). Среди средств общего назначения, используемых в хемометрике, особое место занимает пакет MatLab. Его популярность необычайно высока. Это объясняется тем, что MatLab является мощным и универсальным обработки многомерных данных. Сама структура пакета делает его удобным средством для проведения матричных вычислений. Спектр проблем, исследование которых может, осуществлено при помощи MatLab, охватывает: матричный анализ, обработку сигналов и изображений, нейронные сети и многие другие. MatLab - это язык высокого уровня, имеющий открытый код, что дает возможность опытным пользователям разбираться в запрограммированных алгоритмах. Простой встроенный язык программирования позволяет легко создавать собственные алгоритмы. За много лет использования MatLab создано огромное количество функций и ToolBox (пакетов специализированных средств). Самым популярным является пакет PLS ToolBox компании Eigenvector Research, Inc .

1. Базовые сведения

1.1. Рабочая среда MatLab

Чтобы запустить программу дважды щелкните на иконку . Перед Вами откроется рабочая среда, изображенная на рисунке.

Рабочая среда MatLab 6.х немного отличается от рабочей среды предыдущих версий, она имеет более удобный интерфейс для доступа ко многим вспомогательным элементам

Рабочая среда MatLab 6.х содержит следующие элементы:

панель инструментов с кнопками и раскрывающимся списком;

окно с вкладками Launch Pad и Workspace , из которого можно получить доступ к различным модулям ToolBox и к содержимому рабочей среды;

окно с вкладками Command History и Current Directory , предназначенное для просмотра и повторного вызова ранее введенных команд, а также для установки текущего каталога;

командное окно, в котором находится приглашение к вводу » и мигающий вертикальный курсор;

строку состояния.

Если в рабочей среде MatLab 6.х отсутствуют некоторые окна, приведенные на рисунке, то следует в меню View выбрать соответствующие пункты: Command Window , Command History , Current Directory , Workspase , Launch Pad .

Команды следует набирать в командном окне. Символ » , обозначающий приглашение к вводу командной строки, набирать не нужно. Для просмотра рабочей области удобно использовать полосы скроллинга или клавиши Home , End , для перемещения влево или вправо, и PageUp , PageDown для перемещения вверх или вниз. Если вдруг после перемещения по рабочей области командного окна пропала командная строка с мигающим курсором, просто нажмите Enter .

Важно помнить, что набор любой команды или выражения должен заканчиваться нажатием на Enter , для того, чтобы программа MatLab выполнила эту команду или вычислила выражение.

1.2. Простейшие вычисления

Наберите в командной строке 1+2 и нажмите Enter . В результате в командном окне MatLab отображается следующее:

Рис. 2 Графическое представление метода главных компонент

Что сделала программа MatLab? Сначала она вычислила сумму 1+2 , затем записала результат в специальную переменную ans и вывела ее значение, равное 3 , в командное окно. Ниже ответа расположена командная строка с мигающим курсором, обозначающая, что MatLab готов к дальнейшим вычислениям. Можно набирать в командной строке новые выражения и находить их значения. Если требуется продолжить работу с предыдущим выражением, например, вычислить (1+2)/4.5 , то проще всего воспользоваться уже имеющимся результатом, который хранится в переменной ans . Наберите ans/4.5 (при вводе десятичных дробей используется точка) и нажмите Enter , получается

Рис. 3 Графическое представление метода главных компонент

1.3. Эхо команд

Выполнение каждой команды в MatLab сопровождается эхом. В приведенном выше примере - это ответ ans = 0.6667 . Часто эхо затрудняет восприятие работы программы и тогда его можно отключить. Для этого команда должна завершаться символом точка с запятой. Например

Рис. 4 Пример ввода функции ScoresPCA

1.4. Сохранение рабочей среды. MAT файлы

Самый простой способ сохранить все значения переменных - использовать в меню File пункт Save Workspase As. При этом появляется диалоговое окно Save Workspase Variables , в котором следует указать каталог и имя файла. По умолчанию предлагается сохранить файл в подкаталоге work основного каталога MatLab. Программа сохранит результаты работы в файле с расширением mat . Теперь можно закрыть MatLab. В следующем сеансе работы для восстановления значений переменных следует открыть этот сохраненный файл при помощи подпункта Open меню File . Теперь все переменные, определенные в прошлом сеансе, опять стали доступными. Их можно использовать во вновь вводимых командах.

1.5. Журнал

В MatLab имеется возможность записывать исполняемые команды и результаты в текстовый файл (вести журнал работы), который потом можно прочитать или распечатать из текстового редактора. Для начала ведения журнала служит команда diary . В качестве аргумента команды diary следует задать имя файла, в котором будет храниться журнал работы. Набираемые далее команды и результаты их исполнения будут записываться я в этот файл, например последовательность команд

производит следующие действия:

открывает журнал в файле exampl-1.txt ;

производит вычисления;

сохраняет все переменные в MAT файле work-1.mat ;

сохраняет журнал в файле exampl-1.txt в подкаталоге work корневого каталога MatLab и закрывает MatLab;

Посмотрите содержимое файла exampl-1.txt в каком-нибудь текстовом редакторе. В файле окажется следующий текст:

a1=3; a2=2.5; a3=a1+a2 Save work-1 quit

1.6. Система помощи

Окно справки MatLab появляется после выбора опции Help Window в меню Help или нажатием кнопки вопроса на панели инструментов. Эта же операция может быть выполнена при наборе команды helpwin . Для вывода окна справки по отдельным разделам, наберите helpwin topic . Окно справки предоставляет Вам такую же информацию, как и команда help , но оконный интерфейс обеспечивает более удобную связь с другими разделами справки. Используя адрес Web-страницы фирмы Math Works , вы можете выйти на сервер фирмы и получить самую последнюю информацию по интересующим вас вопросам. Вы можете ознакомиться с новыми программными продуктами или найти ответ на возникшие проблемы на странице технической поддержки .

2. Матрицы

2.1. Скаляры, векторы и матрицы

В MatLab можно использовать скаляры, векторы и матрицы. Для ввода скаляра достаточно приписать его значение какой-то переменной, например

Заметим, что MatLab различает заглавные и прописные буквы, так что p и P - это разные переменные. Для ввода массивов (векторов или матриц) их элементы заключают в квадратные скобки. Так для ввода вектора-строки размером 1×3, используется следующая команда, в которой элементы строки отделяются пробелами или запятыми.

При вводе вектора-столбца элементы разделяют точкой с запятой. Например,

Вводить небольшие по размеру матрицы удобно прямо из командной строки. При вводе матрицу можно рассматривать как вектор-столбец, каждый элемент которого является вектором-строкой.

или матрицу можно трактовать как вектор строку, каждый элемент которой является вектором-столбцом.

2.2. Доступ к элементам

Доступ к элементам матриц осуществляется при помощи двух индексов - номеров строки и столбца, заключенных в круглые скобки, например команда B(2,3) выдаст элемент второй строки и третьего столбца матрицы B . Для выделения из матрицы столбца или строки следует в качестве одного из индексов использовать номер столбца или строки матрицы, а другой индекс заменить двоеточием. Например, запишем вторую строку матрицы A в вектор z

Также можно осуществлять выделение блоков матриц при помощи двоеточия. Например, выделим из матрицы P блок отмеченный цветом

Если необходимо посмотреть переменные рабочей среды, в командной строке необходимо набрать команду whos .

Видно, что в рабочей среде содержатся один скаляр (p ), четыре матрицы (A, B, P, P1 ) и вектор-строка (z ).

2.3. Основные матричные операции

При использовании матричных операций следует помнить, что для сложения или вычитания матрицы должны быть одного размера, а при перемножении число столбцов первой матрицы обязано равняться числу строк второй матрицы. Сложение и вычитание матриц, так же как чисел и векторов, осуществляется при помощи знаков плюс и минус

а умножение - знаком звездочка * . Введем матрицу размером 3×2

Умножение матрицы на число тоже осуществляется при помощи звездочки, причем умножать на число можно как справа, так и слева. Возведение квадратной матрицы в целую степень производится с использованием оператора ^

Проверьте полученный результат, умножив матрицу Р саму на себя.

2.4. Создание матриц специального вида

Заполнение прямоугольной матрицы нулями производится встроенной функцией zeros

Единичная матрица создается при помощи функции eye

Матрица, состоящая из единиц, образуется в результате вызова функции ones

MatLab предоставляет возможность заполнения матриц случайными числами. Результатом функции rand является матрица чисел, равномерно распределенных между нулем и единицей, а функции randn - матрица чисел, распределенных по нормальному закону с нулевым средним и единичной дисперсией.

Функция diag формирует диагональную матрицу из вектора, располагая элементы по диагонали.

2.5. Матричные вычисления

MatLab содержит множество различных функций для работы с матрицами. Так, например, транспонирование матрицы производится при помощи апострофа "

Нахождение обратной матрицы проводится с помощью функции inv для квадратных матриц

3. Интегрирование MatLab и Excel

Интегрирование MatLab и Excel позволяет пользователю Excel обращаться к многочисленным функциям MatLab для обработки данных, различных вычислений и визуализации результата. Надстройка excllink.xla реализует данное расширение возможностей Excel. Для связи MatLab и Excel определены специальные функции.

3.1. Конфигурирование Excel

Перед тем как настраивать Excel на совместную работу с MatLab, следует убедиться, что Excel Link входит в установленную версию MatLab. В подкаталоге exclink основного каталога MatLab или подкаталога toolbox должен находиться файл с надстройкой excllink.xla . Запустите Excel и в меню Tools выберите пункт Add-ins . Откроется диалоговое окно, содержащее информацию о доступных в данный момент надстройках. Используя кнопку Browse , укажите путь к файлу excllink.xla . В списке надстроек диалогового окна появится строка Excel Link 2.0 for use with MatLab с установленным флагом. Нажмите OK , требуемая надстройка добавлена в Excel.

Обратите внимание, что в Excel теперь присутствует панель инструментов Excel Link , содержащая три кнопки: putmatrix , getmatrix , evalstring . Эти кнопки реализуют основные действия, требуемые для осуществления взаимосвязи между Excel и MatLab - обмен матричными данными, и выполнение команд MatLab из среды Excel. При повторных запусках Excel надстройка excllink.xla подключается автоматически.

Согласованная работа Excel и MatLab требует еще нескольких установок, которые приняты в Excel по умолчанию (но могут быть изменены). В меню Tools перейдите к пункту Options , открывается диалоговое окно Options . Выберите вкладку General и убедитесь, что флаг R1C1 reference style выключен, т.е. ячейки нумеруются A1 , A2 и т.д. На вкладке Edit должен быть установлен флаг Move selection after Enter .

3.2. Обмен данными между MatLab и Excel

Запустите Excel, проверьте, что проделаны все необходимые настройки так, как описано в предыдущем разделе (MatLab должен быть закрыт). Введите в ячейки с A1 по C3 матрицу, для отделения десятичных знаков используйте точку в соответствии с требованиями Excel.

Выделите на листе данные ячейки и нажмите кнопку putmatrix , появляется окно Excel с предупреждением о том, что MatLab не запущен. Нажмите OK , дождитесь открытия MatLab.

Появляется диалоговое окно Excel со строкой ввода, предназначенной для определения имени переменной рабочей среды MatLab, в которую следует экспортировать данные из выделенных ячеек Excel. Введите к примеру, М и закройте окно при помощи кнопки OK . Перейдите к командному окну MatLab и убедитесь, что в рабочей среде создалась переменная М , содержащая массив три на три:

Проделайте некоторые операции в MatLab с матрицей М , например, обратите ее.

Вызов inv для обращения матрицы, как и любой другой команды MatLab можно осуществить прямо из Excel. Нажатие на кнопку evalstring , расположенную на панели Excel Link , приводит к появлению диалогового окна, в строке ввода которого следует набрать команду MatLab

IM=inv(M) .

Результат аналогичен полученному при выполнении команды в среде MatLab.

Вернитесь в Excel, сделайте текущей ячейку A5 и нажмите кнопку getmatrix . Появляется диалоговое окно со строкой ввода, в которой требуется ввести имя переменной, импортируемой в Excel. В данном случае такой переменной является IM . Нажмите OK , в ячейки с A5 по A7 введены элементы обратной матрицы.

Итак, для экспорта матрицы в MatLab следует выделить подходящие ячейки листа Excel, а для импорта достаточно указать одну ячейку, которая будет являться верхним левым элементом импортируемого массива. Остальные элементы запишутся в ячейки листа согласно размерам массива, переписывая содержащиеся в них данные, поэтому следует соблюдать осторожность при импорте массивов.

Вышеописанный подход является самым простым способом обмена информацией между приложениями - исходные данные содержатся в Excel, затем экспортируются в MatLab, обрабатываются там некоторым образом и результат импортируется в Excel. Пользователь переносит данные при помощи кнопок панели инструментов Excel Link . Информация может быть представлена в виде матрицы, т.е. прямоугольной области рабочего листа. Ячейки, расположенные в строку или столбец, экспортируются, соответственно, в векторы -строки и векторы -столбцы MatLab. Аналогично происходит и импорт векторов-строк и векторов-столбцов в Excel.

4. Программирование

4.1. М-файлы

Работа из командной строки MatLab затрудняется, если требуется вводить много команд и часто их изменять. Ведение дневника при помощи команды diary и сохранение рабочей среды незначительно облегчают работу. Самым удобным способом выполнения групп команд MatLab является использование М-файлов, в которых можно набирать команды, выполнять их все сразу или частями, сохранять в файле и использовать в дальнейшем. Для работы с М-файлами предназначен редактор М-файлов. С его помощью можно создавать собственные функции и вызывать их, в том числе и из командного окна.

Раскройте меню File основного окна MatLab и в пункте New выберите подпункт M-file . Новый файл открывается в окне редактора M-файлов, которое изображено на рисунке.

М-файлы в MatLab бывают двух типов: файл-программы (Script M-Files ), содержащие последовательность команд, и файл-функции, (Function M-Files ), в которых описываются функции, определяемые пользователем.

4.2. Файл-программа

Наберите в редакторе команды, приводящие к построению двух графиков на одном графическом окне

Сохраните теперь файл с именем mydemo.m в подкаталоге work основного каталога MatLab, выбрав пункт Save as меню File редактора. Для запуска на выполнение всех команд, содержащихся в файле, следует выбрать пункт Run в меню Debug . На экране появится графическое окно Figure 1 , содержащее графики функций.

Команды файл-программы осуществляют вывод в командное окно. Для подавления вывода следует завершать команды точкой с запятой. Если при наборе сделана ошибка и MatLab не может распознать команду, то происходит выполнение команд до неправильно введенной, после чего выводится сообщение об ошибки в командное окно.

Очень удобной возможностью, предоставляемой редактором М-файлов, является выполнение части команд. Закройте графическое окно Figure 1 . Выделите при помощи мыши, удерживая левую кнопку, или клавишами со стрелками при нажатой клавише Shift , первые четыре команды и выполните их из пункта Text . Обратите внимание, что в графическое окно вывелся только один график, соответствующий выполненным: командам. Запомните, что для выполнения части команд их следует выделить и нажать клавишу F9 .

Отдельные блоки М-файла можно снабжать комментариями, которые пропускаются при выполнении, но удобны при работе с М-файлом. Комментарии начинаются со знака процента и автоматически выделяются зеленым цветом, например:

Открытие существующего М-файла производится при помощи пункта Open меню File рабочей среды, либо редактора М-файлов.

4.3. Файл-функция

Рассмотренная выше файл-программа является только последовательностью команд MatLab, она не имеет входных и выходных аргументов. Для использования численных методов и при программировании собственных приложений в MatLab необходимо уметь составлять файл-функции, которые производят необходимые действия с входными аргументами и возвращают результат действия в выходных аргументах. Разберем несколько простых примеров, позволяющих понять работу с файл-функциями.

Проводя предобработку данных многомерного анализа хемометрики часто применяет центрирование . Имеет смысл один раз написать файл-функцию, а потом вызывать его всюду, где необходимо производить центрирование. Откройте в редакторе М-файлов новый файл и наберите

Слово function в первой строке определяет, что данный файл содержит файл-функцию. Первая строка является заголовком функции, в которой размещается имя функции и списка входных и выходных аргументов. В примере имя функции centering , один входной аргумент X и один выходной - Xc. После заголовка следуют комментарии, а затем - тело функции (оно в данном примере состоит из двух строк), где и вычисляется ее значение. Важно, что вычисленное значение записывается в Xc . Не забудьте поставить точку с запятой для предотвращения вывода лишней информации на экран. Теперь сохраните файл в рабочем каталоге. Обратите внимание, что выбор пункта Save или Save as меню File приводит к появлению диалогового окна сохранения файла, в поле File name которого уже содержится название centering . Не изменяйте его, сохраните файл функцию в файле с предложенным именем!

Теперь созданную функцию можно использовать так же, как и встроенные sin , cos и другие. Вызов собственных функций может осуществляться из файл-программы и из другой файл-функции. Попробуйте сами написать файл-функцию, которая будет шкалировать матрицы, т.е. делить каждый столбец на величину среднеквадратичного отклонения по этому столбцу.

Можно написать файл-функции с несколькими входными аргументами, которые размещаются в списке через запятую. Можно также создавать и функции, возвращающие несколько значений. Для этого выходные аргументы добавляются через запятую в список выходных аргументов, а сам список заключается в квадратные скобки. Хорошим примером является функция, переводящая время, заданное в секундах, в часы, минуты и секунды.

При вызове файл-функций с несколькими выходными аргументами результат следует записывать в вектор соответствующей длины.

4.4 Создание графика

MatLab имеет широкие возможности для графического изображения векторов и матриц, а также для создания комментариев и печати графиков. Дадим описание несколько важных графических функций.

Функция plot имеет различные формы, связанные с входными параметрами, например plot(y) создает кусочно-линейный график зависимости элементов y от их индексов. Если в качестве аргументов заданы два вектора, то plot(x,y) создаст график зависимости y от x . Например, для построения графика функции sin в интервале от 0 до 2π, сделаем следующее

Программа построила график зависимости, который отображается в окне Figure 1

MatLab автоматически присваивает каждому графику свой цвет (исключая случаи, когда это делает пользователь), что позволяет различать наборы данных.

Команда hold on позволяет добавлять кривые на существующий график. Функция subplot позволяет выводить множество графиков в одном окне

4.5 Печать графиков

Пункт Print в меню File и команда print печатают графику MatLab. Меню Print вызывает диалоговое окно, которое позволяет выбирать общие стандартные варианты печати. Команда print обеспечивает большую гибкость при выводе выходных данных и позволяет контролировать печать из М-файлов. Результат может быть послан прямо на принтер, выбранный по умолчанию, или сохранен в заданном файле.

5. Примеры программ

В этом разделе приведены наиболее употребительные алгоритмы, используемые при анализе многомерных данных. Рассмотрены как простейшие методы преобразования данных центрирование и шкалирование, так и алгоритмы для анализа данных - PCA, PLS.

5.1. Центрирование и шкалирование

Часто при анализе требуется преобразовать исходные данные. Наиболее используемыми методами преобразования данных выступают центрирование и шкалирование каждой переменной на стандартное отклонение. В приводился код функции для центрирования матрицы. Поэтому ниже показан только код функции, которая шкалирует данные. Обратите внимание, что исходная матрица должна быть центрирована

function Xs = scaling(X) % scaling: the output matrix is Xs % matrix X must be centered Xs = X * inv(diag(std(X))); %end of scaling

5.2. SVD/PCA

Наиболее популярным способом сжатия данных в многомерном анализе является метод главных компонент (PCA) . С математической точки зрения PCA - это декомпозиция исходной матрицы X , т.е. представление ее в виде произведения двух матриц T и P

X = TP t + E

Матрица T называется матрицей счетов (scores) , матрица - матрицей остатков.

Простейший способ найти матрицы T и P - использовать SVD разложение через стандартную функцию MatLab, называемую svd .

function = pcasvd(X) Svd(X); T = U * D; P = V; %end of pcasvd

5.3 PCA/NIPALS

Для построения PCA счетов и нагрузок, используется рекуррентный алгоритм NIPALS , который на каждом шагу вычисляет одну компоненту. Сначала исходная матрица X преобразуется (как минимум – центрируется; см. ) и превращается в матрицу E 0 , a =0. Далее применяют следующий алгоритм.

t 2. p t = t t E a / t t t 3. p = p / (p t p ) ½ 4. t = E a p / p t p 5. Проверить сходимость, если нет, то идти на 2

После вычисления очередной (a -ой) компоненты, полагаем t a =t и p a =p E a +1 = E a – t p a на a +1.

Код алгоритма NIPALS может быть написан и самими читателями, в данном же пособии авторы приводят свой вариант. При расчете PCA, можно вводить число главных компонент (переменная numberPC ). Если же не известно, сколько необходимо компонент, следует написать в командной строке = pcanipals (X) и тогда программа задаст число компонент равным наименьшему из показателей размерности исходной матрицы X .

function = pcanipals(X, numberPC) % calculation of number of components = size(X); P=; T=; If lenfth(numberPC) > 0 pc = numberPC{1}; elseif (length(numberPC) == 0) & X_r < X_c pc = X_r; else pc = X_c; end; for k = 1:pc P1 = rand(X_c, 1); T1 = X * P1; d0 = T1"*T1; P1 = (T1" * X/(T1" * T1))"; P1 = P1/norm(P1); T1 = X * P1; d = T1" * T1; While d - d0 > 0.0001; P1 = (T1" * X/(T1" * T1)); P1 = P1/norm(P1); T1 = X * P1; d0 = T1"*T1; P1 = (T1" * X/(T1" * T1)); P1 = P1/norm(P1); T1 = X * P1; d = T1"*T1; end X = X - T1 * P1; P = cat(1, P, P1"); T = ; end

О вычислении PCA с помощью надстройки Chemometrics рассказано в пособии

5.4 PLS1

Самым популярным способом для многомерной калибровки является метод проекции на латентные структуры (PLS). В этом методе проводится одновременная декомпозиция матрицы предикторов X и матрицы откликов Y :

X =TP t +E Y =UQ t +F T =XW (P t W ) –1

Проекция строится согласованно – так, чтобы максимизировать корреляцию между соответствующими векторами X -счетов t a и Y -счетов u a . Если блок данных Y включает несколько откликов (т.е. K >1), можно построить две проекции исходных данных – PLS1 и PLS2. В первом случае для каждого из откликов y k строится свое проекционное подпространство. При этом и счета T (U ) и нагрузки P (W , Q ) , зависят от того, какой отклик используется. Этот подход называется PLS1. Для метода PLS2 строится только одно проекционное пространство, которое является общим для всех откликов.

Детальное описание метода PLS приведено в этой книге Для построения PLS1 счетов и нагрузок, используется рекуррентный алгоритм. Сначала исходные матрицы X и Y центрируют

= mc(X); = mc(Y);

и они превращаются в матрицу E 0 и вектор f 0 , a =0. Далее к ним применяет следующий алгоритм

1. w t = f a t E a 2. w = w / (w t w ) ½ 3. t = E a w 4. q = t t f a / t t t 5. u = q f a / q 2 6. p t = t t E a / t t t

После вычисления очередной (a -ой) компоненты, полагаем t a =t и p a =p . Для получения следующей компоненты надо вычислить остатки E a +1 = E a – t p t и применить к ним тот же алгоритм, заменив индекс a на a +1.

Приведем код этого алгоритма, взятый из книги

function = pls(x, y) %PLS: calculates a PLS component. %The output vectors are w, t, u, q and p. % % Choose a vector from y as starting vector u. u = y(:, 1); % The convergence criterion is set very high. kri = 100; % The commands from here to end are repeated until convergence. while (kri > 1e - 10) % Each starting vector u is saved as uold. uold = u; w = (u" * x)"; w = w/norm(w); t = x * w; q = (t" * y)"/(t" * t); u = y * q/(q" * q); % The convergence criterion is the norm of u-uold divided by the norm of u. kri = norm(uold - u)/norm(u); end; % After convergence, calculate p. p = (t" * x)"/(t" * t); % End of pls

О вычислении PLS1 с помощью надстройки Chemometrics Add In рассказано в пособии Проекционные методы в системе Excel.

5.5 PLS2

Для PLS2 алгоритм выглядит следующим образом. Сначала исходные матрицы X и Y преобразуют (как минимум – центрируют; см. ), и они превращаются в матрицы E 0 и F 0 , a =0. Далее к ним применяет следующий алгоритм.

1. Выбрать начальный вектор u 2. w t = u t E a 3. w = w / (w t w ) ½ 4. t = E a w 5. q t = t t F a / t t t 6. u = F a q / q t q 7. Проверить сходимость, если нет, то идти на 2 8. p t = t t E a / t t t

После вычисления очередной (a -ой) PLS2 компоненты надо положить: t a =t , p a =p, w a =w , u a =u и q a =q . Для получения следующей компоненты надо вычислить остатки E a +1 = E a – t p t и F a +1 = F a – tq t и применить к ним тот же алгоритм, заменив индекс a на a +1.

Приведем код, которой также заимствован из из книги .

function = plsr(x, y, a) % PLS: calculates a PLS component. % The output matrices are W, T, U, Q and P. % B contains the regression coefficients and SS the sums of % squares for the residuals. % a is the numbers of components. % % For a components: use all commands to end. For i=1:a % Calculate the sum of squares. Use the function ss. sx = ; sy = ; % Use the function pls to calculate one component. = pls(x, y); % Calculate the residuals. x = x - t * p"; y = y - t * q"; % Save the vectors in matrices. W = ; T = ; U = ; Q = ; P = ; end; % Calculate the regression coefficients after the loop. B=W*inv(P"*W)*Q"; % Add the final residual SS to the sum of squares vectors. sx=; sy=; % Make a matrix of the ss vectors for X and Y. SS = ; %Calculate the fraction of SS used. = size(SS); tt = (SS * diag(SS(1,:).^(-1)) - ones(a, b)) * (-1) %End of plsr function = ss(x) %SS: calculates the sum of squares of a matrix X. % ss=sum(sum(x. * x)); %End of ss

О вычислении PLS2 с помощью надстройки Chemometrics Add In рассказано в пособии Проекционные методы в системе Excel.

Заключение

MatLab ­ это это очень популярный инструмент для анализа данных. По данным опроса, его используют до трети всех исследователей, тогда как программа the Unsrambler применяется только 16% ученых. Главным недостатком MatLab являются его высокая цена. Кроме того, MatLab хорош для рутинных расчетов. Отсутствие интерактивности делает его неудобным при выполнении поисковых, исследовательских расчетов для новых, неисследованных массивов данных.

Работа из командной строки MatLab затруднена, если требуется вводить много команд и часто их изменять. Ведение дневника при помощи команды diary и сохранение рабочей среды лишь незначительно облегчает работу. Самым удобным способом выполнения команд MatLab является использование М-файлов, в которых можно набирать команды, выполнять их все сразу или частями, сохранять в файле и использовать в дальнейшем. Для работы с М-файлами предназначен редактор М-файлов. При помощи этого редактора можно создавать собственные функции и вызывать их, в том числе и из командной строки.

Раскройте меню File основного окна MatLab и в пункте New выберите подпункт M-file . Новый файл открывается в окне редактора М-файлов.

Наберите в редакторе команды, приводящие к построению двух графиков в одном графическом окне:

x = ;
f = exp(-x);
subplot(1, 2, 1)
plot(x, f)
g = sin(x);
subplot(1, 2, 2)
plot(x, g)

Сохраните теперь файл с именем mydemo.m в подкаталоге work основного каталога MatLab, выбрав пункт Save as меню File редактора. Для запуска на выполнение всех команд, содержащихся в файле, следует выбрать пункт Run в меню Debug. На экране появится графическое окно Figure No.1, содержащее графики функций. Если Вы решили построить график косинуса вместо синуса, то просто измените строку g = sin(x) в М-файле на g = cos(x) и запустите все команды снова.

Замечание 1

Если при наборе сделана ошибка и MatLab не может распознать команду, то происходит выполнение команд до неправильно введенной, после чего выводится сообщение об ошибке в командное окно.

Очень удобной возможностью, предоставляемой редактором М-файлов, является выполнение части команд. Закройте графическое окно Figure No.1. Выделите при помощи мыши, удерживая левую кнопку, или клавишами со стрелками при нажатой клавише , первые четыре команды программы и выполните их из пункта Evaluate Selection меню Text . Обратите внимание, что в графическое окно вывелся только один график, соответствующий выполненным командам. Запомните, что для выполнения части команд их следует выделить и нажать . Выполните оставшиеся три команды программы и проследите за состоянием графического окна. Потренируйтесь самостоятельно, наберите какие-либо примеры из предыдущих лабораторных работ в редакторе М-файлов и запустите их.

Отдельные блоки М-файла можно снабжать комментариями, которые пропускаются при выполнении, но удобны при работе с М-файлом. Комментарии в MatLab начинаются со знака процента и автоматически выделяются зеленым цветом, например:

%построение графика sin(x) в отдельном окне

В редакторе М-файлов может быть одновременно открыто несколько файлов. Переход между файлами осуществляется при помощи закладок с именами файлов, расположенных внизу окна редактора.

Открытие существующего М-файла производится при помощи пункта Open меню File рабочей среды, либо редактора М-файлов. Открыть файл в редакторе можно и командой MatLab edit из командной строки, указав в качестве аргумента имя файла, например:

Команда edit без аргумента приводит к созданию нового файла.
Все примеры, которые встречаются в этой и следующих лабораторных работах, лучше всего набирать и сохранять в М-файлах, дополняя их комментариями, и выполнять из редактора М-файлов. Применение численных методов и программирование в MatLab требует создания М-файлов.

2. Типы М-файлов

М-файлы в MatLab бывают двух типов: файл-программы (Script M-Files), содержащие последовательность команд, и файл-функции (Function M-Files), в которых описываются функции, определяемые пользователем.

Файл-программу (файл-процедуру) Вы создали при прочтении предыдущего подраздела. Все переменные, объявленные в файл-программе, становятся доступными в рабочей среде после ее выполнения. Выполните в редакторе М?файлов файл-программу, приведенную в подразделе 2.1, и наберите команду whos в командной строке для просмотра содержимого рабочей среды. В командном окне появится описание переменных:

» whos
Name Size Bytes Class
f 1x71 568 double array
g 1x71 568 double array
x 1x71 568 double array
Grand total is 213 elements using 1704 bytes

Переменные, определенные в одной файле-программе, можно использовать в других файл-программах и в командах, выполняемых из командной строки. Выполнение команд, содержащихся в файл-программе, осуществляется двумя способами:

• Из редактора М-файлов так, как описано выше.
• Из командной строки или другой файл-программы, при этом в качестве команды используется имя М-файла.

Применение второго способа намного удобнее, особенно, если созданная файл-программа будет неоднократно использоваться впоследствии. Фактически, созданный М-файл становится командой, которую понимает MatLab. Закройте все графические окна и наберите в командной строке mydemo, появляется графическое окно, соответствующее командам файл-программы mydemo.m. После ввода команды mydemo MatLab производит следующие действия.

• Проверяет, является ли введенная команда именем какой-либо из переменных, определенных в рабочей среде. Если введена переменная, то выводится ее значение.
• Если введена не переменная, то MatLab ищет введенную команду среди встроенных функций. Если команда оказывается встроенной функцией, то происходит ее выполнение.

Если введена не переменная и не встроенная функция, то MatLab начинает поиск М-файла с названием команды и расширением m . Поиск начинается с текущего каталога (Current Directory), если М-файл в нем не найден, то MatLab просматривает каталоги, установленные в пути поиска (Path). Найденный М-файл выполняется в MatLab.

Если ни одно из вышеперечисленных действий не привело к успеху, то выводится сообщение в командное окно, например:

» mydem
??? Undefined function or variable "mydem".

Как правило, М-файлы хранятся в каталоге пользователя. Для того чтобы система MatLab могла найти их, следует установить пути, указывающие расположение М-файлов.

Замечание 2

Хранить собственные М-файлы вне основного каталога MatLab следует по двум причинам. Во-первых, при переустановке MatLab файлы, которые содержатся в подкаталогах основного каталога MatLab, могут быть уничтожены. Во-вторых, при запуске MatLab все файлы подкаталога toolbox размещаются в памяти компьютера некоторым оптимальным образом так, чтобы увеличить производительность работы. Если вы записали М-файл в этот каталог, то воспользоваться им можно будет только после перезапуска MatLab.

3. Установка путей

В MatLab версий 6.x определяется текущий каталог и пути поиска. Установка этих свойств производится либо при помощи соответствующих диалоговых окон либо командами из командной строки.

Текущий каталог определяется в диалоговом окне Current Directory рабочей среды. Окно присутствует в рабочей среде, если выбран пункт Current Directory меню View рабочей среды.
Текущий каталог выбирается из списка. Если его нет в списке, то его можно добавить из диалогового окна Browse for Folder, вызываемого нажатием на кнопку, расположенную справа от списка. Содержимое текущего каталога отображается в таблице файлов.

Определение путей поиска производится в диалоговом окне Set Path навигатора путей, доступ к которому осуществляется из пункта Set Path меню File рабочей среды.

Для добавления каталога нажмите кнопку Add Folder Browse for Path выберите требуемый каталог. Добавление каталога со всеми его подкаталогами осуществляется при нажатии на кнопку Add with Subfolders. MATLAB search path. Порядок поиска соответствует расположению путей в этом поле, первым просматривается каталог, путь к которому размещен вверху списка. Порядок поиска можно изменить или вообще удалить путь к какому-либо каталогу, для чего выделите каталог в поле MATLAB search path и определите его положение при помощи следующих кнопок:
Move to Top - поместить вверх списка;
Move Up - переместить вверх на одну позицию;
Remove - удалить из списка;
Move Down - переместить вниз на одну позицию;
Move to Bottom - поместить вниз списка.

4. Команды для установки путей.

Действия по установке путей в MatLab 6.x дублируются командами. Текущий каталог устанавливается командой cd, например cd c:\users\igor. Команда cd, вызванная без аргумента, выводит путь к текущему каталогу. Для установки путей служит команда path, вызываемая с двумя аргументами:

path (path, "c:\users\igor") - добавляет каталог c:\users\igor с низшим приоритетом поиска;
path ("с: \users\igor",path) - добавляет каталог c:\users\igor с высшим приоритетом поиска.

Использование команды path без аргументов приводит к отображению на экране списка путей поиска. Удалить путь из списка можно при помощи команды rmpath:

rmpath ("с:\users\igor") удаляет путь к каталогу c:\users\igor из списка путей.

Замечание 3

Не удаляйте без необходимости пути к каталогам, особенно к тем, в назначении которых вы не уверены. Удаление может привести к тому, что часть функций, определенных в MatLab, станет недоступной.

Пример. Создайте в корневом каталоге диска D (или любом другом диске или каталоге, где студентам разрешено создавать свои каталоги) каталог со своей фамилией, например, WORK_IVANOV, и запишите туда М-файл mydemo.m под именем mydemo3.m. Установите пути к файлу и продемонстрируйте доступность файла из командной строки. Результаты приведите в отчете по лабораторной работе.

Вариант решения:

1. В корневом каталоге диска D создается каталог WORK_IVANOV.
2. В каталог WORK_IVANOV записывается М-файл mydemo.m под именем mydemo3.m.
3. Открывается диалоговое окно Set Path меню File рабочей среды MatLab.
4. Нажимается кнопка Add Folder и в появившемся диалоговом окне Browse for Path выбирается каталог WORK_IVANOV.
5. Добавление каталога со всеми его подкаталогами осуществляется при нажатии на кнопку Add with Subfolders. Путь к добавленному каталогу появляется в поле MATLAB search path.
6. Для запоминания пути нажимается клавиша Save диалогового окна Set Path.
7. Выполняется проверка правильности всех действий путем набора команды mydemo3 из командной строки. На экране появится графическое окно.

5. Файл-функции

Рассмотренные выше файл-программы являются последовательностью команд MatLab, они не имеют входных и выходных аргументов. Для использования численных методов и при программировании собственных приложений в MatLab необходимо уметь составлять файл-функции, которые производят необходимые действия с входными аргументами и возвращают результат в выходных аргументах. В этом подразделе разобрано несколько простых примеров, позволяющих понять работу с файл-функциями. Файл-функции, так же как и файл-процедуры, создаются в редакторе М-файлов.

5.1. Файл-функции с одним входным аргументом

Предположим, что в вычислениях часто необходимо использовать функцию

Имеет смысл один раз написать файл-функцию, а потом вызывать её всюду, где необходимо вычисление этой функции. Откройте в редакторе М-файлов новый файл и наберите текст листинга

function f = myfun(x)
f= ехр(-х)*sqrt((х^2+1)/(х^4+0.1));

Слово function в первой строке определяет, что данный файл содержит файл-функцию. Первая строка является заголовком функции, в которой размещается имя функции и списки входных и выходных аргументов. В примере, приведенном в листинге, имя функции myfun, один входной аргумент х и один выходной - f. После заголовка следует тело функции (оно в данном примере состоит из одной строки), где и вычисляется ее значение. Важно, что вычисленное значение записывается в f. Точка с запятой поставлена для предотвращения вывода лишней информации на экран.

Теперь сохраните файл в рабочем каталоге. Обратите внимание, что выбор пункта Save или Save as меню File приводит к появлению диалогового окна сохранения файла, в поле File name которого уже содержится название myfun. He изменяйте его, сохраните файл-функцию в файле с предложенным именем.

Теперь созданную функцию можно использовать так же, как и встроенные sin, cos и другие, например из командной строки:

» у =myfun(1.3)
У =
0.2600

Вызов собственных функций может осуществляться из файл-программы и из другой файл-функции.

Предупреждение

Каталог, в котором содержатся файл-функции, должен быть текущим, или путь к нему должен быть добавлен в пути поиска, иначе MatLab просто не найдет функцию, или вызовет вместо нее другую с тем же именем (если она находится в каталогах, доступных для поиска).

Файл-функция, приведенная в листинге, имеет один существенный недостаток. Попытка вычисления значений функции от массива приводит к ошибке, а не к массиву значений, как это происходит при вычислении встроенных функций.

» х = ;
» у = myfun(x)
??? Error using ==> ^
Matrix must be square.
Error in ==> C:\MATLABRll\work\myfun.m
On line 2 ==> f = exp(-x)*sqrt((х^2+1)/(х^4+1));

Если вы изучили работу с массивами, то устранение этого недостатка не вызовет затруднений. Необходимо просто при вычислении значения функции использовать поэлементные операции.
Измените тело функции, как указано в следующем листинге (не забудьте сохранить изменения в файле myfun.m).

function f = myfun(x)
f = ехр(-х).*sqrt((х.^2+1)./(х.^4+0.1));

Теперь аргументом функции myfun может быть как число, так и вектор или матрица значений, например:

» х = ;
» у = myfun(x)
У =
0.2600 0.0001

Переменная у, в которую записывается результат вызова функции myfun, автоматически становится вектором нужного размера.

Постройте график функции myfun на отрезке из командной строки или при помощи файл-программы:

x = ;
у = myfun(x);
plot(x, у)

MatLab предоставляет еще одну возможность работы с файл-функциями - использование их в качестве аргументов некоторых команд. Например, для построения графика служит специальная функция fplot, заменяющая последовательность команд, приведенную выше. При вызове fplot имя функции, график которой требуется построить, заключается в апострофы, пределы построения указываются в вектор-строке из двух элементов

fplot("myfun", )

Постройте графики myfun при помощи plot и fplot на одних осях, при помощи hold on. Обратите внимание, что график, построенный при помощи fplot, более точно отражает поведение функции, т. к. fplot сама подбирает шаг аргумента, уменьшая его на участках быстрого изменения отображаемой функции. Результаты приведите в отчете по лабораторной работе.

5.2. Файл-функции с несколькими входными аргументами

Написание файл-функций с несколькими входными аргументами практически не отличается от случая с одним аргументом. Все входные аргументы размещаются в списке через запятую. Например, следующий листинг содержит файл-функцию, вычисляющую длину радиус-вектора точки трехмерного пространства
Листинг файл-функции с несколькими аргументами

function r = radius3(x, у, z)
r = sqrt(х.^2 + у.^2 + z.^2);

» R = radius3(1, 1, 1)
R =
1.732

Кроме функций с несколькими входными аргументами, MatLab позволяет создавать функции, возвращающие несколько значений, т.е. имеющие несколько выходных аргументов.

5.3. Файл-функции с несколькими выходными аргументами

Файл-функции с несколькими выходными аргументами удобны при вычислении функций, возвращающих несколько значений (в математике они называются вектор-функциями ). Выходные аргументы добавляются через запятую в список выходных аргументов, а сам список заключается в квадратные скобки. Хорошим примером является функция, переводящая время, заданное в секундах, в часы, минуты и секунды. Данная файл-функция приведена в следующем листинге.

Листинг функции перевода секунд в часы, минуты и секунды

function = hms(sec)
hour = floor(sec/3600);
minute = floor((sec-hour*3600)/60);
second = sec-hour*3600-minute*60;

При вызове файл-функций с несколькими выходными аргументами результат следует записывать в вектор соответствующей длины:

» [Н, М, S] = hms(10000)
H =
2
М =
46
S =
40

6. Основы программирования в MatLab

Файл-функции и файл программы, используемые в предыдущих подразделах, являются самыми простыми примерами программ, Все команды MatLab, содержащиеся в них, выполняются последовательно. Для решения многих более серьезных задач требуется писать программы, в которых действия выполняются циклически или в зависимости от некоторых условий выполняются различные части программ. Рассмотрим основные операторы, задающие последовательности выполнения команд MatLab. Операторы можно использовать как в файл-процедурах, так и в функциях, что позволяет создавать программы со сложной разветвленной структурой.

6.1. Оператор цикла for

Оператор предназначен для выполнения заданного числа повторяющихся действий. Самое простое использование оператора for осуществляется следующим образом:

for count = start:step:final
команды MatLab
end

Здесь count - переменная цикла, start - ее начальное значение, final - конечное значение, а step - шаг, на который увеличивается count при каждом следующем заходе в цикл. Цикл заканчивается, как только значение count становится больше final. Переменная цикла может принимать не только целые, но и вещественные значения любого знака. Разберем применение оператора цикла for на некоторых характерных примерах.
Пусть требуется вывести семейство кривых для , которое задано функцией, зависящей от параметра для значений параметра от -0.1 до 0.1.
Наберите текст файл-процедуры в редакторе М-файлов и сохраните в файле FORdem1.m, и запустите его на выполнение (из редактора М-файлов или из командной строки, набрав в ней команду FORdem1 и нажав ):

% файл-программа для построения семейства кривых
x = ;
for a = -0.1:0.02:0.1
y = exp(-a*x).*sin(x);
hold on
plot(x, y)
end

Замечание 4

Редактор М-файлов автоматически предлагает расположить операторы внутри цикла с отступом от левого края. Используйте эту возможность для удобства работы с текстом программы.

В результате выполнения FORdem1 появится графическое окно, которое содержит требуемое семейство кривых.

Напишите файл-программу для вычисления суммы

Алгоритм вычисления суммы использует накопление результата, т.е. сначала сумма равна нулю (S = 0), затем в переменную k заносится единица, вычисляется 1/k !, добавляется к S и результат снова заносится в S . Далее k увеличивается на единицу, и процесс продолжается, пока последним слагаемым не станет 1/10!. Файл-программа Fordem2, приведенная в следующем листинге, вычисляет искомую сумму.

Листинг файл-программы Fordem2 для вычисления суммы

% файл-программа для вычисления суммы
% 1/1!+1/2!+ … +1/10!

% Обнуление S для накопления суммы
S = 0;
% накопление суммы в цикле
for k = 1:10
S = S + 1/factorial(k);
End
% вывод результата в командное окно S

Наберите файл-программу в редакторе М-файлов, сохраните её в текущем каталоге в файле Fordem2.m и выполните. Результат отобразится в командном окне, т.к. в последней строке файл-программы S содержится без точки с запятой для вывода значения переменной S

Обратите внимание, что остальные строки файл-программы, которые могли бы повлечь вывод на экран промежуточных значений, завершаются точкой с запятой для подавления вывода в командное окно.

Первые две строки с комментариями не случайно отделены пустой строкой от остального текста программы. Именно они выводятся на экран, когда пользователь при помощи команды help из командной строки получает информацию о том, что делает Fordem2

>> help Fordem2
файл-программа для вычисления суммы
1/1!+1/2!+ … +1/10!

При написании файл-программ и файл-функций не пренебрегайте комментариями!
Все переменные, использующиеся в файл-программе, становятся доступными в рабочей среде. Они являются, так называемыми, глобальными переменными. С другой стороны, в файл-программе могут использоваться все переменные, введенные в рабочей среде.

Рассмотрим задачу вычисления суммы, похожую на предыдущую, но зависящую от переменной x

Для вычисления данной суммы в файл-программе Fordem2 требуется изменить строку внутри цикла for на

S = S + x.^k/factorial(k);

Перед запуском программы следует определить переменную x в командной строке при помощи следующих команд:

>> x = 1.5;
>> Fordem2
S =
3.4817

В качестве x может быть вектор или матрица, так как в файл-программе Fordem2 при накоплении суммы использовались поэлементные операции.

Перед запуском Fordem2 нужно обязательно присвоить переменной x некоторое значение, а для вычисления суммы, например из пятнадцати слагаемых, придется внести изменения в текст файл-программы. Гораздо лучше написать универсальную файл-функцию, у которой в качестве входных аргументов будут значение x и верхнего предела суммы, а выходным - значение суммы S (x ). Файл-функция sumN приведена в следующем листинге.

Листинг файл-функции для вычисления суммы

function S = sumN(x, N)
% файл-функция для вычисления суммы
% x/1!+x^2/2!+ … +x^N/N!
% использование: S = sumN(x, N)

% обнуление S для накопления суммы
S = 0;
% накопление суммы в цикле
for m = 1:1:N
S = S + x.^m/factorial(m);
end

Об использовании функции sumN пользователь может узнать, набрав в командной строке help sumN. В командное окно выведутся первые три строки с комментариями, отделенные от текста файл-функции пустой строкой.

Обратите внимание, что переменные файл-функции не являются глобальными (m в файл-функции sumN). Попытка просмотра значения переменной m из командной строки приводит к сообщению о том, что m не определена. Если в рабочей среде имеется глобальная переменная с тем же именем, определенная из командной строки или в файл-программе, то она никак не связана с локальной переменной в файл-функции. Как правило, лучше оформлять собственные алгоритмы в виде файл-функций для того, чтобы переменные, используемые в алгоритме, не изменяли значения одноименных глобальных переменных рабочей среды.

Циклы for могут быть вложены друг в друга, при этом переменные вложенных циклов должны быть разными.

Цикл for оказывается полезным при выполнении повторяющихся похожих действий в том случае, когда их число заранее определено. Обойти это ограничение позволяет более гибкий цикл while.

6.2. Оператор цикла while

Рассмотрим пример на вычисление суммы, похожий на пример из предыдущего пункта. Требуется найти сумму ряда для заданного x (разложение в ряд ):
.

Сумму можно накапливать до тех пор, пока слагаемые являются не слишком маленькими, скажем больше по модулю Циклом for здесь не обойтись, так как заранее неизвестно число слагаемых. Выход состоит в применении цикла while, который работает, пока выполняется условие цикла:

while условие цикла
команды MatLab
end

В данном примере условие цикла предусматривает, что текущее слагаемое больше . Для записи этого условия используется знак больше (>). Текст файл-функции mysin, вычисляющей сумму ряда, приведен в следующем листинге.

Листинг файл-функции mysin, вычисляющей синус разложением в ряд

function S = mysin(x)
% Вычисление синуса разложением в ряд
% Использование: y = mysin(x), -pi

S = 0;
k = 0;
while abs(x.^(2*k+1)/factorial(2*k+1))>1.0e-10
S = S + (-1)^k*x.^(2*k+1)/factorial(2*k+1);
k = k + 1;
end

Обратите внимание, что у цикла while, в отличие от for, нет переменной цикла, поэтому пришлось до начала цикла k присвоить нуль, а внутри цикла увеличивать k на единицу.
Условие цикла while может содержать не только знак >. Для задания условия выполнения цикла допустимы также другие операции отношения, приведенные в табл. 1.

Таблица 1. Операции отношения

Задание более сложных условий производится с применением логических операторов. Например, условие состоит в одновременном выполнении двух неравенств и , и записывается при помощи логического оператора and

and(x >= -1, x < 2)

или эквивалентным образом с символом &

(x >= -1) & (x < 2)

Логические операторы и примеры их использования приведены в табл. 2.

Таблица 2. Логические операторы

Оператор		Запись в MatLab	Эквивалентная запись
Логическое "И"		and(x < 3, k == 4)	(x < 3) & (k == 4)
Логическое "ИЛИ"		Or(x == 1,x == 2)	(x == 1) | (x == 2)
Отрицание "НЕ"

При вычислении суммы бесконечного ряда имеет смысл ограничить число слагаемых. Если ряд расходится из-за того, что его члены не стремятся к нулю, то условие на малое значение текущего слагаемого может никогда не выполниться и программа зациклится. Выполните суммирование, добавив в условие цикла while файл-функции mysin ограничение на число слагаемых:

while (abs(x.^(2*k+1)/factorial(2*k+1))>1.0e-10)&(k<=10000))

или в эквивалентной форме

while and(abs(x.^(2*k+1)/factorial(2*k+1))>1.0e-10), k<=10000)

Организация повторяющихся действий в виде циклов делает программу простой и понятной, однако часто требуется выполнить тот или иной блок команд в зависимости от некоторых условий, т.е. использовать ветвление алгоритма.

6.3. Условный оператор if

Условный оператор if позволяет создать разветвляющийся алгоритм выполнения команд, в котором при выполнении определенных условий работает соответствующий блок операторов или команд MatLab.

Оператор if может применяться в простом виде для выполнения блока команд при удовлетворении некоторого условия или в конструкции if-elseif-else для написания разветвляющихся алгоритмов.
Пусть требуется вычислить выражение . Предположим, что вычисления выполняются в области действительных чисел и требуется вывести предупреждение о том, что результат является комплексным числом. Перед вычислением функции следует произвести проверку значения аргумента x, и вывести в командное окно предупреждение, если модуль x не превосходит единицы. Здесь необходимо применение условного оператора if, применение которого в самом простом случае выглядит так:

if условие
команды MatLab
end

Если условие выполняется, то реализуются команды MatLab, размещенные между if и end, а если условие не выполняется, то происходит переход к командам, расположенным после end. При записи условия используются операции, приведенные в табл. 1.

Файл-функция, проверяющая значение аргумента, приведена в следующем листинге. Команда warning служит для вывода предупреждения в командное окно.

Листинг файл-функции Rfun, проверяющей значение аргумента

function f = Rfun(x)
% вычисляет sqrt(x^2-1)
% выводит предупреждение, если результат комплексный
% использование y = Rfun(x)

% проверка аргумента
if abs(x)<1
warning("результат комплексный")
end
% вычисление функции
f = sqrt(x^2-1);

Теперь вызов Rfun от аргумента, меньшего единицы, приведет к выводу в командное окно предупреждения:

>> y = Rfun(0.2)
результат комплексный
y =
0 + 0.97979589711327i

Файл-функция Rfun только предупреждает о том, что ее значение комплексное, а все вычисления с ней продолжаются. Если же комплексный результат означает ошибку вычислений, то следует прекратить выполнение функции, используя команду error вместо warning.

6.4. Оператор ветвления if-elseif-else

В общем случае применение оператора ветвления if-elseif-else выглядит следующим образом:

if условие 1
команды MatLab
elseif условие 2
команды MatLab
elseif условие 3
команды MatLab
. . . . . . . . . . .
elseif условие N
команды MatLab
else
команды MatLab
end

В зависимости от выполнения того или иного из N условий работает соответствующая ветвь программы, если не выполняется ни одно из N условий, то реализуются команды MatLab, размещенные после else. После выполнения любой из ветвей происходит выход из оператора. Ветвей может быть сколько угодно или только две. В случае двух ветвей используется завершающее else, а elseif пропускается. Оператор должен всегда заканчиваться end.
Пример использования оператора if-elseif-else приведен в следующем листинге.

function ifdem(a)
% пример использования оператора if-elseif-else

if (a == 0)
warning("а равно нулю")
elseif a == 1
warning("а равно единице")
elseif a == 2
warning("а равно двум")
elseif a >= 3
warning("а, больше или равно трем")
else
warning("а меньше трех, и не равно нулю, единице, двум")
end

6.5. Оператор ветвления switch

Для осуществления множественного выбора или ветвления может применяться оператор switch. Он является альтернативой оператору if-elseif-else. В общем случае применение оператора ветвления switch выглядит следующим образом:

switch switch_выражение
case значение 1
команды MatLab
case значение 2
команды MatLab
. . . . . . . . . . .
case значение N
команды MatLab
case {значение N+1, значение N+2, …}
команды MatLab
. . . . . . . . . . . .
case {значение NM+1, значение NM+2,…}
otherwise
команды MatLab
end

В данном операторе сначала вычисляется значение switch_выражения (это может быть скалярное числовое значение либо строка символов). Затем это значение сравнивается со значениями: значение 1, значение 2, …, значение N, значение N+1, значение N+2, …, значение NM+1, значение NM+2,… (которые также могут быть числовыми либо строковыми). Если найдено совпадение, то выполняются команды MatLab, стоящие после соответствующего ключевого слова case. В противном случае выполняются команды MatLab, расположенные между ключевыми словами otherwise и end.

Строк с ключевым словом case может быть сколько угодно, но строка с ключевым словом otherwise должна быть одна.

После выполнения какой-либо из ветвей происходит выход из switch, при этом значения, заданные в других case не проверяются.

Применение switch поясняет следующий пример:

function demswitch(x)
a = 10/5 + x
switch a
case -1
warning("a = -1")
case 0
warning("a = 0")
case 1
warning("a = 1")
case {2, 3, 4}
warning("a равно 2 или 3 или 4")
otherwise
warning("a не равно -1, 0, 1, 2, 3, 4")
end

>> x = -4
demswitch(x)
a =
1
warning: a = 1
>> x = 1
demswitch(x)
a =
6
warning: a не равно -1, 0, 1, 2, 3, 4

6.6. Оператор прерывания цикла break

При организации циклических вычислений следует заботиться о том, чтобы внутри цикла не возникло ошибок. Например, пусть задан массив x, состоящий из целых чисел, и требуется сформировать новый массив y по правилу y(i) = x(i+1)/x(i). Очевидно, что задача может быть решена при помощи цикла for. Но если один из элементов исходного массива равен нулю, то при делении получится inf, и последующие вычисления могут оказаться бесполезными. Предотвратить эту ситуацию можно выходом из цикла, если текущее значение x(i) равно нулю. Следующий фрагмент программы демонстрирует использование оператора break для прерывания цикла:

for x = 1:20
z = x-8;
if z==0
break
end
y = x/z
end

Как только переменная z принимает значение 0, цикл прерывается.

Оператор break позволяет досрочно прервать выполнение циклов for и while. Вне этих циклов оператор break не работает.

Если оператор break применяется во вложенном цикле, то он осуществляет выход только из внутреннего цикла.

В среде MATLAB есть несколько режимов работы. Самый простой - это ввод команд непосредственно в окно команд (Command Window ).

Окно команд MATLAB

Если оно не видно в интерфейсе программы, откроем его. Найти окно команд можно через меню Desktop Command Window .

Давайте для примера введём в это окно последовательно друг за другом команды

X = ; y = sqrt(x); plot(y);

и нажмём клавишу «Ввод» (Enter ). Программа моментально создаст переменную X, создаст переменную Y и посчитает её значения по заданной функции, а затем построит её график.

Стрелками клавиатуры вверх и вниз в окне команд мы можем переключаться между введёнными командами, тут же изменять их, а по нажатию Enter отправлять среде MATLAB на исполнение. Стрелками влево и вправо можно перемещаться по введённой команде и редактировать её. Если в конце команды стоит точка с запятой, то результат будет посчитан, но не будет выведен в окно команд; в противном случае результат выполнения команды будет отображён тут же. По любой функции в среде MATLAB есть подробная встроенная справка. Например, чтобы получить справку по команде plot , выделите эту команду, нажмите на неё правой кнопкой мыши, и в открывшемся контекстном меню выберите пункт Help on Selection или нажмите клавишу F1 .

Получение справки по командам MATLAB

Удобно? Безусловно. И главное - очень быстро. Все эти действия занимают несколько секунд.

Но что если нужна более сложная организация команд? Если нужно циклическое исполнение каких-то команд? Вводить команды вручную по одной, а потом долго искать их в истории может быть довольно утомительным делом.

2 Работа с редактором в среде MATLAB

Чтобы упростить жизнь учёному, инженеру или студенту, служит окно редактора (Editor ). Давайте откроем окно редактора через меню Desktop Editor .

В окне редактора можно создавать новые переменные, строить графики, писать программы (скрипты), создавать компоненты для обмена с другими средами, создавать приложения с пользовательским интерфейсом (GUI), а также редактировать имеющиеся.

Нас в данный момент интересует написание программы, содержащей функции для повторного использования в будущем. Поэтому идём в меню File редактора и выбираем New M-File .

М-файлами в среде МАТЛАБ называются файлы, содержащие текст программ (скрипты) или определённые пользователем функции.

Давайте напишем в редакторе простую функцию draw_plot :

function draw_plot(x) % Задаём первую функцию: y = log(x); % Строим первый график: subplot(1, 2, 1), plot(x, y); % Задаём вторую функцию: y = sqrt(x); % Строим второй график: subplot(1, 2, 2), plot(x, y);

Переходим обратно в окно команд.

Можно очистить историю команд, чтобы лишняя информация нас не отвлекала. Для этого кликните правой кнопкой мыши на поле ввода команд и в открывшемся контекстном меню выберите пункт Clear Command Window .

Переменная X у нас осталась после предыдущего эксперимента, мы её не изменяли и не удаляли. Поэтому в окно команд можно сразу ввести:

Draw_plot(x);

Вы увидите, что MATLAB прочитает нашу функцию из файла и выполнит её, нарисовав график.

Если MATLAB при выполнении программы выдаст сообщение, Undefined function or method "draw_plot" for input arguments of type "double". (т.е. вызывается неизвестная функция), нажмите в окне редактора зелёную кнопку со стрелкой (Run ) или через меню редактора: Debug Run draw_plot.m . MATLAB сообщит, что директория, в которой находится файл с нашей программой (draw_plot.m), не является рабочей директорией. Нажмите в диалоговом окне кнопку Add to Path , чтобы пакет MATLAB добавил директорию к рабочему пути и мог использовать наш M-файл. После этого программа должна запуститься нормально.

Среда MATLAB включает интерпретатор команд на языке высокого уров­ня, графическую систему, пакеты расширений и реализована на языке C. Вся работа организуется через командное окно (Command Window), которое появля­ется при запуске программы matlab.exe. В процессе работы данные располага­ются в памяти (Workspace), для изображения кривых, поверхностей и других графиков создаются графические окна.

В командном окне в режиме диалога проводятся вычисления. Пользова­тель вводит команды или запускает на выполнение файлы с текстами на языке MATLAB. Интерпретатор обрабатывает введенное и выдает результаты: число­вые и строковые данные, предупреждения и сообщения об ошибках. Строка ввода помечена знаком >>. В командном окне показываются вводимые с кла­виатуры числа, переменные, а также результаты вычислений. Имена перемен­ных должны начинаться с буквы. Знак = соответствует операции присваивания. Нажатие клавиши Enter заставляет систему вычислить выражение и показать результат. Наберите с клавиатуры в строке ввода:

Нажмите клавишу Enter, на экране в зоне просмотра появится результат вычисления:

Все значения переменных, вычисленные в течение текущего сеанса рабо­ты, сохраняются в специально зарезервированной области памяти компьютера, называемой рабочим пространством системы MATLAB (Workspace). Коман­дой clc можно стереть содержимое командного окна, однако это не затронет содержимого рабочего пространства. Когда исчезает необходимость в хранении ряда переменных в текущем сеансе работы, их можно стереть из памяти ком­пьютера командой clear или clear(имя1, имя2, ...). Первая команда удаляет из памяти все переменные, а вторая - переменные с именами имя1 и имя2. Коман­дой who можно вывести список всех переменных, входящих в данный момент в рабочее пространство системы. Для просмотра значения любой переменной из текущего рабочего пространства системы достаточно набрать ее имя и нажать клавишу Enter.

После окончания сеанса работы с системой MATLAB все ранее вычислен­ные переменные теряются. Чтобы сохранить в файле на диске компьютера со­держимое рабочего пространства системы MATLAB, нужно выполнить коман­ду меню File / Save Workspace As ... .По умолчанию расширение имени файла mat, поэтому такие файлы принято называть МАТ-файлами. Для загрузки в па­мять компьютера ранее сохраненного на диске рабочего пространства нужно выполнить команду меню: File / Load Workspace ... .

Вещественные числа и тип данных double

Система MATLAB представляет на машинном уровне все действительные числа заданные мантиссой и показателем степени, например, 2.85093Е+11, где буквой Е обозначается основание степени равное 10. Этот основной тип дан­ных носит название double. MATLAB по умолчанию использует формат short для вывода вещественных чисел, при котором показываются только четыре де­сятичных цифры после запятой.

Введите с клавиатуры пример:

» res=5.345*2.868/3.14-99.455+1.274

Получите результат вычисления:

Если требуется полное представление вещественного числа res, введите с клавиатуры команду:

нажмите клавишу Enter и получите более подробную информацию:

res = -93.29900636942675

Теперь все результаты вычислений будут показываться с такой высокой точностью в течение данного сеанса работы в среде системы MATLAB. Если требуется до прекращения текущего сеанса работы вернуться к старой точности визуального представления вещественных чисел в командном окне, нужно вве­сти и исполнить (нажав клавишу Enter) команду:

Целые числа показываются системой в командном окне в виде целых чисел.

Над вещественными числами и переменными типа double производятся арифметические операции: сложения +, вычитания -, умножения *, деления / и возведения в степень ^ . Приоритет в выполнении арифметических операций обычный. Операции одинакового приоритета выполняются в порядке слева на­право, но круглые скобки могут изменить этот порядок.

Если нет необходимости видеть в командном окне результат вычисления некоторого выражения, то в конце введенного выражения следует поставить точку с запятой и только после этого нажать Enter.

В системе MATLAB присутствуют все основные элементарные функции для вычислений с вещественными числами. Любая функция характеризуется своим именем, списком входных аргументов (перечисляются через запятую и стоят внутри круглых скобок, следующих за именем функции) и вычисляемым (возвращаемым) значением. Список всех имеющихся в системе элементарных математических функций может быть получен по команде help elfun. В Прило­жении 1 перечислены стандартные функции вещественного аргумента.

Вычислите выражение, включающее вычисление функции арксинус:

Убедитесь, что получился следующий результат:

соответствующее числу «пи». В системе MATLAB для вычисления числа «пи» есть специальное обозначение: pi. (Список системных переменных MATLAB находится в Приложении 2).

MATLAB имеет также логические функции, функции, связанные с цело­численной арифметикой (округления до ближайшего целого: round, усечение дробной части числа: fix). Есть еще функция mod - остаток от деления с учетом знака, sign - знак числа, lcm - наименьшее общее кратное, perms - вычисление числа перестановок и nchoosek - числа сочетаний и много других. Многие из функций имеют область определения, отличную от множества всех действи­тельных чисел.

Помимо арифметических операций над операндами типа double выполня­ются еще операции отношения и логические операции. Операции отношения сравнивают между собой два операнда по величине. Эти операции записывают­ся следующими знаками или комбинациями знаков (Таблица 1):

Таблица 1

В случае истинности операции отношения ее величина равна 1, а в случае ложности - 0. Операции отношения имеют более низкий приоритет, чем ариф­метические операции.

Наберите с клавиатуры выражение с операциями отношения и вычислите

» a=1; b=2; c=3;

» res=(a

Вы получите следующий результат:

Логические операции над вещественными числами обозначаются знаками, перечисленными в таблице 2:

Таблица 2

&	|	~
И	ИЛИ	НЕ

Первые две из этих операций являются бинарными (двухоперандными), а последняя - унарной (однооперандной). Логические операции трактуют свои операнды как «истинные» (не равные нулю) или «ложные» (равные нулю). Ес­ли оба операнда операции «И» истинны (не равны нулю), то результат этой операции равен 1 («истина»); во всех остальных случаях операция «И» выраба­тывает значение 0 («ложь»). Операция «ИЛИ» вырабатывает 0 («ложь») только в случае, когда являются ложными (равными нулю) оба операнда. Операция «НЕ» инвертирует «ложь» на «истину». Логические операции имеют самый низкий приоритет.

Комплексные числа и комплексные функции

Комплексные переменные, как и вещественные автоматически имеют тип double и не требуют никакого предварительного описания. Для записи мнимой единицы зарезервированы буквы i или j. В случае, когда коэффициентом перед мнимой единицей является не число, а переменная, между ними следует обяза­тельно использовать знак умножения. Итак, комплексные числа можно записывать следующим образом:

» 2+3i; -6.789+0.834e-2*i; 4-2j; x+y*i;

Почти все элементарные функции допускают вычисления с комплексны­ми аргументами. Вычислите выражение:

» res=sin(2+3i)*atan(4i)/(1 -6i)

Получится результат:

1.8009 - 1.91901

Специально для работы с комплексными числами предназначены следую­щие функции: abs (абсолютное значение комплексного числа), conj (комплекс­но сопряженное число), imag (мнимая часть комплексного числа), real (дейст­вительная часть комплексного числа), angle (аргумент комплексного числа), isreal («истина», если число действительное). Функции комплексного перемен­ного перечислены в Приложении 1.

В отношении арифметических операций ничего нового для комплексных чисел (по сравнению с вещественными) сказать невозможно. То же самое отно­сится и к операциям отношения «равно» и «не равно». Остальные операции от­ношения вырабатывают результат исходя только из действительных частей этих операндов.

Введите выражение, получите результат и объясните его:

» c=2+3i; d=2i; » c>d

Логические операции трактуют операнды как ложные, если они равны ну­лю. Если же у комплексного операнда не равна нулю хотя бы одна его часть (вещественная или мнимая), то такой операнд трактуется как истинный.

Числовые массивы

Для создания одномерного массива можно использовать операцию конка­тенации, которая обозначается с помощью квадратных скобок . Элементы массива помещаются между скобками и отделяются друг от друга пробелом или запятой:

» al=; d=;

Для доступа к индивидуальному элементу массива нужно применить операцию индексации, для чего после имени элемента указать в круглых скоб­ках индекс элемента.

Можно изменять элементы уже сформированного массива путем примене­ния операций индексации и присваивания. Например, введя:

мы изменим третий элемент массива. Или, после введения:

» al(2)=(al(1)+al(3))/2;

второй элемент массива станет равным среднему арифметическому первого и третьего элементов. Запись несуществующего элемента вполне допустима - она означает добавление нового элемента к уже существующему массиву:

Применяя после выполнения этой операции к массиву а1 функцию length, находим, что количество элементов в массиве возросло до четырех:

Тоже самое действие - «удлинение массива а1» - можно выполнить и с помощью операции конкатенации:

Можно задать массив, прописывая все его элементы по отдельности:

» a3(1)=67; a3(2)=7.8; a3(3)=0.017;

Однако этот способ создания не является эффективным. Еще один способ создания одномерного массива основан на применении специальной функции, обозначаемой двоеточием (операция формирования диапазона числовых значений). Через двоеточие следует набрать первое число диапазона, шаг (приращение) и конечное число диапазона. Например:

» diap=3.7:0.3:8.974;

Если не нужно выводить на экран весь получившийся массив, то в конце набора (после конечного числа диапазона) следует набрать точку с запятой. Чтобы узнать, сколько элементов в массиве, следует вызвать функцию length (имя массива).

Для создания двумерного массива (матрицы) также можно использовать операцию конкатенацию. Элементы массива набираются один за другим со­гласно их расположению в строках, в качестве разделителя строк используется точка с запятой.

Введите с клавиатуры:

» a=

Нажмите ENTER, получим:

Полученную матрицу а размером 3x2 (первым указывается число строк, вторым - число столбцов) можно сформировать также вертикальной конкате­нацией вектор-строк:

» a=[;;];

или горизонтальной конкатенацией вектор-столбцов:

» a=[,];

Структуру созданных массивов можно узнать с помощью команды whos(имя массива), размерность массива - функцией ndims, а размер массива - size.

Двумерные массивы можно задать также с помощью операции индекса­ции, прописывая по отдельности его элементы. Номер строки и столбца, на пе­ресечении которых находится задаваемый элемент массива, указываются через запятую в круглых скобках. Например:

» a(1,1)=1; a(1,2)=2; a(2,1)=3; » a(2,2)=4; a(3,1)=5; a(3,2)=6;

Однако будет намного эффективнее, если до начала прописывания элементов массива, создать массив нужного размера функциями ones (m,n) или zeros(m,n), заполненный единицами или нулями (m - число строк, n - число столбцов). При вызове этих функций предварительно выделяется память под заданный размер массива, после этого постепенное прописывание элементов нужными значениями не требует перестройки структуры памяти, отведенной под массив. Использование этих функций возможно и при задании массивов других раз­мерностей.

Если после формирования массива Х потребуется, не изменяя элементов массива, изменить его размеры, можно воспользоваться функцией reshape (Х, М, N), где M и N - новые размеры массива Х

Объяснить работу этой функции можно, только исходя из способа, каким система MATLAB хранит элементы массивов в памяти компьютера. Она хра­нит их в непрерывной области памяти упорядоченно по столбцам: сначала рас­полагаются элементы первого столбца, вслед за ними расположены элементы второго столбца и т.д. Помимо собственно данных (элементов массива) в памя­ти компьютера хранится также управляющая информация: тип массива (напри­мер, double), размерность и размер массива, другая служебная информация. Этой информации достаточно для определения границ столбцов. Отсюда сле­дует, что для переформирования матрицы функцией reshape достаточно изме­нить только служебную информацию и не трогать собственные данные.

Поменять местами строки матрицы с ее столбцам можно операцией транс­портирования, которая обозначается знаком." (точка и апостроф). Например,

» A=;

Операция " (апостроф) выполняет транспонирование для вещественных матриц и транспонирование с одновременным комплексным сопряжением для комплексных матриц.

Объекты, с которыми работает MATLAB, являются массивами. Даже од­но заданное число во внутреннем представлении MATLAB является массивом, состоящим из одного элемента. MATLAB позволяет делать вычисления с ог­ромными массивами чисел также легко как и с одиночными числами, и это яв­ляется одним из самых заметных и важных преимуществ системы MATLAB над другими программными пакетами, ориентированными на вычисления и программирование. Помимо памяти, необходимой для хранения числовых эле­ментов (по 8 байт на каждый в случае вещественных чисел и по 16 байт в слу­чае комплексных чисел), MATLAB автоматически при создании массивов вы­деляет еще и память для управляющей информации.

Вычисления с массивами

В традиционных языках программирования вычисления с массивами осу­ществляются поэлементно в том смысле, что нужно запрограммировать каж­дую отдельную операцию над отдельным элементом массива. В М-языке сис­темы MATLAB допускаются мощные групповые операции над всем массивом сразу. Именно групповые операции системы MATLAB позволяют чрезвычайно компактно задавать выражения, при вычислении которых реально выполняется гигантский объем работы.

Операции сложения и вычитания матриц обозначаются стандартными знаками + и -.

Задайте матрицы А и В и выполните операцию сложения матриц:

» A=; B=;

Если используются операнды разных размеров, выдается сообщение об ошибке, за исключением случая, когда один из операндов является скаляром. При выполнении операции А + скаляр (А - матрица) система расширит скаляр до массива размера А, который и складывается далее поэлементно с А.

Для поэлементного перемножения и поэлементного деления массивов одинаковых размеров, а также поэлементного возведения в степень массивов, применяются операции, обозначаемые комбинациями двух символов: .* , ./, и.^. Использование комбинаций символов объясняется тем, что символами * и / обозначены специальные операции линейной алгебры над векторами и матри­цами.

Кроме операции./, называемой операцией правого поэлементного деления, есть еще операция левого поэлементного деления.\. Разница между этими операциями: выражение А./ В приводит к матрице с элементами А (k, m) /В (k, m), а выражение А.\В приводит к матрице с элементами В (k, m) /А (k, m).

Знак * закреплен за перемножением матриц и векторов в смысле линейной алгебры.

Знак \ закреплен в системе MATLAB за решением довольно сложной зада­чи линейной алгебры - нахождением корней системы линейных уравнений. Например, если требуется решить систему линейных уравнений Ay = b, где А - заданная квадратная матрица размера N´N, b - заданный вектор- столбец длины N, то для нахождения неизвестного вектор-столбца у достаточно вычислить выражение А\b (это равносильно операции: A -1 B).

Типичные задачи аналитической геометрии в пространстве, связанные с нахождением длин векторов и углов между ними, с вычислением скалярного и векторного произведений, легко решаются разнообразными средствами систе­мы MATLAB. Например, для нахождения векторного произведения векторов предназначена специальная функция cross, например:

» u=; v=;

Скалярное произведение векторов можно вычислить с помощью функции общего назначения sum, вычисляющей сумму всех элементов векторов (для матриц эта функция вычисляет суммы для всех столбцов). Скалярное произве­дение, как известно, равно сумме произведений соответствующих координат (элементов) векторов. Таким образом, выражение: » sum(u.*v)

вычисляет скалярное произведение двух векторов u и v. Скалярное произведе­ние можно также вычислить как: u*v".

Длина вектора вычисляется с помощью скалярного произведения и функ­ции извлечения квадратного корня, например:

» sqrt(sum(u.*u))

Ранее рассмотренные для скаляров операции отношения и логические опе­рации выполняются в случае массивов поэлементно. Оба операнда должны быть одинаковых размеров, при этом операция возвращает результат такого же размера. В случае, когда один из операндов скаляр, производится его предвари­тельное расширение, смысл которого уже был пояснен на примере арифметиче­ских операций.

Среди функций, генерирующих матрицы с заданными свойствами, часто испольльзуется функция eye , производящую единичные квадратные матрицы, а так­же широко применяемую на практике функцию rand, генерирующую массив со случайными элементами, равномерно распределенными на интервале от 0 до 1. Например, выражение

порождает массив случайных чисел размером 3х3 с элементами, равномерно распределенными на интервале от 0 до 1.

Если вызвать эту функцию с двумя аргументами, например R=rand(2,3), то получится матрица R случайных элементов размером 2x3. При вызове функции rand с тремя и более скалярными аргументами производятся многомерные мас­сивы случайных чисел.

Определитель квадратной матрицы вычисляется с помощью функции det. Среди функций, производящих простейшие вычисления над массивами, помимо рассмотренной выше функции sum, используется еще и функция prod, ко­торая во всем аналогична функции sum, только вычисляет она не сумму эле­ментов, а их произведение. Функции max и min ищут соответственно макси­мальный и минимальный элементы массивов. Для векторов они возвращают единственное числовое значение, а для матриц они порождают набор экстре­мальных элементов, вычисленных для каждого столбца. Функция sort сортиру­ет в возрастающем порядке элементы одномерных массивов, а для матриц она производит такую сортировку для каждого столбца отдельно.

В MATLAB есть уникальная возможность производить групповые вычисления над массивами, используя обыч­ные математические функции, которые в традиционных языках программиро­вания работают только со скалярными аргументами. В результате с помощью крайне компактных записей, удобных для ввода с клавиатуры в интерактивном режиме работы с командным окном системы MATLAB, удается произвести большой объем вычислений. Например, всего два коротких выражения

» x=0:0.01:pi/2; y=sin(x);

вычисляют значения функции sin сразу в 158 точках, формируя два вектора x и у со 158 элементами каждый.

Построение графиков функций

Графические возможности системы MATLAB являются мощными и разно­образными. Изучим наиболее простые в использовании возможности (высоко­уровневую графику).

Сформируйте два вектора х и у:

» x=0:0.01:2; y=sin(x);

Вызовите функцию:

и вы получите на экране график функции (рис. 1).

Рис. 1. График функции y=sin(x)

MATLAB показывает графические объекты в специальных графических окнах, имеющих в заголовке слово Figure. Не убирая с экрана дисплея первое графическое окно, введите с клавиату­ры выражения

и получите новый график функции в том же самом графическом окне (при этом старые оси координат и график пропадают - этого также можно добиться ко­мандой clf, командой cla удаляют только график с приведением осей коорди­нат к их стандартным диапазонам от 0 до 1).

Если нужно второй график провести «поверх первого графика», то перед вторичным вызовом графической функции plot нужно выполнить команду hold on, которая предназначена для удержания текущего графического окна:

» x=0:0.01:2; y=sin(x);

Практически тоже самое получится (рис. 2), если набрать:

» x=0:0.01:2; y=sin(x); z=cos(x);

» plot(x,y,x,z)

Рис. 2. Графики функций y=sin(x), z=cos(x), построенные в одном графи­ческом окне

Если нужно одновременно визуализировать несколько графиков так, что­бы они не мешали друг другу, то это можно сделать двумя способами. Первым решением является построение их в разных графических окнах. Для этого пе­ред вторичным вызовом функции plot следует набрать команду figure, которая создает новое графическое окно и заставляет все последующие за ней функции построения графиков выводить их туда.

Вторым решением показа нескольких графиков без конфликта диапазонов осей координат является использование функции subplot. Эта функция позволя­ет разбить область вывода графической информации на несколько подобластей, в каждую из которых можно вывести графики различных функций.

Например, для ранее выполненных вычислений с функциями sin и cos по­стройте графики этих двух функций в первой подобласти, а график функции exp(x) - во второй подобласти одного и того же графического окна (рис. 3):

» subplot(1,2,1); plot(x,y,x,z)

» subplot(1,2,2); plot(x,w)

Рис. 3. Графики функций y=sin(x), z=cos(x) и w=exp(x), построенные в двух подобластях одного графического окна

Диапазоны изменения переменных на осях координат этих подобластей не­зависимы друг от друга. Функция subplot принимает три числовых аргумента, первый из которых равен числу рядов подобластей, второй равен числу коло­нок подобластей, а третий аргумент - номеру подобласти (номер отсчитывается вдоль рядов с переходом на новый ряд по исчерпании). Снять действие функ­ции subplot можно командой:

» subplot(1,1,1)

Если для одиночного графика диапазоны изменения переменных вдоль од­ной или обеих осей координат слишком велик, то можно воспользоваться функциями построения графиков в логарифмических масштабах. Для этого предназначены функции semilogx, semilogy и loglog.

Построить график функции в полярных координатах (рис. 4) можно с по­мощью графической функции polar.

» phi=0:0.01:2*pi; r=sin(3*phi);

Рис. 4. График функции r=sin(3*phi) в полярных координатах

Рассмотрим дополнительные возможности, связанные с управлением внешним видом графиков - задание цвета и стиля линий, а также размещение различных надписей в пределах графического окна. Например, команды

» x=0:0.1:3; y=sin(x);

» plot(x,y,"r-",x,y, "ko")

позволяют придать графику вид красной сплошной линии (рис. 5), на которой в дискретных вычисляемых точках проставляют черные окружности. Здесь функция plot дважды строит график одной и той же функции, но в двух разных стилях. Первый из этих стилей отмечен как "r-", что означает проведение линии красным цветом (буква r), а штрих означает проведение сплошной линии. Вто­рой стиль, помечен как "ko", означает проведение черным цветом (буква k) ок­ружностей (буква o) на месте вычисляемых точек.

Рис. 5. Построение графика функции y=sin(x) в двух разных стилях

В общем случае функция plot (x1, y1, s1, x2, y2, s2, ...) позволяет объеди­нить в одном графическом окне несколько графиков функций y1(x1), y2(x2), ... проведя их со стилями s1, s2, ... и т. д.

Стили s1, s2,... задаются в виде набора трех символьных маркеров, заклю­ченных в одиночные кавычки (апострофы). Один из этих маркеров задает тип линии (Таблица 3). Другой маркер задает цвет (Таблица 4). Последний маркер задает тип проставляемых «точек» (Таблица 5). Можно указывать не все три маркера. Тогда используются маркеры, установленные по умолчанию. Порядок, в котором указывают маркеры, не является существенным, то есть "r+-" и "-+r" приводит к одинаковому результату.

Таблица 3. Маркеры, задающие тип линии

Таблица 4 Маркеры, задающие цвет линии

Таблица 5 Маркеры, задающие тип точки

Если в строке стиля поставить маркер на тип точки, но не проставить мар­кер на тип линии, то тогда отображаются только вычисляемые точки, а непре­рывной линией они не соединяются.

Сис­тема MATLAB устанавливает пределы на горизонтальной оси равными тем значениям, что указаны пользователем для независимой переменной. Для зави­симой переменной по вертикальной оси MATLAB самостоятельно вычисляет диапазон изменения значений функции. Если надо отказаться от этой осо­бенности масштабирования при построении графиков в системе MATLAB, то нужно явным образом навязать свои пределы изменения переменных по осям координат. Это делается с помощью функции axis().

Для проставления различных надписей на полученном рисунке применяют функции xlabel, ylabel, title и text. Функция xlabel создает подпись у горизон­тальной оси, функция ylabel - тоже для вертикальной оси (причем эти надписи ориентированы вдоль осей координат). Если требуется разместить надпись в произвольном месте рисунка, применяют функцию text. Общий заголовок для графика создается функцией title. Кроме того, используя команду grid on, мож­но нанести измерительную сетку на всю область построения графика. Напри­мер (рис. 6):

» x=0:0.1:3; y=sin(x);

» plot(x,y,"r-",x,y,"ko")

»title("Function sin(x) graph");

» xlabel("xcoordinate"); ylabel("sin(x)");

» text(2.1, 0.9, "\leftarrowsin(x)"); grid on

Надпись функцией text помещается начиная от точки с координатами, указанными первыми двумя аргументами. По умолчанию координаты задаются в тех же единицах измерения, что и координаты, указанные на горизонтальной и вертикальной осях. Специальные управляющие символы вводятся внутри текста после символа \ (обратная косая черта).

Трехмерная графика

Каждая точка в пространстве характеризуется тремя координатами. Набор точек, принадлежащих некоторой линии в пространстве, нужно задать в виде трех векторов, первый из которых содержит первые координаты этих точек, второй вектор - вторые их координаты, третий вектор - третьи координа­ты. После чего эти три вектора можно подать на вход функции plot3, которая и осуществит проектирование соответствующей трехмерной линии на плоскость и построит результирующее изображение (рис. 7). Введите с клавиатуры:

» t=0:pi/50:10*pi; x=sin(t);

» y=cos(t); plot3(x,y,t); grid on

Рис. 7. График винтовой линии, построенный с помощью функции plot3

Эту же функцию plot3 можно применить и для изображения поверхностей в пространстве, если, конечно, провести не одну линию, а много. Наберите с клавиатуры:

» u=-2:0.1:2; v=-1:0.1:1;

» =meshgrid(u,v);

» z=exp(-X.^2-Y.^2);

Получите трехмерное изображение графика функции (рис. 8).

Функция plot3 строит график в виде набора линий в пространстве, каждая из которых является сечением трехмерной поверхности плоскостями, парал­лельными плоскости yOz. Помимо этой простейшей функции система MATLAB располагает еще рядом функций, позволяющих добиваться большей реалистичности в изображении трехмерных графиков.

Рис. 8. График поверхности в пространстве, построенный с помо­щью функции plot3

Сценарии и m-файлы.

Для простых операций удобен интерактивный режим, но если вычисле­ния нужно многократно выполнять или необходимо реализовывать сложные алгоритмы, то следует использовать m-файлы MATLAB (расширение файла со­стоит из одной буквы m). script-m-файл (или сценарий) - текстовый файл, содержащий инструкции на языке MATLAB, подле­жащими исполнению в автоматическом пакетном режиме. Создать такой файл удобнее с помощью редактора системы MATLAB. Он вызывается из командно­го окна системы MATLAB командой меню File/New/M-file (или самой левой кнопкой на полосе инструментов, на которой изображен чистый белый лист бумаги). Записанные в script-файлы команды будут выполнены, если в команд­ной строке ввести имя script-файла (без расширения). Переменные, определяе­мые в командном окне и переменные, определяемые в сценариях, составляют единое рабочее пространство системы MATLAB, причем переменные, опреде­ляемые в сценариях, являются глобальными, их значения заместят значения таких же переменных, которые были использованы до вызова данного script- файла.

После создания текста сценария его надо сохранить на диске. Путь к каталогу с файлом обязательно должен быть известен сис­теме MATLAB. Командой File/Set Path вызывается диалоговое окно просмотрщика путей доступа к каталогам. Для добавления нового каталога в список пу­тей доступа необходимо выполнить далее команду меню Path/Add to path.

Большинство разработчиков с трудом представляет, как его синтаксис, так и возможности. Всё дело в том, что язык напрямую связан с популярным программным продуктом, стоимость которого может достигать потрясающих воображение значений. Итак, главный вопрос: так ли хорош непосредственно язык Matlab? И может ли он быть полезен именно вам.

Использование

Начнём не со стандартного экскурса в историю и обсуждения плюсов и минусов языка, а с программной среды MATLAB/Simulink - единственного места, где герой этого текста может быть полезен. Просто представьте себе графический редактор, в котором вы сможете реализовать любую свою задумку, не имея за плечами нескольких лет опыта и соответствующего образования. И создав один раз схему взаимодействия инструментов, получить качественный скрипт для многократного использования.

MATLAB - именно такой редактор в мире данных. Область его применения безгранично широка: IoT, финансы, медицина, космос, автоматика, робототехника, беспроводные системы и многое-многое другое. В общем почти неограниченные возможности по сбору и визуализации данных, а также прогнозированию, но только если есть возможность купить соответствующий пакет.

Что касается цены, то в верхней границы почти нет, а вот нижняя находится в район 99$. Чтобы урвать столь мощный продукт за относительно небольшие деньги, вам необходимо быть студентом ВУЗа. И конечно же вы получите довольно ограниченный продукт.

Особенности языка

Язык MATLAB - инструмент, обеспечивающий взаимодействие оператора (часто даже не программиста) со всеми доступными возможностями анализа, сбора и представления данных. У него есть очевидные плюсы и минусы, свойственные языку живущему в замкнутой экосистеме.

Недостатки:

Медленный и перегруженный операторами, командами, функциями язык, основной целью которого является улучшение визуального восприятия.

Узконаправленный. Нет никакой больше программной платформы, где бы MATLAB был полезен.

Дороговизна ПО. Если вы не студент - либо готовьтесь опустошить карманы или перейти границу закона. И даже если студент - цена приличная.

Невысокий спрос. Несмотря на большой интерес к MATLAB практически во всех сферах, фактически и легально его используют лишь немногие.

Достоинства:

Язык легок для изучения, обладает простым и понятным синтаксисом.

Огромные возможности. Но это скорее преимущество всего продукта в целом.

Частые обновления, как правило заметные положительные преобразования происходят не реже пары раз в год.

Программная среда позволяет преобразовывать его в “быстрый” код на С, С++.

Целевая аудитория

Разумеется, MATLAB нужен далеко не всем. Несмотря на широчайшую область применения, трудно представить, что рядовому разработчику приложений может понадобиться знание этого языка. MATLAB крайне полезен в областях, требующих особой надёжности при обработке данных, например, в системах автопилота в автомобилях или бортовых электронных системах самолёта.

То есть если вы не очень программист, но так или иначе ваша профессия связана с необходимостью программной обработки данных, то продукт MATLAB/Simulink с соответствующим языком способны сильно упростить ваши каждодневные задачи.

Литература

Завершаем обзор языка как всегда списком учебной литературы. Само-собой среди них вы не отыщите книг исключительно по языку, но от этого восприятие языка будет только проще:

А у вас есть опыт работы с MATLAB? И какой?

Для тех, кто хочет стать программистом - .