Данные для гис. Геоинформационные системы в Интернете (ГИС). GIS – что это такое

При поперечном изгибе балки от произвольной внешней нагрузке в ее поперечных сечениях возникают перерезывающие силы и изгибающие моменты (рис. 8.20, а ).

К изгибающему моменту М в сечении х приводят нормальные напряжения , действующие перпендикулярно плоскости поперечного сечения (рис. 8.20, б ). Перерезывающая сила является равнодействующей касательных напряжений , действующих в плоскости сечения.

Приведем формулы для вычисления этих напряжений, необходимых для проверки прочности балки.

Рассматривая деформацию волокна балки, проходящего через точку А сечения балки (см. рис. 8.20, б ), можно получить формулу для нормальных напряжений :

где – изгибающий момент в сечении х по длине балки; – вертикальная координата т. А , отсчитываемая от нейтральной оси (н.о.) сечения, где определяется напряжение; – центральный осевой момент инерции сечения балки относительно центральной оси z (н.о.), проходящий через центр тяжести сечения.

Из формулы (8.11) следует, что нормальные напряжения распределяются по высоте сечения по линейному закону: для изогнутой при изгибе балки (см. рис. 8.20, а) верхние волокна балки сжимаются (такие напряжения принимаются со знаком «-»), а нижние – растягиваются (принимаются со знаком «+»). Поэтому, чтобы автоматически учесть знаки напряжений, изгибающего момента М и ординаты y , в формуле (8.11) указывается знак минус. Именно в такой форме эта формула будет применятся ниже.

График изменения нормальных напряжений по высоте изгибаемой балки (см. рис. 8.22, а ) называется эпюрой (эп. ), показанной на рис. 8.21, а .

Эп. показывают в плоскости сечения балки (рис. 8.21, б , в ), разворачивая действительную эпюру в объемном изображении по направлению к оси z на 90˚.

Рисунок 8.21 – Эпюры нормальных и касательных напряжений для балки прямоугольного сечения

Эпюры показываются знаками напряжений , откладывая положительные значения справа, а отрицательные – слева от вертикальной линии.

Из эпюры видно, что максимальные нормальные напряжения по модулю возникают в наиболее удаленных от н.о. точках сечения балки при .

Величина в формуле (8.11), зависящая только от размеров и формы поперечного сечения балки и называемая осевым моментом сопротивления сечения, рассчитывается по формуле

Следовательно, условие прочности на изгиб балок по нормальным напряжениям будет:

Для балок симметричного профиля относительно н.о. величина одинакова для кратных точек сечения.

Для балки несимметричного поперечного сечения, например, несимметричный двутавр (рис. 8.22, а ) Эп. показанна на рис. 8.22, б .

Рисунок 8.22 – Эпюры нормальных и касательных напряжений для несимметричного двутавра

Для такой балки

где – минимальный момент сопротивления сечения, .

Для большинства балок в различных конструкциях нормальные напряжения являются наибольшими и по ним проверяется прочность таких элементов конструкций:

где – наибольший по модулю изгибающий момент в опасном сечении балки; – допускаемое нормальное напряжение, равное ( – коэффициент запаса прочности, – предел текучести материала).

Условие прочности (8.15) дает возможность решать такие три задачи: 1) определять напряжение, если известны изгибающий момент, действующий на балку, и момент сопротивления сечения; 2) определять допустимую нагрузку через изгибающий момент и момент сопротивления сечения; 3) определять момент сопротивления, а по нему и размеры сечения, если известны изгибающий момент и допускаемое напряжение.

Формула для касательных напряжений при поперечном изгибе балки была впервые получена Д.И. Журавским при рассмотрении условия равновесия отсеченного элемента балки и носит имя формулы Журавского :

где – перерезывающая сила в сечении балки; – момент сопротивления части площади сечения балки по одну сторону от точки А (см. рис. 8,22, а ), где рассчитывается величина ; – центральный момент инерции площади поперечного сечения балки, относительно горизонтальной оси z ; – горизонтальный размер сечения балки, где вычисляется .

Распределение касательных напряжений по высоте сечения балки называется эпюрой (эп. и соответствует закону квадратичной параболы (см. рис. 8.22, в , г ). Знаки напряжений на эп. не проставляются. Наибольшие касательные напряжения возникают в точке центра тяжести сечения балки, а в крайних точках по высоте сечения – .

Следует заметить, что для балок составного поперечного сечения (например, составной двутавр на рис. 8.22, а ) в точках сопряжения стенки и полок значения будут двузначны, т.к. для стенки величина формуле (8.16) соответствует толщине стенки t , а для полок величина равна их ширине. Поэтому на эп. (см. рис. 8.22, в ) величины касательных напряжений в полках значительно меньше величин , относящихся к одноименным точкам стенки. Этими небольшими напряжениями в полках пренебрегают и строят эпюру только для стенки (см. рис. 8.22, г ).

Для коротких и высоких балок величины касательных напряжений соизмеримы с величинами нормальных напряжений . Поэтому для таких балок, где существенную роль играет деформация сдвига, проверяется условие прочности по касательным напряжениям , где – допускаемое касательное напряжение, выбираемое из нормативных документов.

С проверками прочности балок связаны гипотезы прочности.

Для простейший напряженных состояний условия прочности состоят в сопоставлении максимальных напряжений с величинами допускаемых напряжений:

а) для одноосного растяжения-сжатия (рис. 8.23, а)

б) при сдвиге (срезе) на рис. 8.23, б

При поперечном изгибе, помимо изгибающего момента, в поперечном сечение имеется также и поперечная сила, которая является результирующей элементарных усилий, действующих в плоскости сечения. Т.е. помимо нормальных напряжений возникают и касательные напряжения.

Касательные напряжения искривляют поперечные сечения и гипотеза плоских сечений, вообще говоря, не выполняется. Однако если длина велика по сравнению с высотой балки, то искривления по перечных сечений и возникающее в случае поперечного изгиба взаимное нажатие волокон не оказывают существенного влияния на величину нормальных напряжений, и нормальные напряжения при поперечном изгибе будут определяться по тем же формулам, что и при чистом изгибе.

Дадим грубую оценку касательных напряжений при изгибе.

Пусть - длина балки, а

Характерный размер поперечного сечения.

Если сечение не является тонкостенным, то площадь его отличается от величины числовым множителем порядка единицы. Тогда среднее касательное напряжение в сечении имеет порядок

Оценим порядок нормальных напряжений.

Наибольший момент имеет порядок , а момент сопротивления порядок (например для прямоугольного сечения ). Таким образом нормальное напряжение имеет следующий порядок: , откуда видно, что если длина стержня велика по сравнению с характерным размером поперечного сечения , то касательные напряжения при расчетах на прочность обычно не принимаются во внимании. Однако, исключения составляют случаи:

1) Тонкостенные стержни

2) В случае конструкций, выполненных из материалов с малым сопротивлением межслойному сдвигу, например, древесина, или, получающие в настоящее время большое распространение армированные пластики, когда касательные напряжения могут оказаться более опасными, чем нормальные.

3) Для расчета соединений (поясных швов, заклепок) в металлических балках составного сечения.

Имея это ввиду, мы приведем формулу для определения касательных напряжений при изгибе, полученную нашим соотечественником Д.И.Журавским в середине прошлого века. , где - касательные напряжения в слое, отстоящим от нейтральной оси на расстоянии .

Мы видели, что при чистом изгибе в поперечных сечениях стержня возникают только нормальные напряжения. Соответствующие им внутренние силы приводятся к изгибающему моменту в сечении. В случае поперечного изгиба в сечении стержня возникает не только изгибающий момент, но и поперечная сила Эта сила представляет собой равнодействующую элементарных распределенных сил, лежащих в плоскости сечения (рис. 4.23). Следовательно, в этом случае в поперечных сечениях возникают не только нормальные, но и касательные напряжения.

Возникновение касательных напряжений сопровождается появлением угловых деформаций . Поэтому, кроме основных смещений, свойственных чистому изгибу, каждая элементарная площадка сечения получает еще некоторые дополнительные угловые смещения, обусловленные сдвигом. Касательные напряжения распределены по сечению неравномерно, поэтому неравномерно будут распределены и угловые смещения. Это значит, что при поперечном изгибе в отличие от чистого изпб а поперечные сечешя не остаются плоскими. На рис. 4.24 показана типичная картина искривления поперечных сечений.

Однако на значение нормальных напряжений искажение плоскости поперечных сечений заметным образом не сказывается. В частности, если поперечная сила не меняется по длине стержня, формулы (4.6) и (4.8), выведенные для случая чистого изгиба, будут давать совершенно точные результаты и в случае поперечного изгиба. Действительно, при искривление всех сечений происходит одинаково (рис. 4.25). Поэтому при взаимном повороте двух смежных сечений удлинение продольного волокна АВ будет одним и тем же, независимо от того, осталось сечение плоским или нет

При поперечной силе, изменяющейся вдоль оси стержня, формулы чистого изгиба дают для а некоторую погрешность. Путем несложного анализа можно показать, что эта погрешность имеет порядок по сравнению с единицей, где - размер поперечного сечения в плоскости изгиба; - длина стержня. По определению, данному в § В2, характерной особенностью стержня является то, что размеры его поперечного сечения много меньше длины. Следовательно, отношение относительно мало и соответственно малой оказывается указанная погрешность.

Все сказанное дает основание принять гипотезу плоских сечений. Будем в дальнейшем считать, что совокупность точек, образующих плоскость поперечного сечения до изгиба, образует и после изгиба плоскость, повернутую в пространстве. Это предположение приемлемо в той мере, в какой угловые деформации 7 в сечении можно считать существенно меньшими, чем угловые перемещения, обусловленные изменением кривизны.

Особенностью поперечного изгиба является также наличие нормальных напряжений, возникающих в продольных сечениях бруса, т.е. напряжений между слоями. Эти напряжения возникают только при переменной поперечной силе и весьма малы.

Таким образом, в пределах указанных допущений формулы (4.6) и (4.8), выведенные для определения нормальных напряжений, применимы не только при чистом изгибе, но и при поперечном. В такой же мере применима и формула (4.5), дающая зависимость кривизны стержня от изгибающего момента.

Теперь определим приближенно касательные напряжения при поперечном изгибе. Вычислить эти напряжения проще всего через парные им касательные напряжения, возникающие в продольных сечениях стержня. Выделим из бруса элемент длиной (рис. 4.26, а). При поперечном изгибе моменты, возникающие в левом и правом сечениях элемента, не одинаковы и отличаются на Продольным горизонтальным сечением, проведенным на расстоянии у от нейтрального слоя (рис. 4.26, б), разделим элемент на две части и рассмотрим условия равновесия верхней части. Равнодействующая нормальных сил в левом сечении в пределах заштрихованной площади равна, очевидно,

или, согласно формуле (4.6),

где через обозначена в отличие от у текущая ордината площадки (см. рис. 4.26, б). Полученный интеграл представляет собой статический момент относительно оси х части площади, расположенной выше продольного сечения (выше уровня Обозначим этот статический момент через Тогда

В правом сечении нормальная сила будет другой:

Разность этих сил

должна уравновешиваться касательными силами, возникающими в продольном сечении элемента (см. рис. 4.26, б и в).

В качестве первого приближения примем, что касательные напряжения распределены по ширине сечения равномерно. Тогда

Полученная формула носит название формулы Журавского, по имени русского ученого прошлого века, который впервые провел общее исследование касательных напряжений при поперечном изгибе.

Выражение (4.12) позволяет вычислить касательные напряжения, возникающие в продольных сечениях стержня. Напряжения, образующиеся в поперечных сечениях стержня равны им, как парные. Зависимость от у в сечении определяется через статический момент 5. При подходе к верхней кромке сечения площадь его заштрихованной части (см. рис. 4.26, б) уменьшается до нуля. Здесь, следовательно, При подходе к нижней кромке заштрихованная часть охватывает все сечение. Так как ось центральная, то и здесь Поэтому касательные напряжения, как это следует из формулы (4.12), в верхних и нижних точках сечения равны нулю.

Для стержня прямоугольного сечения со сторонами и (рис. 4.27, а) имеем

Следовательно,

и эпюра касательных напряжений по высоте сечения изображается квадратной параболой. Наибольшее напряжение имеет место при

Для стержня круглого сечения (рис. 4.27, б) путем несложной операции интегрирования можно найти

Кроме того,

Для стержня, имеющего сечение в форме треугольника с основанием с и высотой (рис. 4.27, в),

Максимальное напряжение имеет место на расстоянии от нейтральной оси:

В двух последних примерах наглядно проявляется приближенный характер производимых операций. Это видно из того, что в поперечном сечении касательные напряжения имеют составляющие не только по оси у, но и по оси х. Действительно, примем, как это делали выше, что для точек А, расположенных у контура сечения (рис. 4.28), касательное напряжение направлено по оси у. Разложим вектор на две составляющие - по нормали к контуру и по касательной По условиям нагружения внешняя поверхность стержня свободна от касательных сил. Поэтому напряжения, парные отсутствуют. Следовательно, а полное касательное напряжение вблизи контура направлено по касательной к контуру, и предположение о том, что направлено по оси у, оказывается неверным. Тем самым обнаруживается наличие составляющих по оси х. Для определения этих составляющих следует прибегнуть к более сложным приемам, нежели

рассмотренные ранее. Методами теории упругости можно показать, что в большинстве случаев составляющие по оси х играют существенно меньшую роль, нежели по оси у.

Из рассмотренных выше примеров можно сделать общий вывод, что зона максимальных касательных напряжений расположена приблизительно в средней части высоты сечения, а для нетонкостенных сечений имеет значение порядка

Можно сопоставить абсолютные величины максимальных нормальных и максимальных касательных напряжений, возникающих в поперечных сечениях стержня. Например, для консоли прямоугольного сечения (рис. 4.29) имеем

Это значит, что максимальные касательные напряжения в поперечном сечении относятся к максимальным нормальным напряжениям примерно как высота сечения к длине стержня, т.е. касательные напряжения существенно меньше нормальных. Указанная оценка, с немногочисленными исключениями, сохраняется для всех нетонкостенных стержней. Что же касается тонкостенных стержней, то это вопрос особый.

В связи с малостью ттах расчет на прочность при поперечном изгибе выполняют только по нормальным напряжениям, как и при чистом изгибе. Касательные напряжения во внимание не принимают. Это тем более естественно, что в точках сечения, наиболее удаленных от нейтральной линии, т.е. в наиболее опасных, касательные напряжения в поперечном сечении равны нулю.

Рассматривая качественную сторону явления, следует иметь в виду, что касательные напряжения в поперечных сечениях и парные им напряжения в продольных сечениях, несмотря на свою малость, могут в некоторых случаях существенно повлиять на оценку прочности стержня. Например при поперечном изгибе короткого деревянного бруса возможно разрушение не по поперечному сечению в заделке, а скалывание по продольной плоскости, близкой к нейтральному слою, т.е. там, где касательные напряжения максимальны (рис. 4.30).

Касательные напряжения в продольных сечениях являются выражением существующей связи между слоями стержня при поперечном изгибе. Если эта связь в некоторых слоях нарушена, характер изгиба стержня меняется. Например, в стержне, составленном из листов (рис. 4.31, а), каждый лист при отсутствии сил трения изгибается самостоятельно. Внешняя сила, приходящаяся на лист, равна а наибольшее нормальное напряжение в поперечном сечении листа равно

Рассмотрим балку, находящуюся в условиях плоского прямого изгиба под действием произвольных поперечных нагрузок в главной плоскости Оху (рис. 7.31, а). Рассечем балку на расстоянии х от ее левого конца и рассмотрим равновесие левой части. Влияние правой части в этом случае нужно заменить действием изгибающего момента Л/ и поперечной силы Q y в проведенном сечении (рис. 7.31, б). Изгибающий момент Л7 в общем случае не является постоянным по величине, как это имело место при чистом изгибе, а изменяется по длине балки. Так как изгибающий момент М

согласно (7.14) связан с нормальными напряжениями о = а х, то нормальные напряжения в продольных волокнах также будут изменяться по длине балки. Следовательно, в случае поперечного изгиба нормальные напряжения являются функциями переменных х и у: а х = а х (х, у).

При поперечном изгибе в сечении балки действуют не только нормальные, но и касательные напряжения т (рис. 7.31, в), равнодействующей которых является поперечная сила Q y:

Наличие касательных напряжений х ух сопровождается появлением угловых деформаций у. Касательные напряжения, как и нормальные, распределены по сечению неравномерно. Следовательно, неравномерно будут распределены и угловые деформации, связанные с ними законом Гука при сдвиге. Это означает, что при поперечном изгибе в отличие от чистого изгиба сечения балки не остаются плоскими (нарушается гипотеза Я. Бернулли).

Искривление поперечных сечений можно наглядно продемонстрировать на примере изгиба консольной балки прямоугольного сечения из резины, вызванного приложенной на конце сосредоточенной силой (рис. 7.32). Если предварительно на боковых гранях нанести прямые линии, перпендикулярные к оси балки, то после изгиба эти линии не остаются прямыми. При этом они искривляются так, что наибольший сдвиг имеет место на уровне нейтрального слоя.

Более точными исследованиями установлено, что влияние искажения поперечных сечений на величину нормальных напряжений незначительно. Оно зависит от отношения высоты сечения h к длине балки / и при h / / о х при поперечном изгибе обычно используется формула (7.14), выведенная для случая чистого изгиба.

Второй особенностью поперечного изгиба является наличие нормальных напряжений о у, действующих в продольных сечениях балки и характеризующих взаимное давление между продольными слоями. Эти напряжения возникают на участках, где имеется распределенная нагрузка q, ив местах приложения сосредоточенных сил. Обычно эти напряжения имеют весьма малую величину по сравнению с нормальными напряжениями а х. Особый случай представляет собой действие сосредоточенной силы, в области приложения которой могут возникнуть значительные местные напряжения а у.

Таким образом, бесконечно малый элемент в плоскости Оху в случае поперечного изгиба находится в условиях двухосного напряженного состояния (рис. 7.33).

Напряжения т и о, так же как и напряжение o Y , в общем слу- чае являются функциями координат* и у. Они должны удовлетворять дифференциальным уравнениям равновесия, которые для двухосного напряженного состояния (a z = T yz = = 0) при отсутствии

объемных сил имеют следующий вид:

Эти уравнения могут быть использованы для определения касательных напряжений = т и нормальных напряжений о у. Наиболее просто это сделать для балки прямоугольного поперечного сечения. В этом случае при определении т принимается предположение об их равномерном распределении по ширине сечения (рис. 7.34). Это предположение было сделано известным русским ученым-мостостроителем Д.И. Журавским. Исследования показывают, что это предположение практически точно соответствует действительному характеру распределения касательных напряжений при изгибе для достаточно узких и высоких балок (b « И).

Воспользовавшись первым из дифференциальных уравнений (7.26) и формулой (7.14) для нормальных напряжений а х, получим

Интегрируя это уравнение по переменной у, находим

где f(x) - произвольная функция, для определения которой используем условие отсутствия касательных напряжений на нижней грани балки:

С учетом этого граничного условия из (7.28) находим

Окончательно выражение для касательных напряжений, действующих в поперечных сечениях балки, принимает следующий вид:

В силу закона парности касательных напряжений возникают также касательные напряжения т, = т в продольных сечениях

ху ух

балки, параллельных нейтральному слою.

Из формулы (7.29) видно, что касательные напряжения изменяются по высоте поперечного сечения балки по закону квадратной параболы. Наибольшее значение касательные напряжения имеют в точках на уровне нейтральной оси при у = 0, а в крайних волокнах балки приy = ±h/2 они равны нулю. Используя формулу (7.23) для момента инерции прямоугольного сечения, получим

где F= bh - площадь поперечного сечения балки.

Эпюра т приведена на рис. 7.34.

В случае балок непрямоугольного поперечного сечения (рис. 7.35) определение касательных напряжений т из уравнения равновесия (7.27) затруднительно, так как граничное условие для т не во всех точках контура поперечного сечения известно. Это связано с тем, что в этом случае в поперечном сечении действуют касательные напряжения т, не параллельные поперечной силе Q y . В самом деле, можно показать, что в точках у контура поперечного сечения полное касательное напряжение т направлено по касательной к контуру. Рассмотрим в окрестности произвольной точки контура (см. рис. 7.35) бесконечно малую площадку dF в плоскости поперечного сечения и перпендикулярную к ней площадку dF" на боковой поверхности балки. Если полное напряжение т в точке контура направлено не по касательной, то оно может быть разложено на две составляющие: x vx в направлении нормали v к контуру и х в направлении касательной t к контуру. Следовательно, согласно закону парности касательных напряжений на площадке dF" долж-

но действовать касательное напряжение х равное x vv . Если боковая поверхность свободна от касательных нагрузок, то составляющая x vv = z vx = 0, то есть полное касательное напряжение х должно быть направлено по касательной к контуру поперечного сечения, как это показано, например, в точках Л и В контура.

Следовательно, касательное напряжение х как в точках контура, так и в любой точке поперечного сечения можно разложить на составляющие х их.

Для определения составляющих х касательного напряжения в балках непрямоугольного поперечного сечения (рис. 7.36, б) предположим, что сечение имеет вертикальную ось симметрии и что составляющая х полного касательного напряжения х, как и в случае прямоугольного поперечного сечения, равномерно распределена по его ширине.

С помощью продольного сечения, параллельного плоскости Oxz и проходящего на расстоянии у от нее, и двумя поперечными сечениями хих + dx вырежем мысленно из нижней части балки бесконечно малый элемент длиной dx (рис. 7.36, в).

Предположим, что изгибающий момент М изменяется в пределах длины dx рассматриваемого элемента балки, а поперечная сила Q постоянна. Тогда в поперечных сечениях х и х + dx балки будут действовать одинаковые по величине касательные напряжения х, а нормальные напряжения, возникающие от изгибающих моментов M z m M z + dM„, будут соответственно равны а и а + da. По горизонтальной грани выделенного элемента (на рис. 7.36, в он показан в аксонометрии) согласно закону парности касательных напряжений будут действовать напряжения x v „ = х.

ху ух

Равнодействующие R и R + dR нормальных напряжений о и о + d приложенных к торцам элемента, с учетом формулы (7.14) равны

где

статический момент отсеченной площади F (на рис. 7.36, б заштрихована) относительно нейтральной оси Oz у, - вспомогательная переменная, изменяющаяся в пределах у

Равнодействующая касательных напряжений т, приложенных

ху

к горизонтальной грани элемента, с учетом введенного предположения о равномерном распределении этих напряжений по ширине Ь(у ) может быть найдена по формуле

Условие равновесия элемента?Х=0 дает

Подставляя значения равнодействующих сил, получим

Отсюда с учетом (7.6) получим формулу для определения касательных напряжений:

Эта формула в отечественной литературе называется формулой Д.И. Журавского.

В соответствии с формулой (7.32) распределение касательных напряжений т по высоте сечения зависит от изменения ширины сечения b (у) и статического момента отсеченной части сечения S OTC (y).

С помощью формулы (7.32) касательные напряжения наиболее просто определяются для рассмотренной выше балки прямоугольного сечения (рис. 7.37).

Статический момент отсеченной площади сечения F qtc равен

Подставив 5° тс в (7.32), получим выведенную ранее формулу (7.29).

Формула (7.32) может использоваться при определении касательных напряжений в балках со ступенчато-постоянной шириной сечения. В пределах каждого участка с постоянной шириной касательные напряжения изменяются по высоте сечения по закону квадратной параболы. В местах скачкообразного изменения ширины сечения касательные напряжения также имеют скачки или разрывы. Характер эпюры т для такого сечения приведен на рис. 7.38.

Рис. 7.37

Рис. 7.38

Рассмотрим распределение касательных напряжений в двутавровом сечении (рис. 7.39, а) при изгибе в плоскости Оху. Двутавровое сечение может быть представлено в виде сопряжений трех узких прямоугольников: двух горизонтальных полок и вертикальной стенки.

При вычислении т в стенке в формуле (7.32) нужно принять b(y) - d. В результате получим

где S° 1C вычисляется как сумма статических моментов относительно оси Oz площади полки F n и части стенки F, заштрихованных на рис. 7.39, а:

Наибольшее значение касательные напряжения т имеют на уровне нейтральной оси при у = 0:

где - статический момент площади половины сечения относительно нейтральной оси:

Для прокатных двутавров и швеллеров величина статического момента половины сечения приведена в сортаменте.

Рис. 7.39

На уровне примыкания стенки к полкам касательные напряжения 1 ? равны

где S" - статический момент площади сечения полки относительно нейтральной оси:

Вертикальные касательные напряжения т в полках двутавра не могут быть найдены по формуле (7.32), так, как вследствие того что b :»t, предположение об их равномерном распределении по ширине полки становится неприемлемым. На верхней и нижней гранях полки эти напряжения должны быть равны нулю. Поэтому т в

ух

полках весьма малы и не представляют практического интереса. Значительно больший интерес представляют горизонтальные касательные напряжения в полках т, для определения которых рассмотрим равновесие бесконечно малого элемента, выделенного из нижней полки (рис. 7.39, б).

Согласно закону парности касательных напряжений на продольной грани этого элемента, параллельной плоскости Оху, действует напряжение x xz , равное по величине напряжению т, действующему в поперечном сечении. Вследствие малой толщины полки двутавра эти напряжения можно принять равномерно распределенными по толщине полки. С учетом этого из уравнения равновесия элемента 5^=0 будем иметь

Отсюда находим

Подставляя в эту формулу выражение для а х из (7.14) и учитывая, что получим

Учитывая, что

где S° TC - статический момент отсеченной площади полки (на рис. 7. 39, а заштрихована дважды) относительно оси Oz, окончательно получим

В соответствии с рис. 7.39, а

где z - переменная, отсчитываемая от оси Оу.

С учетом этого формулу (7.34) можно представить в виде

Отсюда видно, что горизонтальные касательные напряжения изменяются по линейному закону вдоль оси Oz и принимают наибольшее значение при z = d/ 2:

На рис. 7.40 показаны эпюры касательных напряжений т и т^, а также направления этих напряжений в полках и стенке двутавра при действии в сечении балки положительной поперечной силы Q . Касательные напряжения образно говоря образуют в сечении двутавра непрерывный поток, направленный в каждой точке параллельно контуру сечения.

Перейдем к определению нормальных напряжений а у в продольных сечениях балки. Рассмотрим участок балки с равномерно распределенной нагрузкой по верхней грани (рис. 7.41). Поперечное сечение балки примем прямоугольным.

Используем для определения второе из дифференциальных уравнений равновесия (7.26). Подставив в это уравнение формулу (7.32) для касательных напряжений т ух, с учетом (7.6) получим

Выполнив интегрирование по переменной у, находим

Здесь f(x) - произвольная функция, которая определяется с помощью граничного условия. По условиям задачи балка нагружена равномерно распределенной нагрузкой q по верхней грани, а нижняя грань свободна от нагрузок. Тогда соответствующие граничные условия записываются в виде

Используя второе из этих условий, получим

С учетом этого формула для напряжений а у примет следующий вид:

Из этого выражения видно, что напряжения о изменяются по высоте сечения по закону кубической параболы. При этом выполняются оба граничных условия (7.35). Наибольшее значение напряжение принимает на верхней поверхности балки при y=-h /2:

Характер эпюры а у приведен на рис. 7.41.

Для оценки величин наибольших напряжений о. а, и т и со- отношений между ними рассмотрим, например, изгиб консольной балки прямоугольного поперечного сечения с размерами bxh, находящейся под действием равномерно распределенной нагрузки, приложенной к верхней грани балки (рис. 7.42). Наибольшие по абсолютной величине напряжения возникают в заделке. В соответствии с формулами (7.22), (7.30) и (7.37) эти напряжения равны

Так как обычно для балок l/h » 1, то из полученных выражений следует, что напряжения с х по абсолютной величине превосходят напряжения т и, особенно, а у. Так, например, при 1/И = = 10 получим а х /т ху = 20‘, о х /с у = 300.

Таким образом, наибольший практический интерес при расчете балок на изгиб представляют напряжения а х, действующие в поперечных сечениях балки. Напряжения с у, характеризующие взаимное давление продольных слоев балки, пренебрежимо малы по сравнению с o v .

Полученные в этом примере результаты свидетельствуют о том, что введенные в § 7.5 гипотезы вполне обоснованы.

Вырежем из балки в окрестности некоторой точки элементарный параллелепипед 1-2-3-4 (рис. 45.7, а) боковые грани которого 1-2 и 3-4 расположены в поперечных сечениях балки, а боковые грани 2-3 и 1-4 параллельны нейтральному слою. Длина параллелепипеда (в направлении, перпендикулярном к чертежу) равна ширине балки. Напряжения, действующие по граням параллелепипеда, рассмотрены в § 7.7 и 8.7; они показаны на рис. 45.7,б. По граням 1-2 и 3-4 действуют нормальные напряжения а и касательные напряжения , а по граням 2-3 и 1-4 - только касательные напряжения . Направления этих напряжений, показанные на рис. 45.7, б, соответствуют случаю, когда в поперечных сечениях рассматриваемого участка балки действуют положительные изгибающий момент и поперечная сила.

Величины напряжений определяются формулами (17.7) и (28.7).

Передняя и задняя грани элементарного параллелепипеда совпадают с боковыми поверхностями балки, свободными от нагрузки, а потому по этим граням напряжения равны нулю. Следовательно, параллелепипед находится в условиях плоского напряженного состояния.

В площадках, наклоненных под различными углами к боковым граням элементарного параллелепипеда, действуют нормальные и касательные напряжения, величины которых можно определить по формулам (6.3) и (7.3). Имеются две взаимно перпендикулярные площадки, по которым касательные напряжения равны нулю. Эти площадки, как известно, называются главными площадками, а нормальные напряжения, действующие в них, - главными напряжениями (см. § 3.3). В площадках, наклоненных под углами в 45° к главным площадкам, действуют экстремальные касательные напряжения; эти площадки называются площадками сдвига (см § 4.3).

Определение главных нормальных и экстремальных касательных напряжений в общем случае плоского напряженного состояния производится, как известно, по формулам (12.3) и (15.3):

Подставим в эти формулы значения

Здесь - нормальное и касательное напряжения в рассматриваемой точке, действующие по площадке, совпадающей с поперечным сечением балки, и определяемые по формулам (17.7) и (28.7).

Из формулы (32.7) видно, что напряжение отах всегда положительно, a всегда отрицательно. Поэтому в соответствии с правилом, согласно которому напряжение отах следует обозначить а напряжение обозначить Промежуточное главное напряжение возникает в главных площадках, параллельных плоскости чертежа (рис. 45.7).

Угол наклона главных площадок к боковым граням элементарного параллелепипеда можно определить способом, указанным в § 3.3.

Величины главных нормальных и экстремальных касательных напряжений и положения площадок, в которых они действуют, можно определить и с помощью круга Мора (см. § 5.3).

Рассмотрим теперь более подробно напряженное состояние в точках прямоугольного поперечного сечения балки. Предположим, что, изгибающий момент М и поперечная сила Q в этом сечении положительны.

В поперечном сечении в точках, наиболее удаленных от нейтральной оси, касательные напряжения равны нулю, а нормальные напряжения а равны (в точке а на рис. 46.7, а) и (в точке а на рис. 46.7, а). Следовательно, для каждой из этих точек одна из главных площадок совпадает с поперечным сечением балки, а две другие перпендикулярны к поперечному сечению (нормальные напряжения в них равны нулю). В этих точках имеется одноосное напряженное состояние.

На рис. 46.7, а показаны элементарные параллелепипеды, боковые грани которых параллельны двум главным площадкам; третья главная площадка параллельна плоскости чертежа. Экстремальные касательные напряжения в точках а к а определяются по формуле

В поперечном сечении в точках, расположенных на нейтральной оси (точка b на рис. 46.7, а), нормальное напряжение о равно нулю, а касательное напряжение . В этих точках напряженное состояние представляет собой чистый сдвиг с экстремальными касательными напряжениями

Две главные площадки в каждой из этих точек наклонены под углами ±45° к оси балки (см. рис. 46.7, а), а главные напряжении в них .

Третья главная площадка параллельна плоскости чертежа; напряжения в ней равны нулю.

В поперечном сечении в остальных точках напряжения а и отличны от нуля. На разных расстояниях от нейтральной оси соотношения между величинами а и различны, а потому различны и углы наклона главных площадок к оси балки. В каждой из этих точек не равные нулю главные напряжения имеют противоположные знаки, т. е. напряженное состояние представляет собой одновременно растяжение и сжатие по двум взаимно перпендикулярным направлениям.

Определив величины главных напряжений для ряда точек, расположенных в одном поперечном сечении балки на различных расстояниях от нейтральной оси, можно затем по этим величинам построить эпюры главных напряжений. Эти эпюры характеризуют изменение главных напряжений по высоте балки.

Аналогично можно вычислить значения экстремальных касательных напряжений и построить эпюры этих напряжений. На рис. 46.7, б для прямоугольного поперечного сечения балки, в котором действуют положительные изгибающий момент М и поперечная сила Q, показаны эпюры напряжений , возникающих в площадках, совпадающих с поперечным сечением, эпюры главных напряжений и и экстремальных касательных напряжений .

Определим для какой-либо точки балки направление одного из главных напряжений, а затем возьмем на этом направлении вторую точку, достаточно близкую к первой. Найдя направление главного напряжения для второй точки, аналогичным способом отметим третью точку и т. д.

Соединив найденные таким путем точки, получим так называемую траекторию главных напряжений. Через каждую точку проходят две такие траектории, перпендикулярные друг к другу; одна из них представляет собой траекторию главных растягивающих напряжений, а другая - главных сжимающих. Траектории главных растягивающих напряжений образуют одно семейство кривых, а траектории главных сжимающих напряжений - другое семейство. Касательная к траектории в любой ее точке дает направление соответствующего (растягивающего или сжимающего) главного напряжения в этой точке.

На рис. 47.7 показана часть фасада некоторой балки с нанесенными траекториями главных напряжений. Все они пересекают ось балки под углами ±45° и подходят к верхней и нижней граням балки под углами 0 и 90°; это соответствует направлениям главных площадок (и главных напряжений), показанным на рис. 46.7, а.