнение
Отсюда
(4.3)
Подставим (4.3) в (4.2), получим
(4.4)
Используя интеграл Дюамеля (4.1’) для
и учитывая, что
,
получаем
Итак, достаточно решить уравнение с правой частью равной единице, чтобы при помощи интеграла (4.5) получить решения при различных правых частях.
Задача 3.
Найти частное решение дифференциального уравнения, используя интеграл Дюамеля:
(4.7)
Пусть
,
тогда
Получим уравнение для изображения
Возвращаясь к первоначальному уравнению
для
,
Запишем
Следует отметить, что преимущество операционного метода решения дифференциальных уравнений состоит в том, что благодаря этому методу мы заменяем решение дифференциального уравнения на решение алгебраического уравнения, что сильно упрощает вычисление.
Применение методов операционного исчисления в
задачах электротехники .
Методы операционного исчисления широко используются в решениях специальных задач электротехники.
Задача1.
Включение дополнительного источника ЭДС в цепь с ненулевыми начальными условиями.
Рассмотрим электрическую цепь с ненулевыми начальными условиями (рис. 5.1), где r- сопротивление;L- индуктивность;C– ёмкость конденсатора;k– выключатель.
Эта цепь характеризуется тем, что при отключении ЭДС Е в цепи происходит арядка конденсатора. После зарядки конденсатора ток в цепи становится равным нулю. Требуется найти ток i(t) после подключения к цепи дополнительной ЭДС е(t).
По второму закону Кирхгофа (алгебраическая
сумма падения напряжения на сопротивлениях
равна алгебраической сумме действующих
в цепи ЭДС) для момента времени
имеем
, (5.1)
где
- напряжение на конденсаторе;
(0) – начальное напряжение на конденсаторе, обусловленное тем, что конденсатор уже был ранее заряжен.
Решение.
Применяя к интегро-дифяфференциальному уравнению (5.1) преобразование Лапласа, запишем
где
-
начальный ток в цепи. Используя указанные
соотношения, получаем алгебраическое
уравнение в изобржениях
где неизвестной величиной является
.
Остальные величины известныИз (5.2) получаем
(5.3)
Рассмотрим конкретный пример. Пусть
Применяя преобразование Лапласа,
получаем
следовательно,
С учётом этих условий из (5.3) получаем
Замечание.
Из полученного решения
(5.4) следует, что
,
при
,
т.е.
Это означает что за некоторое время
конденсатор дополнительно зарядится
и ток станет равным нулю.
Задача 2.
Определить ток в цепи, состоящей из последовательно соединённых сопротивления rи конденсатора С, если в моментt=0 цепь подсоединяется к источнику ЭДС (рис 5.2) в виде треугольного импульса (рис 5.3).
рис 5.2 рис 5.3
В задаче задано
Решение.
Используя второй закон Кирхгофа, получим интегральное уравнение для рассматриваемого контура
(5.5)
Решение уравнения (5.5) выразим при помощи интеграла Дюамеля (4.1)
(5.6)
где
- решение вспомогательного уравнения
(5.7)
Применяя преобразование Лапласа, имеем
Уравнение (5.7) преобразуется к алгебраическому уравнению для нахождения J(p)
откуда
(5.8)
Подставляя найденное решение (5.8) вспомогательного уравнения (5.7) в интеграл Дюамеля (5.6) получаем решение исходного уравнения (5.5)
Пример контрольной работы по операционному исчислению
и комплексным числам.
Вариант 1.
3. Найти все значения корней
5. Найти изображение оригинала, заданного графически
6. Решить систему
Вариант 2.
Найти изображение функции:
3. Найти все значения корней
6. Решить систему
Вариант 3.
1. Восстановить оригинал по изображению:
2. Решить задачу Коши операторным методом:
3. Найти все значения корней
4. Представить в алгебраической форме:
6. Решить систему
Вариант 4.
Найти изображение функции:
Решить задачу Коши операторным методом:
3. Найти все значения корней
4. Представить в алгебраической форме:
Восстановить оригинал по изображению
6. Решить систему
Вариант 5.
1. Восстановить оригинал по изображению:
2. Решить задачу Коши операторным методом:
3. Найти все значения корней
а)
;
б)
4. Представить в алгебраической форме:
а)
;
б)
5. Найти изображение оригинала, заданного графически:
6. Решить систему
Вариант 6.
Найти изображение функции:
Решить задачу Коши операторным методом:
3. Найти все значения корней
а)
;
б)
4. Представить в алгебраической форме:
а)
;
б)
Восстановить оригинал по изображению
6. Решить систему
Вариант 7.
1. Восстановить оригинал по изображению:
2. Решить задачу Коши операторным методом:
3. Найти все значения корней
а)
;
б)
4. Представить в алгебраической форме:
а)
;
б)
5. Найти изображение оригинала, заданного графически:
6. Решить систему
Вариант 8.
1. Найти изображение функции:
2. Решить задачу Коши операторным методом:
3. Найти все значения корней
а)
;
б)
4. Представить в алгебраической форме:
а)
;
б)
Восстановить оригинал по изображению
6. Решить систему
Вариант 9.
1. Восстановить оригинал по изображению:
2. Решить задачу Коши операторным методом:
3. Найти все значения корней
а)
;
б)
4. Представить в алгебраической форме:
а)
;
б)
5. Найти изображение оригинала, заданного графически:
6. Решить систему
Вариант 10.
1. Найти изображение функции:
2. Решить задачу Коши операторным методом:
3. Найти все значения корней
а)
;
б)
4. Представить в алгебраической форме:
а)
;
б)
6. Решить систему
Вариант 11.
1. Восстановить оригинал по изображению:
2. Решить задачу Коши операторным методом:
3. Найти все значения корней
а)
;
б)
4. Представить в алгебраической форме:
а)
;
б)
5. Найти изображение оригинала, заданного графически:
6. Решить систему
Вариант 12.
1. Найти изображение функции:
2. Решить задачу Коши операторным методом:
3. Найти все значения корней
а)
;
б)
4. Представить в алгебраической форме:
а)
;
б)
5. Восстановить оригинал по изображению
6. Решить систему
Вариант 13.
1. Восстановить оригинал по изображению:
2. Решить задачу Коши операторным методом:
3. Найти все значения корней
а)
;
б)
4. Представить в алгебраической форме:
а)
;
б)
5. Найти изображение оригинала, заданного графически:
6. Решить систему
Вариант 14.
1. Найти изображение функции:
2. Решить задачу Коши операторным методом:
3. Найти все значения корней
а) ;
б)
4. Представить в алгебраической форме:
а)
;
б)
5. Восстановить оригинал по изображению
6. Решить систему
Вариант 15.
1. Восстановить оригинал по изображению
2. Решить задачу Коши операторным методом:
3. Найти все значения корней
а)
;
б)
4. Представить в алгебраической форме:
а)
;
б)
5. Найти изображение оригинала, заданного графически:
6. Решить систему
Вариант 16.
1. Найти изображение функции:
2. Решить задачу Коши операторным методом:
3. Найти все значения корней
а)
;
б)
4. Представить в алгебраической форме:
а)
;
б)
5. Восстановить оригинал по изображению
6. Решить систему
Введение.
Комплексные числа.
Преобразование Лапласа. Оригинал и изображение.
Нахождение оригинала по изображению.
Решение линейных дифференциальных уравнений и систем.
Применение методов операционного исчисления в задачах электротехники.
Пример контрольной работы по операционному исчислению и комплексным числам.
Литература.
Литература.
Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного. М.: Наука, 1981, 448с.
Сборник задач по математике для втузов. Ч.З. Под ред. А.В. Ефимова, А.С. Поспелова. М.: издательства физико-математической литературы, 2002. 576с.
Краснов М.Л., Киселев А.Н., Макаренко Г.Н. Функции комплексного переменного. Операционное исчисление. Теория устойчивости. М.: Наука, 1981. 304с.
Глатенок И.В., Заварзина И.Ф. Теория функций комплексного переменного и операционное исчисление. М.: Московский энергетический институт, 1989. 48с.
Задача ставится так: дана функция F(p), надо найти функцию /(<)> изображением которой является F(p).
Сформулируем условия, достаточные для того, чтобы функция F(p) комплексного переменного р служила изображением.
Теорема 12. Если аналитическая в полуплоскости функция F(p)
1) стремится к нулю при в любой полуплоскости Rep = а > s0 равномерно относительно arg
Отыскание оригинала по изображению
2) интеграл
а-«сю
сходится абсолютно,
то F(p) является изображением некоторой функции-оригинала f{t). Задач*. Может ли функция F(p) = ^ служить изображением некоторой функции-оригинала? Укажем некоторые способы отыскания оригинала по изображению.
3.1. Отыскание оригинала с помощью таблиц изображений
Прежде всего стоит привести функцию F(p) к более простому, «табличному» виду. Например, в случае, когда F(p) - дробно-рациональная функция аргумента р,ее разлагают на элементарные дроби и пользуются подходящими свойствами преобразования Лапласа.
Пример 1. Найти оригинал для
Запишем функцию F(p) в виде
Пользуясь теоремой смещения и свойством линейности преобразования Лапласа, получаем
Пример 2. Найти оригинал для функции
М Запишем F(p) в виде Отсюда /
3.2. Использование теоремы обращения и следствий из нее
Теорема 13 (обращения). /Гош функция fit) есть функция-оригинал с показателем роста s0 и F(p) - ее изображение, то в любой точке непрерывности функции f(t) выполняется соотношение
где интеграл берется вдоль любой прямой и понимается в смысле главного значения, т. е. как
Формула (1) называется формулой обращения преобразования Лапласа, или формулой Меллина.
В самом деле, пусть, например, f(t) - кусочно-гладкая на каждом конечном отрезке }
Обзор Samsung Galaxy A7 (2017): не боится воды и экономии Стоит ли покупать samsung a7
Делаем бэкап прошивки на андроиде
Как настроить файл подкачки?
Установка режима совместимости в Windows
Резервное копирование и восстановление драйверов Windows