16 ричной. Шестнадцатеричный код

Многие пользователи компьютеров понимают, что компьютер работает в двоичной системе счисления. Традиционно состояния двоичной системы представляются цифрами 0 и 1, хотя, если говорить более точнее, каждое состояние обозначает наличие или отсутствие сигнала, т. е. правильнее будет назвать состояния «выключено» и «включено», либо «нет» и «да». Состоянию «выключено» или «нет» соответствует цифра 0, а состоянию «включено» или «да» цифра 1. Простым пользователям обычно нет необходимости полностью понимать устройство компьютера, однако двоичная система счисления дает о себе знать в виде различных ограничений основанных на степени двойки. Более компактный вариант двоичной системы называют шестнадцатеричной. Число шестнадцать является четвертой степенью числа два. Из этого следует, что можно достаточно просто переводить длинных двоичные последовательностей из нулей и единиц в короткие шестнадцатеричные. Для этого достаточно разбить двоичную последовательность на группы по четыре разряда (цифры) начиная с младшего разряда (справа) и заменить каждую группу на соответствующее шестнадцатеричное значение.

Шестнадцатеричную систему принято использовать для удобства восприятия двоичных данных, так как переводы из шестнадцатеричной системы в двоичную и обратно осуществляются простой заменой строк. Компьютер работает исключительно с двоичными последовательностями, а шестнадцатеричная запись этой последовательности в четыре раза компактнее, так как у этой системы основание 16 (2 16), а двоичной 2. Двоичная последовательность может быть достаточно громоздкой. Например, запись числа 513 требует десять двоичных разрядов (1000000001), а в шестнадцатеричной только три (201). Тем не менее, для представления любых шестнадцатеричных чисел требуется шестнадцать разных символов, а не десять, которые используются в привычной нам десятичной системе счисления. Первые десять символов это символы в интервале от 0 по 9, остальные это буквы латинского алфавита в интервале от A по F. Буквы обычно (но не всегда) пишут в верхнем регистре (заглавные) в шестнадцатеричной записи числа. Первые десять символов (от 0 по 9) записываются аналогично цифрам в десятичной системе счисления и соответствуют им. Буквы в интервале от A по F соответствуют значениям в интервале от 10 до 15.

Рассмотрим соответствие чисел от 0 по 15 шестнадцатеричной и двоичной системам счисления.

Десятичная запись	Шестнадцатеричная запись	Двоичная запись
0	0	0000
1	1	0001
2	2	0010
3	3	0011
4	4	0100
5	5	0101
6	6	0110
7	7	0111
8	8	1000
9	9	1001
10	A	1010
11	B	1011
12	C	1100
13	D	1101
14	E	1110
15	F	1111

Записи 10, 11 и т. д. в десятичной, двоичной и шестнадцатеричной системах не соответствуют друг другу. Рассмотрим небольшой пример. Пусть у нас имеется шестнадцатеричное число число 1A5E. для перевода в двоичную запись достаточно просто заменить шестнадцатеричные разряды на соответствующие двоичные группы. Получится 0001 1010 0101 1110. Если убрать незначащие нули перед числом и записать его без разделителей получим 1101001011110. Для обратного перевода разделим число на группы по четыре разряда начиная с младшего (с правой стороны), а также для удобства добавим незначащие нули в старшей группе до 4 разрядов. Получим 0001 1010 0101 1110. Заменим группы на соответствующие шестнадцатеричные значения, получим 1A5E.

Для перевода шестнадцатеричного числа в десятичное представление можно воспользоваться схемой по которой мы записываем десятичные числа. В десятичном числе каждый разряд обозначает соответствующую степень числа десять начиная с нулевой с возрастанием справа налево. Например, десятичное число 123 обозначает 1*10 2 + 2*10 1 + 3*10 0 . Аналогичным методом переведем число 1A5E в десятичную систему счисления. В шестнадцатеричной системе счисления, также как и в десятичной каждый разряд обозначает соответствующую степень числа шестнадцать начиная с нулевой с возрастанием справа налево. Символы 1 и 5 в шестнадцатеричной системе счисления соответствуют значениям 1 и 5 в десятичной, а символы A и E - 10 и 14. Тогда 1A5E можно представить в десятичной системе счисления как 1*16 3 + 10*16 2 + 5*16 1 + 14*16 0 = 6750. Однако для оценки шестнадцатеричных чисел вовсе не обязательно переводить их в десятичные. Правила сравнения, сложения и умножения в этой системе такие же как и в десятичной, главное не забывать, что каждый разряд может содержать значения от 0 до 15. Для более быстрого перевода числе между система счисления можно воспользоваться стандартным калькулятором в Windows, для этого достаточно в расширенном режиме калькулятора выбрать систему счисления, ввести в ней число и выбрать нужную систему счисления, в которой следует отобразить результат.

Так как шестнадцатеричные числа, состоящие только из чисел, легко спутать с десятичными, их обычно помечают так, чтобы было ясно, что используется именно шестнадцатеричная запись. Шестнадцатеричные записи обычно помечают либо добавлением в конец строчной буквы „h”, либо приставки „0x” перед записью числа. Таким образом шестнадцатеричное число 1A5E может быть записано как 1A5Eh или 0x1A5E, где „h” на конце или „0x” в начале обозначают, что используется шестнадцатеричная запись.

Шестнадцатеричная система счисления имеет алфавит, состоящий из 16 цифр:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, b, c, d, e, f.

При записи числа в шестнадцатеричной системе для записи цифр обозначающих числа 10, 11, 12. 13, 14. 15 используются соответственно буквы А, В, С, D, E, F.

Перевод чисел из шестнадцатеричной системы в десятичную

Перевести любое шестнадцатеричное число в десятичное можно по уже известной формуле

Примеры.

АЕ07 16 =10∙16 3 +14∙16 2 +0∙16 1 +7∙16 0 =44551 10 .

100 16 =1∙16 2 +0∙16 1 +0∙16 0 =256 10 .

58 16 =5∙16 1 +8∙16 0 =.88 10 .

2А 16 =2∙16 1 +10∙16 0 =42 10 .

Перевод числа из десятичной системы в шестнадцатеричную осуществляется также, как в двоичную.

Перевод чисел из шестнадцатеричной системы в двоичную и обратно

Перевести любое шестнадцатеричное число в двоичное можно следующим образом. Каждая цифра шестнадцатеричной записи числа записывается четырехзначным двоичным числом - тетрадой . После этого нули, стоящие слева, можно отбросить.

2) 2A= 0010 1010 2 = 101010 2 .

3) 58 16 = 0101 1000 2 = 1011000 2 .

И наоборот, перевести любое двоичное число в шестнадцатеричное можно аналогичным образом. Каждые четыре двоичные цифры, считая справа налево, записываются одной шестнадцатеричной цифрой. Эти цифры располагаются также справа налево.

Примеры.

2. 101010 2 = 10 1010 2 = 2A.

3. 1011000 2 = 101 1000 2 = 58 16 .

Восьмеричная система счисления

Восьмеричная система счисления имеет алфавит, состоящий из 8 цифр:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.

Перевод числа из десятичной системы в восьмеричную и обратно осуществляется по аналогии с переводом в двоичную / из двоичной.

Перевод чисел из восьмеричной системы в двоичную и обратно

Каждая цифра восьмеричной записи числа записывается трехзначным двоичным числом - триадой .

Примеры.

2563 8 = 010 101 110 011 2 =10101110011 2 .

1001101 2 = 001 001 101 2 = 115 8 .

Методические материалы для лабораторного занятия №1

Тема лабораторного занятия: Системы счисления. Измерение информации.

Количество часов: 2.

Примеры с решениями

Перевод из p -ичной системы в 10-ичную. Пусть надо перевести число в некоторой системе счисления в десятичную. Для этого надо представить его в виде

11100110 2 = 1∙2 7 + 1∙2 6 + 1∙2 5 + 0∙2 4 + 0∙2 3 + 1∙2 2 + 1∙2 1 + 0∙2 0 = 128 + 64 + 32 + 4 + 2 = 230 10 .

2401 5 = 2∙5 3 + 4∙5 2 + 0∙5 1 + 1∙5 0 = 250 + 100 + 0 + 1 = 351.

Перевод из 10-ичной системы в p -ичную.

2.1 98 10 → Х 2 .

Делим число на 2. Затем делим неполное частное на 2. Продолжаем до тех пор, пока неполное частное не станет меньше 2, т.е. равным 1.

98: 2 = 49. Остаток - 0 .

49: 2 = 24. Остаток - 1 .

24: 2 = 12. Остаток - 0 .

12: 2 = 6. Остаток - 0 .

6: 2 = 3. Остаток - 0 .

3: 2 = 1 . Остаток - 1 .

Так как последнее неполное частное равно 1, процесс окончен. Записываем все остатки снизу вверх, начиная с последнего неполного частного, и получаем число 1100010. Итак 98 10 = 1100010 2 .

2.2 2391 10 → Х 16 .

Делим число на 16. Затем делим неполное частное на 16. Продолжаем до тех пор, пока неполное частное не станет меньше 16.

2391: 16 = 149. Остаток - 7 .

149: 16 = 9 . Остаток - 5 .

Так как последнее неполное частное (9) меньше 16, процесс окончен. Записываем, начиная с последнего неполного частного, все остатки снизу вверх и получаем число 957. Итак 2391 10 = 957 16 .

2.3 12165 10 → Х 2 .

Если переводить делением в двоичную систему, то получится довольный громоздкий процесс. Можно сначала перевести число в восьмеричную систему, а затем заменять восьмеричные цифры справа налево триадами.

12165 10 = 27605 8 = 010 111 110 000 101 = 10111110000101.

Определение основания системы счисления p .

Один мальчик так написал о себе: «Пальцев у меня 24, на каждой руке по 5, а на ногах 12». Как такое может быть?

Решение. Надо определить основание системы счисления p . Так как мы знаем, что пальцев на ногах всего 10 10 , то 12 p =1∙p +2 = 10 10 . Отсюда получаем уравнение p + 2 = 10  p = 8. Значит, мальчик имел в виду числа в восьмеричной системе. Действительно, всего пальцев 24 8 = 2∙8+4 = 20 10 , а на ногах - 12 8 = 1∙8+2 = 10 10 .

Теперь предстоит совсем легкая прогулка, связанная с шестнадцатеричной системой счисления. В этом случае, надеемся, вы подозреваете и, видимо, справедливо, что у нас должно теперь быть 16 различных цифр.

Но, как мы знаем, традиционных ("арабских") цифр всего десять. А требуется шестнадцать. Получается, что не хватает шести знаков.

Замечание
Таким образом, возникает чисто дизайнерская задача по теме "Знаки" - придумать недостающие символы для цифр .

Значит, в свое время специалистам необходимо было придумать какие-нибудь новые знаки. Но когда-то, в начале компьютерной эры, особого выбора в знаках не было. Программисты располагали только знаками цифр и букв. Поэтому они пошли по элементарному пути: взяли первые буквы латинского алфавита в качестве цифр, тем более что исторически это не первый случай (мы уже упоминали, что первоначально вместо цифр многие народы использовали буквы).

Замечание
Надеемся, что всем понятно, почему в этом случае нельзя использовать, например, числа "10", "11", "12" и т. д.? Потому что, если мы говорим о шестнадцатеричной системе счисления, то должно быть шестнадцать цифр , а не чисел .

И десятичное число "10" стали обозначать латинской буквой "А" (точнее, "цифрой А"). Соответственно, дальше идут цифры "В", "С", "D", "Е" и "Р.

Поскольку мы намеревались построить шестнадцатеричную систему, то, начиная с нуля, здесь как раз и получится 16 цифр. Например, цифра "D" - это десятичное число "13", а цифра "F" - это десятичное число "15".

Когда к шестнадцатеричному числу "F" прибавляем единицу, то, поскольку эти цифры у нас кончились, в этом разряде ставим "О", а в следующий разряд переносим единицу, поэтому получается, что десятичное число "16" будет представлено в шестнадцатеричной системе счисления числом "10", т. е. получается "шестнадцатеричная десятка". Соединим десятичные и шестнадцатеричные числа в единую таблицу (табл. 4.5).

Таблица 4.5 . Соответствие десятичных и шестнадцатеричных чисел.

Десятичное число	Шестнадцатеричное число	Десятичное число	Шестнадцатеричное число
0-9	0-9	29	1D
10	А	30	1Е
11	В	31	1F
12	С	32-41	20-29
13	D	42-47	2A-2F
14	Е	48-255	30-FF
15	F	256	100
16	10	512	200
17-25	11-19	1024	400
26	1А	1280	500
27	1В	4096	1000
28	1C

Шестнадцатеричная система используется, чтобы более компактно записывать двоичную информацию. В самом деле, "шестнадцатеричная тысяча", состоящая из четырех разрядов, в двоичном виде занимает тринадцать разрядов (1000 16 = 1000000000000 2).

При обсуждении систем счисления неоднократно фигурировали "десятки", "сотни" и "тысячи", поэтому необходимо обратить внимание на так называемые "круглые" числа.

Шестнадцатеричная запись ("Hex") - удобный способ представления двоичных значений. Так же, как десятичная система счисления имеет основание десять, а двоичная - два, шестнадцатеричная система имеет основание шестнадцать.

Система счисления с основанием 16 использует числа от 0 до 9 и буквы от A до F. Рисунок показывает эквивалентные десятичные, двоичные и шестнадцатеричные значения для двоичных чисел от 0000 до 1111. Для нас легче выражать значение в виде одной шестнадцатеричной цифры, чем в виде четырех битов.

Понимание Байтов

Учитывая, что 8 битов (байт) являются стандартной двоичной группировкой, двоичные числа от 00000000 до 11111111 могут быть представлены в шестнадцатеричной записи как числа от 00 до FF. Начальные нули всегда отображаются, чтобы завершить 8-разрядное представление. Например, двоичное значение 0000 1010 в шестнадцатеричном виде будет 0A.

Представление Шестнадцатеричных Значений

Отметьте: Важно отличать шестнадцатеричные значения от десятичных значений для символов от 0 до 9, как показано на рисунке.

Шестнадцатеричные значения обычно представляются в тексте значением, которому предшествует 0x (например 0x73), или с помощью нижнего индекса 16. Реже, они могут сопровождаться буквой H, например 73H. Однако, поскольку текст нижнего индекса не распознается ни в командной строке, ни в средах программирования, в техническом представлении шестнадцатеричных чисел им предшествует "0x" (нуль X). Поэтому, примеры выше были бы показаны в виде 0x0A и 0x73 соответственно.

Шестнадцатеричная запись используется, чтобы представлять MAC-адреса Ethernet и адреса IP Версии 6.

Шестнадцатеричные Преобразования

Преобразования чисел между десятичными и шестнадцатеричными значениями являются простыми, но быстрое деление или умножение на 16 не всегда удобно. Если такие преобразования необходимы, обычно легче преобразовать десятичное или шестнадцатеричное значение в двоичное, а затем преобразовать двоичное значение в десятичное или шестнадцатеричное, в зависимости от того, что требуется получить.

С практикой возможно распознать двоичные шаблоны битов, которые соответствуют десятичным и шестнадцатеричным значениям. Рисунок показывает эти шаблоны для некоторых 8-разрядных значений.

Таблица 2.4. 16-ричная система кодирования

Десятичная система	16-ричная система	Десятичная система	16-ричная система
0	0 (0000)	10	A (1010)
1	1(0001)	11	B (1011)
2	2 (0010)	12	C (1100)
3	3 (0011)	13	D (1101)
4	4 (0100)	14	E (1110)
5	5 (0101)	15	F (1111)
6	6 (0110)	16	10 (00010000)
7	7 (0111)	17	11 (00010001)
8	8 (1000)	18	12 (00010010)
9	9 (1001)	19	13 (00010011)

Для перевода 16-ричного числа в десятичное необходимо умножить значение младшего (нулевого) разряда на единицу, значение следующего (первого) разряда на 16, второго разряда на 256 (16 2) и т.д., а затем сложить все произведения. Например, возьмем число A17F :

A17F=F*16 0 + 7*16 1 + 1*16 2 + A*16 3 = 15*1 + 7*16+1*256+10*4096=41343

Таблица 2.5. 8-ричная система кодирования

Десятичная система	8-ричная система	Десятичная система	8-ричная система
0	0 (000)	10	12 (001010)
1	1(001)	11	13 (001011)
2	2 (010)	12	14 (001100)
3	3 (011)	13	15 (001101)
4	4 (100)	14	16 (001110)
5	5 (101)	15	17 (001111)
6	6 (110)	16	20 (010000)
7	7 (111)	17	21 (010001)
8	10 (001000)	18	22 (010010)
9	11 (001001)	19	23 (010011)

Но каждому специалисту по цифровой аппаратуре (разработчику, оператору, ремонтнику, программисту и т.д.) необходимо научиться так же свободно обращаться с 16-ричной и двоичной системами, как и с обычной десятичной, чтобы никаких переводов из системы в систему не требовалось.

Значительно реже, чем 16-ричное, используется восьмеричное кодирование , которое строится по такому же принципу, что и 16-ричное, но двоичные разряды разбиваются на группы по три разряда. Каждая группа (разряд кода) затем обозначается одним символом. Каждый разряд 8-ричного кода может принимать восемь значений: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 (табл. 2.5) .

Помимо рассмотренных кодов, существует также и так называемое двоично-десятичное представление чисел. Как и в 16-ричном коде, в двоично-десятичном коде каждому разряду кода соответствует четыре двоичных разряда, однако каждая группа из четырех двоичных разрядов может принимать не шестнадцать, а только десять значений, кодируемых символами 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. То есть одному десятичному разряду соответствует четыре двоичных. В результате получается, что написание чисел в двоично-десятичном коде ничем не отличается от написания в обычном десятичном коде (табл. 2.6) , но в реальности это всего лишь специальный двоичный код, каждый разряд которого может принимать только два значения: 0 и 1. Двоично-десятичный код иногда очень удобен для организации десятичных цифровых индикаторов и табло.

Таблица 2.6. Двоично-десятичная система кодирования

Десятичная система	Двоично-десятичная система	Десятичная система	Двоично-десятичная система
0	0 (0000)	10	10 (00010000)
1	1(0001)	11	11 (00010001)
2	2 (0010)	12	12 (00010010)
3	3 (0011)	13	13 (00010011)
4	4 (0100)	14	14 (00010100)
5	5 (0101)	15	15 (00010101)
6	6 (0110)	16	16 (00010110)
7	7 (0111)	17	17 (00010111)
8	8 (1000)	18	18 (00011000)
9	9 (1001)	19	19 (00011001)

В двоичном коде над числами можно проделывать любые арифметические операции : сложение , вычитание , умножение , деление .

Рассмотрим, например, сложение двух 4-разрядных двоичных чисел. Пусть надо сложить число 0111 (десятичное 7) и 1011 (десятичное 11). Сложение этих чисел не сложнее, чем в десятичном представлении:

При сложении 0 и 0 получаем 0, при сложении 1 и 0 получаем 1, при сложении 1 и 1 получаем 0 и перенос в следующий разряд 1. Результат - 10010 (десятичное 18). При сложении любых двух n-разрядных двоичных чисел может получиться n-разрядное или (n+1) -разрядное число.

Точно так же производится вычитание . Пусть из числа 10010 (18) надо вычесть число 0111 (7). Записываем числа с выравниванием по младшему разряду и вычитаем точно так же, как в случае десятичной системы:

При вычитании 0 из 0 получаем 0, при вычитании 0 из 1 получаем 1, при вычитании 1 из 1 получаем 0, при вычитании 1 из 0 получаем 1 и заем 1 в следующем разряде. Результат - 1011 (десятичное 11).

При вычитании возможно получение отрицательных чисел, поэтому необходимо использовать двоичное представление отрицательных чисел.

Для одновременного представления как двоичных положительных, так и двоичных отрицательных чисел чаще всего используется так называемый дополнительный код . Отрицательные числа в этом коде выражаются таким числом, которое, будучи сложено с положительным числом такой же величины, даст в результате нуль. Для того чтобы получить отрицательное число, надо поменять все биты такого же положительного числа на противоположные (0 на 1, 1 на 0) и прибавить к результату 1. Например, запишем число –5. Число 5 в двоичном коде выглядит 0101. Заменяем биты на противоположные: 1010 и прибавляем единицу: 1011. Суммируем результат с исходным числом: 1011 + 0101 = 0000 (перенос в пятый разряд игнорируем).

по модулю 2 два двоичных числа 0111 и 1011:

Среди других побитовых операций над двоичными числами можно отметить функцию И и функцию ИЛИ. Функция И дает в результате единицу только тогда, когда в соответствующих битах двух исходных чисел обе единицы, в противном случае результат -0. Функция ИЛИ дает в результате единицу тогда, когда хотя бы один из соответствующих битов исходных чисел равен 1, в противном случае результат 0.